2019高考数学(文)思想技法攻略精讲 ：第六讲填空题技法攻略
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适用
范围
适用于几何意义一般较为明显的题目，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.
【例3】 (1)设集合A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．
(2)(2018·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥ x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
【例4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为________．
(2)(2018·河北保定摸底考)设数列{an}中，a1＝3， an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，则an＝________.
若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；
若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；
若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．
故猜对者是丙．
(2)规律：任意一个小三角形里，底角两数相加＝顶角的数，整个三角形的两条侧边是正整数的倒数构成的数列，所以第7行第一个数和最后一个数都是 ，第二个数加 要等于 ，所以求出第二个数是 ，同理第三个数加 等于 ，求出第三个数是 .
(2)
作出y＝|x－2a|和y＝ x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤ .
[答案](1)[ －1，＋∞) (2)
数形结合法求解填空题的要点
平面几何图形、Venn图、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．
设AB的方程为y＝k ，联立 消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝ · ＝ .则 · ＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝ －1＝－ .
[答案]－
方法
诠释
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．
由图可知kAC＝ ＝－ ，
kBC＝ ＝ .
所以k的取值范围为 ∪ .
[答案] ∪
方法
诠释
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
适用
范围
适用于构造函数、数列、几何图形的题目.
(2)不妨设点M、N在渐近线y＝ x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝ x的距离为 b，又将y＝ x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝ ＝ ，所以 ＝ b，即 ＝ ，
所以双曲线的离心率e＝ ＝ .
[答案](1)－6 (2)
直接法求解填空题的关键
[答案] π
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则an＝________.
[解析]由数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，变形为an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)．∴数列{an＋n}是等比数列，其中首项为a1＋1＝2，公比为2.∴an＋n＝2×2n－1，∴an＝2n－n.
(2) → →
[解析](1)令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝ .
(2)若四边形ABCD为矩形，建立平面直角坐标系，如知M(6,3)，N(4,4)，
∴ ＝(6,3)， ＝(2，－1)，
· ＝6×2＋3×(－1)＝9.
[答案](1) (2)9
[对点训练]
7.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ ，则球O的体积等于________．
[解析]如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，
所以CD＝ ＝2R，所以R＝ ，故球O的体积V＝ ＝ π.
技法指导
方法
诠释
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
适用
范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.
【例1】 (1)(2018·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
适用
范围
适用于含有字母且具有定性定值的填空题，结果要唯一.
【例2】 (1)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．
(2)设四边形ABCD为平行四边形，| |＝6，| |＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝________.
[解题指导] (1) → →
最大值为点Q到点A的距离的平方，
∴d ＝16.
∴取值范围是[2,16]．
[答案][2,16]
6．不等式 －kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________．
[解析]由 －kx＋1≤0，得 ≤kx－1，
设f(x)＝ ，g(x)＝kx－1，其中－2≤x≤2.
如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点．
所以a2＝60－48＝12，
所以S3＝3a2＝36.
[答案]36
4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 · ＝________.
[解析]解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝ ，求出交点A ，B ，所以 · ＝ × ＋1×(－1)＝－ .
解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.
∴数列 是以1为首项，3为公差的等差数列．
∴ ＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝(3n－2)·3n.
[答案](1){x|x>0} (2)(3n－2)·3n
构造法解填空题的技巧
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
[答案]20
2．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，则φ的值是________．
[解析]∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝ 对称，∴x＝ 时，函数取得最大值或最小值，
∴sin ＝±1.
∴ ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，
∴φ＝kπ－ (k∈Z)，
又－ <φ< ，∴φ＝－ .
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
[解析]观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.
[答案]F＋V－E＝2
10．(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[答案](1)丙 (2)
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
[对点训练]
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[解题指导] (1) →
(2) →
→
[解析](1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
[答案]2n－n
方法
诠释
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
适用
范围
适用于与正整数n有关和逻辑推理方面的问题.
[对点训练]
5．已知点P(x，y)的坐标x，y满足 则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．
[解析]
画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，
∴d ＝ 2＝( )2＝2.
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
[对点训练]
3．一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为________．
[解析]令n＝1，则a1＝48，a1＋a2＝60，
[答案]－
方法
诠释
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[对点训练]
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a ＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
[解析]设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋ d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a ＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
(2)(2018·山东淄博模拟)德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼茨三角形．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数：________.
…… …… …… ……
[解题指导] (1) →
→
(2) → →
[解析](1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
[解析](1)令g(x)＝ ，则g′(x)＝ ＝ <0.∴g(x)在R上是减函数．又y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于g(x)＝ <1＝g(0)，∴x>0.故不等式的解集为{x|x>0}．
(2)∵ an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，
∴ － ＝3.又∵a1＝3，∴ ＝1.
【例5】 (1)(2018·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是________．
[快速审题] (1)看到集合A，想到圆，看到集合B，想到直线表示的区域，想到数形结合，借助图形求解．
(2)看到不等式的结构特征，想到函数y＝|x－2a|和y＝ x＋a－1的图象，想到数形结合，通过图象求解．
[解析](1)
集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有 ＝1，又m>0，所以m＝ －1，故m的取值范围是m≥ －1.
范围
适用于几何意义一般较为明显的题目，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.
【例3】 (1)设集合A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．
(2)(2018·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥ x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
【例4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为________．
(2)(2018·河北保定摸底考)设数列{an}中，a1＝3， an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，则an＝________.
若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；
若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；
若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．
故猜对者是丙．
(2)规律：任意一个小三角形里，底角两数相加＝顶角的数，整个三角形的两条侧边是正整数的倒数构成的数列，所以第7行第一个数和最后一个数都是 ，第二个数加 要等于 ，所以求出第二个数是 ，同理第三个数加 等于 ，求出第三个数是 .
(2)
作出y＝|x－2a|和y＝ x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤ .
[答案](1)[ －1，＋∞) (2)
数形结合法求解填空题的要点
平面几何图形、Venn图、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．
设AB的方程为y＝k ，联立 消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝ · ＝ .则 · ＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝ －1＝－ .
[答案]－
方法
诠释
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．
由图可知kAC＝ ＝－ ，
kBC＝ ＝ .
所以k的取值范围为 ∪ .
[答案] ∪
方法
诠释
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
适用
范围
适用于构造函数、数列、几何图形的题目.
(2)不妨设点M、N在渐近线y＝ x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝ x的距离为 b，又将y＝ x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝ ＝ ，所以 ＝ b，即 ＝ ，
所以双曲线的离心率e＝ ＝ .
[答案](1)－6 (2)
直接法求解填空题的关键
[答案] π
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则an＝________.
[解析]由数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，变形为an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)．∴数列{an＋n}是等比数列，其中首项为a1＋1＝2，公比为2.∴an＋n＝2×2n－1，∴an＝2n－n.
(2) → →
[解析](1)令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝ .
(2)若四边形ABCD为矩形，建立平面直角坐标系，如知M(6,3)，N(4,4)，
∴ ＝(6,3)， ＝(2，－1)，
· ＝6×2＋3×(－1)＝9.
[答案](1) (2)9
[对点训练]
7.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ ，则球O的体积等于________．
[解析]如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，
所以CD＝ ＝2R，所以R＝ ，故球O的体积V＝ ＝ π.
技法指导
方法
诠释
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
适用
范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.
【例1】 (1)(2018·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
适用
范围
适用于含有字母且具有定性定值的填空题，结果要唯一.
【例2】 (1)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．
(2)设四边形ABCD为平行四边形，| |＝6，| |＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝________.
[解题指导] (1) → →
最大值为点Q到点A的距离的平方，
∴d ＝16.
∴取值范围是[2,16]．
[答案][2,16]
6．不等式 －kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________．
[解析]由 －kx＋1≤0，得 ≤kx－1，
设f(x)＝ ，g(x)＝kx－1，其中－2≤x≤2.
如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点．
所以a2＝60－48＝12，
所以S3＝3a2＝36.
[答案]36
4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 · ＝________.
[解析]解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝ ，求出交点A ，B ，所以 · ＝ × ＋1×(－1)＝－ .
解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.
∴数列 是以1为首项，3为公差的等差数列．
∴ ＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝(3n－2)·3n.
[答案](1){x|x>0} (2)(3n－2)·3n
构造法解填空题的技巧
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
[答案]20
2．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，则φ的值是________．
[解析]∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝ 对称，∴x＝ 时，函数取得最大值或最小值，
∴sin ＝±1.
∴ ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，
∴φ＝kπ－ (k∈Z)，
又－ <φ< ，∴φ＝－ .
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
[解析]观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.
[答案]F＋V－E＝2
10．(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[答案](1)丙 (2)
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
[对点训练]
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[解题指导] (1) →
(2) →
→
[解析](1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
[答案]2n－n
方法
诠释
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
适用
范围
适用于与正整数n有关和逻辑推理方面的问题.
[对点训练]
5．已知点P(x，y)的坐标x，y满足 则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．
[解析]
画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，
∴d ＝ 2＝( )2＝2.
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
[对点训练]
3．一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为________．
[解析]令n＝1，则a1＝48，a1＋a2＝60，
[答案]－
方法
诠释
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[对点训练]
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a ＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
[解析]设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋ d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a ＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
(2)(2018·山东淄博模拟)德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼茨三角形．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数：________.
…… …… …… ……
[解题指导] (1) →
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(2) → →
[解析](1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
[解析](1)令g(x)＝ ，则g′(x)＝ ＝ <0.∴g(x)在R上是减函数．又y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于g(x)＝ <1＝g(0)，∴x>0.故不等式的解集为{x|x>0}．
(2)∵ an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，
∴ － ＝3.又∵a1＝3，∴ ＝1.
【例5】 (1)(2018·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是________．
[快速审题] (1)看到集合A，想到圆，看到集合B，想到直线表示的区域，想到数形结合，借助图形求解．
(2)看到不等式的结构特征，想到函数y＝|x－2a|和y＝ x＋a－1的图象，想到数形结合，通过图象求解．
[解析](1)
集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有 ＝1，又m>0，所以m＝ －1，故m的取值范围是m≥ －1.