江苏省连云港市灌南县华侨高中2018学年高一上学期第一

2018-2018学年江苏省连云港市灌南县华侨高中高一（上）第一
次月考数学试卷（A卷）
一.填空题：
1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∩B=．
2．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．3．若集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为．4．下列各组函数中，表示同一函数的是：；
（1）y=1，y=
（2）y=
（3）y=x，y=
（4）y=|x|，．
5．设f（x）=，则f{f[f（﹣1）]}=．
6．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的值是．
7．函数y=+的定义域是．
8．函数y=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是．
9．若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是．10．如果集合A={x|ax2+4x+4=0}中只有一个元素，则a的值是．
11．已知函数，则下列图象错误的是（）
A．
y=f（x﹣1）的图象B．
y=f（|x|）的图象C．
y=f（﹣x）的图象D．
y=f（x）的图象
12．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的取值范围是．13．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为．
14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的
方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．
二．填空题：（14+14+14+16+16+16）
15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（∁R A）∩B．
16．已知集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．17．（1）已知f（x+1）=x2﹣2x，求f（x）．
（2）求函数f（x）=的最大值．
18．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
19．已知函数f（x）=的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
20．函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上最小值记为g（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）求g（a）的最大值．
2018-2018学年江苏省连云港市灌南县华侨高中高一（上）第一次月考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一.填空题：
1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∩B={1，2} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的基本运算求A∩B即可．
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，
∴A∩B={1，2}．
故答案为：{1，2}．
2．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={2，3，4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集和并集的定义进行计算即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，
所以∁U A={3，4}，
所以（∁U A）∪B={2，3，4}．
故答案为：{2，3，4}．
3．若集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为4．【考点】子集与真子集．
【分析】根据题意，由交集的意义可得M=P∩Q={3，5}，进而列举可得其子集，即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，
则M=P∩Q={3，5}，
则其子集为∅，{1}，{3}，{1，3}；
其子集数目为4；
故答案为：4．
4．下列各组函数中，表示同一函数的是：（3）；
（1）y=1，y=
（2）y=
（3）y=x，y=
（4）y=|x|，．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．
【解答】解：对于（1）∵y的定义域为R，y的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
对于（2）∵y的定义域为[1，+∞），y的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
对于（3），两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数
对于（4）∵y的定义域为R，y的定义域为[0，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
故选（3）．
5．设f（x）=，则f{f[f（﹣1）]}=π+1．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【分析】由已知中f（x）=，将x=﹣1直接代入从内到外逐层求值，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f{f[f（﹣1）]}=f[f（0）]=f（π）=π+1，
故答案为：π+1
6．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的值是0或2．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由A，B，以及A与B的交集为B，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，且A∩B=B，
∴m=0或2．
故答案为：0或2．
7．函数y=+的定义域是[﹣8，3] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得﹣8≤x≤3．
∴函数y=+的定义域是[﹣8，3]．
故答案为：[﹣8，3]．
8．函数y=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是[0，4] ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】首先把函数y=﹣x2+2x+3配方，然后根据自变量x∈[0，3]，求出函数的值域即可．【解答】解：y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+4=﹣（x﹣1）2+4，
∵x∈[0，3]，
∴﹣1≤x﹣1≤2，﹣4≤﹣（x﹣1）2≤0，
∴0≤﹣（x﹣1）2+4≤4
∴函数y=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是[0，4]．
故答案为：[0，4]．
9．若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由已知中函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，根据偶函数的性质，我们可以求出满足条件的a的值，进而求出函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，
∴a﹣1=0
∴f（x）=﹣x2+3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线
故f（x）的增区间（﹣∞，0]
故答案为：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））
10．如果集合A={x|ax2+4x+4=0}中只有一个元素，则a的值是0或1．
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用a=0与a≠0，结合集合元素个数，求解即可．
【解答】解：当a=0时，集合A={x|ax2+4x+4=0}={﹣1}，只有一个元素，满足题意；
当a≠0时，集合A={x|ax2+4x+4=0}中只有一个元素，可得△=42﹣16a=0，解得a=1．
则a的值是0或1．
故答案为：0 或1．
11．已知函数，则下列图象错误的是（）
A．
y=f（x﹣1）的图象B．
y=f（|x|）的图象C．
y=f（﹣x）的图象D．
y=f（x）的图象
【考点】函数的图象．
【分析】先作出的图象，再根据A，B，C，D各函数的图象与
f（x）的图象的位置关系判断正误：
对于A，y=f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到；对于B，y=f（|x|）的图象由f（x）的图象横向对折变换得到．对于C，y=f（﹣x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到．
【解答】解：先作出的图象，如图．
对于A，y=f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到，故其正确；
对于B，当x＞0时y=f（|x|）的图象与f（x）的图象相同，且函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，故其错误；
对于C，y=f（﹣x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到，故其正确；
故选B
12．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的取值范围是[25，+∞）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】先求出函数的对称轴x=，结合题意可知，解不等式可求m的范围，进而可求f（1）的范围
【解答】解：f（x）=4x2﹣mx+5的对称轴x=
∵函数在区间[﹣2，+∞）上是增函数，
∴
即m ≤﹣16
则f （1）=9﹣m ≥25 故答案为：[25，+∞）
13．已知a ，b 为正实数，函数f （x ）=ax 3+bx +2x 在[0，1]上的最大值为4，则f （x ）在[﹣
1，0]上的最小值为 ﹣ ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由a ，b 为正实数，知函数f （x ）=ax 3+bx +2x 是增函数，故f （x ）在[0，1]上的最大值f （1）=a +b +2=4，所以a +b=2．由此能求出f （x ）在[﹣1，0]上的最小值． 【解答】解：∵a ，b 为正实数，函数f （x ）=ax 3+bx +2x ， ∴f （x ）在R 上是增函数，
∴f （x ）在[0，1]上的最大值f （1）=a +b +2=4， ∴a +b=2．
∴f （x ）在[﹣1，0]上的最小值f （﹣1）=﹣（a +b ）+2﹣1=﹣2+=﹣．
∴f （x ）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
14．已知函数f （x ）=
，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的
方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出函数f （x ）=的图象，依题意，可得4m ﹣m 2＜m （m
＞0），解之即可．
【解答】解：当m ＞0时，函数f （x ）=
的图象如下：
∵x ＞m 时，f （x ）=x 2﹣2mx +4m=（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2， ∴y 要使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根， 必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0）， 即m 2＞3m （m ＞0）， 解得m ＞3，
∴m 的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）．
二．填空题：（14+14+14+16+16+16）
15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（∁R A）∩B．
【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．
【分析】根据并集的定义，由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求出A与B的并集即可；先根据全集R和集合A求出集合A的补集，然后求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，
把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B={x|2＜x＜10}；
根据全集为R，得到C R A={x|x＜3或x≥7}；
则（C R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
16．已知集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．
【考点】子集与真子集．
【分析】根据题意得出方程x2+（b+2）x+b+1=0有两个等根，求出a，b的值，得到集合B，再将集合B的真子集按含有元素从少到多一一列出即可，勿忘∅是任何集合的子集．
【解答】解：∵集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，
∴方程x2+（b+2）x+b+1=0有两个等根，∴△=0，
即（b+2）2﹣4（b+1）=0，∴b=0，
∴x2+（b+2）x+b+1=0即x2+2x+1=0，∴x=﹣1，
∴集合B={x|x2+ax+b=0}={x|x2﹣x=0}={0，1}，
集合B的真子集有∅，{1}，{0}．
17．（1）已知f（x+1）=x2﹣2x，求f（x）．
（2）求函数f（x）=的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用换元法，令t=x+1，则x=t﹣1，带入化简可得f（x）的解析式．
（2）根据函数的性质即可求出最值．
【解答】解：（1）由题意：f（x+1）=x2﹣2x，
令t=x+1，则x=t﹣1，
那么：f（x+1）=x2﹣2x，转化为g（t）=（t﹣1）2﹣2（t﹣1）=t2﹣4t+3
所以f（x）=x2﹣4x+3，
（2）f（x）===，
所以f（x）的最大值为
18．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用f（﹣1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，利用g（x）=f（x）﹣kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，
∴a﹣b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b2﹣4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax2+bx+1═x2+2x+1．
∴F（x）=．
（2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
函数的对称轴为x=，
要使函数g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是单调函数，
则区间[﹣2，2]必在对称轴的一侧，
即或，
解得k≥6或k≤﹣2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤﹣2．
19．已知函数f（x）=的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
【分析】（1）根据条件可知，f（x）为奇函数，且在原点有定义，从而得出f（0）=b=0，再
由即可求出a=1，从而得出；
（2）根据增函数的定义，设任意的x1，x2∈（﹣1，1），并且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，证明f（x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）容易判断f（x）为奇函数，从而由f（2x﹣1）+f（x）＜0便可得到f（2x﹣1）＜f（﹣x），根据f（x）在（﹣1，1）上是增函数，便可得到﹣1＜2x﹣1＜﹣x＜1，解该不等式组便可得出原不等式的解集．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x）；
∴f（x）为奇函数；
∴；
∴b=0，则；
∴；
∴a=1；
∴；
（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：
=；
∵﹣1＜x1＜x2＜1；
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，（1+x12）（1+x22）＞0；
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）f（x）显然为奇函数；
∴由f（2x﹣1）+f（x）＜0得，f（2x﹣1）＜﹣f（x）；
∴f（2x﹣1）＜f（﹣x）；
由（1）知f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则：
﹣1＜2x﹣1＜﹣x＜1，
解得；
∴原不等式的解集为．
20．函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上最小值记为g（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）求g（a）的最大值．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（1）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，从而求出g（a）的表达式；（2）结合g（a）的表达式，求出g（a）的最大值即可．
【解答】解：（1）①当a＜﹣2时，函数f（x）的对称轴x=＜﹣1，则g（a）=f（﹣1）
=2a+5；
②当﹣2≤a≤2时，函数f（x）的对称轴x=∈[﹣1，1]，则g（a）=f（）=3﹣；
③当a＞2时，函数f（x）的对称轴x=＞1，则g（a）=f（1）=5﹣2a．
综上所述，g（a）=；
（2）①当a＜﹣2时，g（a）＜1；
②当﹣2≤a≤2时，g（a）∈[1，3]；
③当a＞2时，g（a）＜1．
由①②③可得g（a）max=3．
2018年12月21日。