江西省上饶市2024届高三一模数学试题(教师版)

上饶市2024届第一次高考模拟考试
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4．本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集U =R ，集合{
}39
x A x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U
A B ⋂=ð（
）
A.[)
1,0- B.
()
0,5C.
[]
0,5 D.[]22-,
【答案】D 【解析】
【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{
}{}
392x
A x x x =>=>，故{}
U 2A x x =≤ð，所以(){}
[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-ð.故选:D 2.已知13i
1i
z -=+，则z z -的虚部为（）
A.4-
B.4
C.4i
- D.4i
【答案】A 【解析】
【分析】先根据复数的代数形式的乘除运算化简复数z ，再写出复数z 的共轭复数，再根据运算可得z z -，即可得到z z -的虚部.【详解】因为()()()()
13i 1i 13i 4i 2
12i 1i 1i 1i 2z -----=
===--++-，所以12i z =-+，
所以()12i 12i 4i z z --+=-=---，所以z z -的虚部为4-.故选：A.
3.关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，下列选项中是()f x 对称中心的有（）
A.π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
B.π,02⎛⎫
⎪⎝⎭ C.π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
D.π,06⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】
【分析】先求出函数对称中心，再逐项检验即可求解.【详解】令π2=π,Z,3x k k -
∈解得ππ26k x =+，故()f x 对称中心为ππ,0,Z 26k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭，经检验只有0k =，π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
符合题意.故选：C
4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式
1
1111+
+
+⋅⋅⋅
中，“…”即代
表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +
=求得512
x +=
．类比上述过程，则=（
）
A.
B.
1+
C.1
D.
2
【答案】B 【解析】
x =，代入解方程即可.
x =，
x =
，解得1x =，故选：B.
5.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A 给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测
一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（
）
A.11小时
B.13小时
C.17小时
D.19小时
【答案】B 【解析】
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n 次时，给药时间为n b ，则{}n b 是以3为首项，2为公差的的等差数列，所以()32121n b n n =+-=+，
设当给药时间为21n +小时的时候，患者血药浓度为n a ，血药浓度峰值为a ，则数列{}n a 是首项为a ，公比为0.4的等比数列，所以10.4n n a a -=⨯，
令0.01024n
a a =，即510.40.4n a a -=⨯，解得6n =，
当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为626113b =⨯+=，故选：B.
6.已知函数()e x
f x x =，则下列说法正确的是（
）
A.()f x 的导函数为()()1e
x
f x x '=- B.()f x 在()1,-+∞上单调递减
C.()f x 的最小值为1e
- D.()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x
=【答案】C 【解析】
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.【详解】A ：()()()e e e 1e x
x
x
x
f x x f x x x '=⇒=+=+，因此本选项不正确；
B ：由上可知：()()e e 1e x
x
x
f x x x =+=+'，
当1x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，因此本选项不正确；C ：由上可知：()()1e x
f x x '=+，
当1x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当=1x -时，函数()f x 的最小值为1
e
-，因此本选项正确；
D ：由上可知()()1e x
f x x '=+，因为()()01
00f f '==，，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为y x =，因此本选项不正确，故选：C
7.已知抛物线C ：2
16
y x =，则过抛物线C 的焦点，弦长为整数且不超过2024的直线的条数是（）
A.4035
B.4036
C.4037
D.4038
【答案】C 【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质，焦点弦为通径最短，即可求解.【详解】由抛物线C ：2
16
y x =
，可得焦点26p =，又根据抛物线几何性质得通径长为26p =，又202462018-=，根据对称性，
所以弦长为整数且不超过2024的直线的条数是2018214037⨯+=.故选：C
8.作圆224x y +=一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（）
A.(220x y +-=
B.10x y ++=
C.10x y -+-=
D.
(220
x y -+-=【答案】C 【解析】
【分析】由题意画出图形，把正十二边形的各点表示出来，结合选项一一判断即可.【详解】如图：
可知()()(
()()()2,0,,1,,0,2,1,,,2,0A B C D E F
G --，)(()(()1,1,,0,2,1,,1H
I J K L ----
，
直线FG 的方程)02
y x -=
-，即(220x y +-=，A 正确；
直线LK 的方程1
y x +=
+，即10x y +++=，B 正确；
直线DE 的方程为2201
y x =
+-，即(220x y -+-=，D 正确.
经检验直线10x y -+-=不符合,故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列命题正确的有（
）
A.若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，621x -的方差为7
B.若()0.6P A =，()0.8P B =，()0.5P A B =，则()
23
P B A =
C.在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y （2n ≥，12,,,n x x x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),i i x y （1,2,,i n =⋅⋅⋅）都在直线1
12
y x =-
+上，则这组样本数据的线性相关系数为1-D.某学校参加学科节数学学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第70百分位数是85．【答案】BCD 【解析】
【分析】根据方差的性质，可判定A 不正确；根据条件概率的计算公式，可判定B 正确；根据相关系数的含义，可判定C 正确；根据百分位数的计算方法，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，由数据,x y 之间满足21y x =-，且样本数据126,,,x x x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，621x -的方差为2228⨯=，所以A 错误；对于B 中，若()0.6P A =，()0.8P B =，
因为()|0.5P A B =，可得()()()
|0.5()0.8
P AB P AB P A B P B =
==，所以()0.4P AB =，
所以()()0.42
|()0.63
P AB P B A P A =
==，所以B 正确；对于C 中，因为样本点(),i i x y 都在直线1
12
y x =-+上，可得样本数据是确定的函数关系，且1
02
-<，所以样本数据的线性相关系数为1r =-，所以C 正确；
对于D 中，由10人的成绩：72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，可得1070%7⨯=，所以这10人成绩的第70百分位数是8486
852
+=，所以D 正确.故选：BCD.
10.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，1BB 的中点，则（
）
A.直线1FC 与底面ABCD 所成的角为30°
B.1A 到直线1FC 的距离为305
C.1//FC 平面1AB E
D.1BA ⊥平面1AB E
【答案】BC 【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后，对A ，可借助空间向量计算直线1FC 与底面ABCD 所成角的正弦值
即可判断；对B ，借助空间中点到直线的距离公式计算即可得；对C ，借助空间向量可得1AE FC =
，结合
线面平行的判定定理即可得；对D ，假设1BA ⊥平面1AB E ，则有1BA AE ⊥，结合空间向量计算可得1BA 与AE 不垂直，故假设不成立，即可得解D.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则有()1,0,0A 、()1,1,0B 、10,0,
2E ⎛⎫ ⎪⎝
⎭、11,1,2F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭、()11,0,1A 、()10,1,1C ，对A ：由11,1,2F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，故111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，
易得平面ABCD 的法向量可为()0,0,1m =
，
则111151
2cos ,sin 3052
FC m
FC m FC m
⋅==≠=︒⋅
，故A 错误；对B ：由()11,0,1A ，11,1,2F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，有110,1,2A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，又111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
故5
d =
=，故B 正确；对C ：由10,0,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0A ，故11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，又111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，
有1AE FC =
，故1//AE FC ，又AE ⊂平面1AB E ，1FC ⊄平面1AB E ，
故1//FC 平面1AB E ，故C 正确；
对D ：由()1,1,0B ，()11,0,1A ，故()10,1,1BA =- ，又11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，
有111
1022
BA AE ⋅=⨯=≠ ，故1BA 与AE 不垂直，
若1BA ⊥平面1AB E ，由AE ⊂平面1AB E ，则会有1BA AE ⊥，与已知矛盾，故假设不成立，故D 错误.故选：BC.
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，()()20f x f x +-=，且当[]0,1x ∈时，
()()2
21f x x =--，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,∞+上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的
是（）
A.()f x 的图象关于直线=1x -对称
B.当[]4,5x ∈时，()()
2
25f x x =--C.当[]2,3x ∈时，()f x 单调递减 D.a 的取值范围是30,3⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
【答案】ABD 【解析】
【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案.
【详解】根据题意得：()()0f x f x --=知()f x 是偶函数，由()()20f x f x +-=知()f x 是周期为2的周期函数，
因为当[]0,1x ∈时，()()2
21f x x =--，所以有如图的函数图象，
对于A ：由图可知()f x 图象关于=1x -对称，所以A 正确；
对于B ：当[]4,5x ∈时，()()()2
425f x f x x =-=--，所以B 正确；
对于C ：当[]2,3x ∈时，由周期为2可知()f x 单调性与[]0,1x ∈时()f x 的单调性相同，
易知当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增，所以C 错误；对于D ：设()()log 1a g x x =+，
则函数()()log 1a y f x x =-+在()
0,+¥上至少有三个不同的零点，
等价于函数()f x 与()g x 图象在()
0,+¥上至少有三个不同的交点，
结合图象可知，则有()()22g f >，
即()log 212a +>-，解得0a <<，所以D 正确.故选：ABD.
12.空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，
每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（）
A.以四个球球心为顶点的四面体体积为
643B.以四个球球心为顶点的四面体体积为
32
3
C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为83
43r =
-
D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为43
r =+【答案】ACD 【解析】
【分析】设半径为2的两球球心为A ，B ；半径为4的两球球心为C,D ，根据内切关系可得三棱锥C ABD -的各棱长，根据线线关系确定线面关系从而可求以四个球球心为顶点的四面体体积及与这四个球都外切或内切的球的半径，逐项判断即可得结论.
【详解】设半径为2的两球球心为A ，B ；半径为4的两球球心为C,D ，易知4AB =，8CD =，
6AC AD BC BD ====,
取AB 中点E ，连接,CE DE ，
因为6,6AC BC AD BD ====，点E 为AB 中点，所以,CE AB DE AB ⊥⊥，2AE BE ==，则
4CE DE ====
，
故222CE DE CD +=，则CE DE ⊥，
因为,,AB DE E AB DE ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD ，
则1116443323
C AB
D ABD V S C
E -=
⋅=⨯⨯⨯= ，故A 正确，B 不正确；若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为O ，半径为r ，则点O 在四面体ABCD 内，取AB 中点E ，
CD 中点F ，连接EF ，
则2AO BO r ==+，4CO DO r ==+，又CE DE ==，CE DE ⊥，所以1
42
EF CD ==，
则球心O 在EF 上，所以OF ===，
同理OE =
4OE OF +=解得8343
r =-或8343r =--（舍），故C 正确；
若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为1O ，半径为R ，则2AO BO R ==-，4CO DO R ==-，且点1O 在EF 上，
所以OF ===，
同理OE =4OE OF +=得8343R =+或8343
R =-+（舍），故D 正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本小题共四小题，每小题5分，共20分．
13.
()
5
21x -的展开式中3x 的系数为______（用数字作答）．
【答案】80
【解析】
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对()5
21x -，有()()()()555155C 2112C k k k k k k k k T x x ---+=-=-⋅⋅，令53k -=，则2k =，有()()
25225233512C 80T x x --=-⋅⋅=.
故答案为：80.14.在平行四边形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，π,3
AB AD = ，点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=uuur uuur ______．
【答案】3
【解析】
【分析】用AB ，AD 表示AM MN ，，后由数量积运算律可得答案.【详解】由图可得12AM AD DM AD AB =+=+ ，1122
MN MC CN AB AD =+=- .则221111112224
24AM MN AB AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .又2211644242
AB AD AB AD ==⋅=⨯⨯= ，，，则11116443424AM MN ⋅=⨯-⨯+⨯=uuur uuur .故答案为：
3
15.若函数()32162
f x x ax x =-+在区间()1,3上单调递增，则a 的取值范围为______．
【答案】(
-∞【解析】
【分析】函数()32162
f x x ax x =-+在区间()1,3上单调递增，转化为()0f x '≥在()1,3上恒成立，即63a x x ≤+
恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为()32162f x x ax x =-+，所以()236f x x ax '=-+，
因为函数()32162
f x x ax x =-+在区间()1,3上单调递增，所以()2360f x x ax =-+≥'在()1,3上恒成立，即()1,3x ∈时，63a x x ≤+
恒成立，
因为63x x +≥
，当且仅当x =时等号成立，
即min
63x x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，所以a ≤
故答案为：(
∞-.16.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，直线x c =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点（点A 在x 轴上方），若点M 与点N 分别满足BM MO = 、43
ON OA = ，且O ，N ，F ，M 四点共圆，则双曲线C 的离心率为______．【答案】
23311
【解析】
【分析】结合题意可得各点坐标，借助四点共圆的性质对角互补可得πAOB NFM ∠+∠=，结合斜率公式从而得到与a 、b 、c 有关的齐次式，即可解出离心率；亦可借助圆周角定理，由∠=∠MOF AOF 得到MF NF =，结合两点距离公式从而得到与a 、b 、c 有关的齐次式，即可解出离心率.
【详解】解法一：由已知得，点,bc A c a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0F c ，44,33c bc N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
、O ，N ，F ，M 四点共圆，πAOB NFM ∴∠+∠=，又44343
NF bc b a k c a c ==- ，FM b k a =，22tan 11NF FM OA NF FM OA
k k k AOB k k k -∴=∠=+-，即：2242411b b b a a a b b b a a a -=+⋅-，
2211a b ∴=，221211a c ∴=，23311e ∴=
.解法二：由已知得，点,bc A c a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0F c ，44,33c bc N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为∠=∠MOF AOF ，根据圆的性质，可知MF NF =，
=，解得22111b a =，所以23311
e =.故答案为：23311.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用四点共圆所得的几何性质解题，可用四点共圆对角互补的性质得到πAOB NFM ∠+∠=，或由∠=∠MOF AOF ，利用圆周角定理得到MF NF =，从而得到与a 、b 、c 有关的齐次式解出离心率.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足)
cos a c b
A A +=+.（1）求
B ；
（2）若3b =，且ABC BD 是ABC 的中线，求BD 的长.
【答案】（1）π
3B =
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得B .
（2）利用三角形ABC 的面积求得ac ，结合余弦定理、向量的模、数量积等知识求得BD 的长.
【小问1详解】
因为)
cos a c b A A +=+，
由正弦定理可得)sin sin sin cos A C B
A A +=+，
即())
sin sin sin cos A A B B A A ++=+，
即sin sin cos sin A A B A B +=，
又因为sin 0A >cos 1B B -=，所以1sin 62
πB ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.又因为()0,πB ∈，所以ππ5π,666B ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66
B -=，所以π3B =.【小问2详解】
因为ABC S = ，所以1sin 2
ac B =得4ac =，由余弦定理得：2222cos 13a c b ac B +=+=.又()
12BD BA BC =+ ，所以()
22221117||()2cos 444BD BA BC c a ac B =+=++= ，
得2BD = ，故BD 的长为2
.18.如图，三棱台ABC DEF -，H 在AC 边上，平面ACFD ⊥平面ABC ，DH AC ⊥，2CH =，4CD =，BC =
，BH BC ⊥．
（1）证明：EF BD ⊥；
（2）若1AH DF ==，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）439
91
【解析】
【分析】（1）结合面面垂直的性质定理及判定定理、线面垂直的判定定理与性质定理，即可得线线垂直；
（2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得
.
【小问1详解】
在ADH 中，2CH =，4CD =，
由DH AC ⊥，解得60ACD ∠=︒，DH =，
又因为平面ACFD ⊥平面ABC ，平面ACFD 平面ABC AC =，DH ⊂平面ACFD ，所以DH ⊥平面ABC ，
因为BC ⊂平面ABC ，所以DH BC ⊥，
又因为BH BC ⊥，BH DH H = ，BH ⊂平面BDH ，
DH ⊂平面BDH ，所以BC ⊥平面BDH ，
因为DB ⊂平面BDH ，所以BC DB ⊥，
又因为//BC EF ，所以EF DB ⊥；
【小问2详解】
由（1）知DH ⊥平面ABC ，
故可以H 为原点，HC ，HD
的方向分别为y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,1,0A -，31,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,D ，()0,2,0C ，(0,1,F ，
所以3,,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，(0,1,AD =
，(0,1,CF =- ，
设平面ABD 法向量为(),,n x y z =
，
则330220
n AB x y n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，
令y =-ABD
的一个法向量为()6,n =- ，
设CF 与平面ABD 所成角为θ，
则439sin cos ,91CF n CF n CF n
θ⋅=== ，所以CF 与平面ABD
所成角的正弦值为91
．19.设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，若2n a ，2n S ，2n a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2
,20244052,n n n n a n b n a a +⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2024项和2024T ．【答案】19.2n a n =（*N n ∈）
20.1265
【解析】
【分析】（1）利用242n n n S a a =+，得2
11142n n n S a a ---=+，两式作差，整理得{}n a 是等差数列即可求解；（2）利用裂项相消和分组求和求解.
【小问1详解】
由已知得：242n n n S a a =+，0
n a >当1n =时，21111442S a a a ==+，12a ∴=．
当2n ≥时，22111
4242n n n n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩得2211422n n n n n a a a a a --=-+-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-．
10n n a a -+> ，12
n n a a -∴-=∴数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列
2n a n ∴=（*N n ∈）
【小问2详解】由已知得：21212120241012
n n a n b ---==()1352023
121012110121101210122b b b b +⨯-⋅∴+++⋅⋅⋅+==．()2405210131144441n b n n n n ⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭ 24620241013111111422310121013b b b b ⎛⎫∴++++=
-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 1013101225341013
=⋅=202412320232024
T b b b b b ∴=+++++ ()()
13520232462024b b b b b b b b =+++++++++ 10122531265=+=．
20.机动车辆保险即汽车保险（简称车险）
，是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数2次及以上按2次计算）出险情况
商业险折扣若基准保费3000元时对应保费三年内6赔
1.85400三-年内5赔
1.54500三年内4赔
1.23600三年内3赔
13000三年内2赔0.82400
三年内1赔
0.72100三年内0赔0.61800
（1）汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）
（2）张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）．张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望．
【答案】（1）接受建议
（2）分布列见解析；期望为2106.3（元）
【解析】
【分析】（1）计算出险和不出险两种情况的缴费情况，将差值与1000计较即可得结论；
（2）列出X 的可能值，分别计算概率再计算期望即可.
【小问1详解】
由于王先生过去三年都没有出险，
若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费，共需5400元．
若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元
630054009001000-=<，故出险理赔更划算.
【小问2详解】
设商业险保费数额为随机变量X ，
则X 的可能值为5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．
则()54000.10.10.10.001
P X ==⨯⨯=()()3
134500C 0.10.003
P X ===()()()3212333600C 0.1C 0.10.80.027
P X ==+=()()()2311323000C 0.8C 0.10.10.049
P X ==⨯+=()()()2212332400C 0.10.8C 0.10.80.216P X ==+=
()()2132100C 0.80.10.192
P X ===()()318000.80.512
P X ===X
5400450036003000240021001800P 0.0010.0030.0270.049
0.2160.1920.512则()54000.00145000.00336000.02730000.04924000.216
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯21000.19218000.5122106.3+⨯+⨯=（元）
21.已知点()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为34
-
，记动点P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；
（2）过点()1,0F 与曲线E 相交的两条线段AB 和CD 相互垂直（斜率存在，且,,,A B C D 在曲线E 上），M 、N 分别是AB 和CD 的中点．求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22
143
x y +=（2x ≠±）（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设(),P x y ，根据斜率之积为34
-列式整理即可；（2）设AB 直线为()1y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出,M N 坐标，求出直线MN 即可得定点.
【小问1详解】
设(),P x y ，易得2x ≠±，直线AP 的斜率为
2
y x +，直线BP 的斜率为2y x -，则3224y y x x ⋅=-+-，整理得22143x y +=，则曲线E 方程为22
143
x y +=（2x ≠±）；【小问2详解】
由题意可知，设AB 直线为()1y k x =-（0k ≠），()11,M x y ，()22,A x y ，()33,B x y ，
则因为M 分别是AB 的中点，所以2312x x x +=，2312
y y y +=，
231123OM y y y k x x x +==+，2323
y y k x x -=-因为,A B 在椭圆22143
x y +=上，所以22
22223314314
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，由①－②，得22222323043x x y y --+=，即2223222334
y y x x -=--，于是有2323232334y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以113344
OM AB y k k k x ⋅=-⇒⋅=-，()1111341y k x y k x ⎧⋅=-⎪⎨⎪=-⎩，解得21212434334k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩．22243,3434k k M k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭．0k ≠ ，将上式M 点坐标中的k 换成1k
-，同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭
．①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()
222222337343444413434MN k k k k k k k k k k --++==--++，其方程()2222374343441k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪++-⎝⎭，化简得()
274741k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线MN 过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭
．②当直线MN 垂直于x 轴时，222443434k k k
=++，此时，1k =±，直线MN 也过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，直线MN 过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22.已知函数()ln 1x f x x
+=，若a 为实数，且方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ．（1）求a 的取值范围：（2）①证明：对任意的1,1e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭都有()e 1e 1x f x ->
-；②求证：()()1212111e x x a a ⎛⎫->
--- ⎪⎝⎭
．【答案】（1）()0,1（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，确定函数单调性，根据单调性画出函数草图，根据图象得答案；
（2）①构造函数()()e 1ln 1e 1g e 1e 1x x x x f x x -+-=-
=---，求导，确定单调性，极值和端点值即可得证明结论；②不妨设12x x <，则1211e x x <<<，利用()()121e 1e 1x a f x f x -==>-将不等式转化为32222211ln 1022x x x x +--+>，构造函数()3211ln 122h x x x x x =+--+，求导，确定单调性，求出最值证明即可.
【小问1详解】
()ln 1x f x x += ，0x >，()2ln x f x x
∴=-'，0x >，()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,∞+上为减函数
10f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()11f =，且x →+∞时，()0f x →．
故函数()f x 的图象如下：
因为方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ，
所以()0,1a ∈；
【小问2详解】
（ⅰ）记()()e 1ln 1e 1g e 1e 1x x x x f x x -+-=-=---，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则()2ln e e 1x g x x '=-
--，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设()2ln e e 1x t x x =---，则()3
2ln 10x t x x '-=<，()g x ∴'在1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为减函数，21e e 0e e 1g ⎛⎫=-> ⎪'-⎝⎭
，()e 10e 1g -'=<-，∴存在01,1e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x '=，01,e x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>；()0,1x x ∈时，()0g x <，()g x ∴在01,e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，在()0,1x 上为减函数，又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()10g =，()0g x ∴>；
（ⅱ）不妨设12x x <，则1211e x x <<<，由（1）知()11e 1e 1x f x ->-，又()1f x a =，1e 1e 1
x a -∴>-1111e e x a ⎛⎫∴<+- ⎪⎝⎭
要证
()12111e x x a ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭
只要证()21111e x x a ⎛⎫->
+-- ⎪⎝
⎭()2111111e e e x a a ⎛⎫⎛⎫⇐--->+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()
2221121x x a ⇐>+⇐->-()
()()22222111122x x a f x --⇐>-+⇐>-+()()22222222211ln 11ln 122
x x x x x x x --+⇐>-+⇐+>-32222211ln 1022x x x x ⇐+
--+>，记()3211ln 122h x x x x x =+--+，1x >，()()()
2213213120222x x h x x x x x -+=='+-->，
()h x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，
()20h x ∴>成立，
()12111x x a e ⎛⎫∴->+-- ⎪⎝⎭
成立.【点睛】方法点睛：对于双变量问题的解答，我们要根据题目条件转化为单变量问题，然后构造函数求导来解决，
24。