2020.05长宁线上评估评分标准

2020年长宁区高三数学在线学习效果评估
参考答案与评分标准
说明：
1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．]1,0( 2．2 3．10 4．3 5．1- 6．2 7．
4
π 8．3 9．2- 10．94
11．12 12．()),3(1,+∞-∞-Y
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸
的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．C 14．B 15．B 16．D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）解：如图，由题意得 22=PB ，2=OB ． 在POB Rt ∆
中，2PO =，即该圆锥的高2=h ． ……………………3分
由圆锥的体积公式得 38312π
π=
=
h r V ．即该圆锥的体积为 3
8π．……………………6分 （2）解法1：联结BC PC ,，如图所示，
由M 为线段AC 的中点，得OM ∥BC ，
所以异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与 PM 所成的角． …………………3分 因为︒=∠︒=∠90,90BOC POC ， 所以 22=PC ，22=BC ． 在PBC ∆中，22===PC BC PB ， 所以PBC ∆为等边三角形，即 3
π
=
∠PBC ． …………………………………6分
因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为
3
π
． ………………………………8分 P
A
B
C
M
O
解法2：以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，可得)0,2,0(-A ，)0,0,2(C ，)0,2,0(B ，)2,0,0(P ， ………2分 因为M 为线段AC 的中点， 得)0,1,1(-M ，
所以)2,2,0(-=，)0,1,1(-=OM ．…………………4分 设直线OM 与PB 所成的角为θ，向量与OM 的夹角为ϕ，
则21
2
222cos -=⨯-=
=
OM PB ϕ，……………6分
又 21
cos cos =
=ϕθ，所以6
πθ=． 即异面直线OM 与PB 所成的角的大小为
6
π
．………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由0cos 3sin =-A A ，得 3tan =A ，
因为A 为ABC ∆的内角，所以 3
π
=
A ．……………………………………………………3分
由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+=2
2
23223cos 73
π
=+-⨯⨯⨯=
所以 7=
a ． ………………………………………………………6分
（2）由题意得 x x x y cos )cos 3(sin -=x x x 2cos 3cos sin -=
2
2cos 132sin 21x
x +⨯
-=
………………………………………4分 2
3
)3
2sin(-
-
=π
x ………………………………………6分 因为R ∈x ，所以y 的最大值为 2
3
1-
． ………………………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意x ，(单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为
⎪⎩⎪⎨⎧
≤<-≤≤+-
=12
6,1260,2
168x x x x y ． ………………………………………2分 解4≥y ，得82≤≤x ． …………………………………………4分
所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用6天．……………6分
（2）设第x （128≤≤x ）天水中所含物质N 的量为y mol/L ， 则 6202)8(168)12(--
-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--
+-=x x
x x x y ……………………………4分 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+--=616)6(14x x y 6616)6(214=-⨯--≤x x …………………6分 当且仅当 6
16
6-=
-x x ，即 []12,810∈=x 时，等号成立．即当10=x 时，6max =y ． 所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6 mol/L ． …………………8分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意得 b a 2=
，422=-b a ， …………………………………2分
解得 22=a ，2=b ，
所以所求椭圆Γ的方程为 14
82
2=+y x . …………………………………4分 （2）由题意点B 的坐标为 )20(-，，设点),y x M （.
因为BM MP ⊥， 所以0)4()22
=-⋅++
y y x （， …………………………3分 又 1482
2=+y x 解得 ⎩
⎨⎧=-=022y x 或
⎩
⎨
⎧==022y x 或 0
2x y =⎧⎨=-⎩ （舍去） 所以所求点M 的坐标为 ）0,22(- 或）0,22(. ……………………………6分 （3）设 ),(11y x M ，),(22y x N ，直线l 的方程为4+=kx y .
由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=148
422y x kx y ，得 02416)21(2
2=+++kx x k .
所以2212116k k x x +-=+，2
212124
k
x x += ……………………2分 直线AN 的方程为 x x y y ⋅-=-222
2，得2
)2(22+⋅-=kx x n m 直线BM 的方程为 x x y y ⋅+=+112
2，得6
)2(11+⋅+=kx x n m ………………4分 所以1
21
213422x x x x kx n -++=
因为121223)kx x x x =-+（
，得11234)(321
21
21=-=-++-+=x x x x x n ， 所以n 为定值 1. ………………………6分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）解：数列{}n a 具有“性质P ” ． …………………………………1分
设数列{}n a 的公比为q ，则1-=n n q a ，*
N ∈n . …………………………………2分
对任意正整数j i j i ≠,,，2-+=j i j i q a a ， 因为 21≥-+j i ，所以j i j i a a a =-+1.
所以数列{}n a 具有“性质P ”. ……………………………………4分 （2）证明：由已知 11)1(a d n a a n ≤-+= ……………………………………1分 ①若01≤a ，则023<<a a ，1320a a a ≥>，
所以不存在正整数k ，使得32a a a k =； ……………………………………3分
②若01>a ，则当11
1++-
>d
a a n 时，11a a a n n -<<+， 11a a a n n >+，所以不存在正整数k ，使得32a a a k =；
综上，当0<d 时，数列{}n a 不具有“性质P ” …………………………………6分 （3）解：设数列{}n a 的公差为d ，则 d n a n ）3(2-+= .
由已知，对任意*
N ∈n ，都存在正整数k ，使得n k a a a 3=，
即 []d n d k )3(22)3(2-+=-+， 所以0≠d ，且
Z ∈+-=322
n k d
① …………………………2分 对任意n a ，设)(11d a a a a a n n n n k +==+，)2(22d a a a a a n n n n k +==+，*
21,,N ∈k k n ,
所以 d a a a d k k n k k =-=-12)(12，得 Z ∈-=12k k a n ，
因此 Z ∈-=+n n a a d 1 ② ……………………4分 由（2）知0d ≥，又由①、②可得1d =或2d =. ………………………………6分 当2=d 时，21-=a ，n a a a a ≤<-=1314，不满足要求， 所以1=d ，1-=n a n .
可以验证1-=n a n 满足要求. …………………………………………8分。