2019-2020学年天津市耀华中学高二上学期开学学情调研数学试题(解析版)

2019-2020学年天津市耀华中学高二上学期开学学情调研数
学试题
一、单选题
1．直线l 经过原点和(1，－1)，则l 的倾斜角是（ ） A ．45° B ．－45°
C ．135°
D ．45°和135°
【答案】C
【解析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数. 【详解】
直线l 经过坐标原点和点(1,1)-，
∴直线l 的斜率1
11
k -=
=-， ∴直线l 的倾斜角135α︒=，
所以C 选项是正确的. 【点睛】
此题考查根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，是一道基础题.
2．已知过点(2,),(,4)M a N a -的直线的斜率为1
2
-，则MN 等于（ ）
A ．10
B ．180
C ．
D ．【答案】D
【解析】根据直线MN 的斜率求出a 的值，再利用两点间的距离公式计算||MN 的值. 【详解】
过点(2,)M a -，(,4)N a 的直线斜率为41
22
a k a -==-+， 解得10a =，
||MN ∴===所以D 选项是正确的. 【点睛】
本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.
3．设点3(2,)A -，(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．3
4
k ≥
或4k -… B ．3
44
k -剟
C ．344
k -剟
D ．以上都不对
【答案】A
【解析】由题意画出图形，求出PA 和PB 的斜率，数形结合可得答案. 【详解】 如图，
31421PA k --=
=--，213
314
PB k --==--. ∴直线l 的斜率k 的取值范围为3(,4],4⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
故答案为A. 【点睛】
本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
4．若光线从点(3,3)P -射到y 轴上，经y 轴反射后经过点(1,5)Q --，则光线从点P 到点Q 走过的路程为（ ）
A ．10
B ．5
C ．
D ．
【答案】C
【解析】(1,5)Q --关于y 轴的对称点1(1,5)Q -，易知光线从点P 到点Q 走过的路程
为1PQ ==【详解】
找到Q 点关于y 轴的对称点1(1,5)Q -，
由对称性可知P ，Q 间距离等于1,P Q 间的距离，
求得1||PQ PQ ===所以本题选C. 【点睛】
本题考查求点关于y 轴的对称点问题和两点间的距离公式，要求熟记公式，掌握数形结合的思想运用，属基础题. 5．到直线的距离为2的直线方程是（ ） A ． B ．或 C ． D ．
或
【答案】B
【解析】设到直线3x ﹣4y ﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x ﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得解方程求出c 值，即得所求的直线的方程． 【详解】
设到直线3x ﹣4y ﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x ﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得
，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x ﹣4y ﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x ﹣4y
﹣11=0，或 3x ﹣4y+9=0， 故选：B ． 【点睛】
本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．是基础题.
6．若直线20mx ny ++=平行于直线250x y -+=，且在y 轴上的截距为1，则,m n 的值分别为（ ） A ．1和2 B ．－1和2 C ．1和－2 D ．－1和－2
【答案】C
【解析】根据两直线平行条件，可得12
m n =-，再将直线方程化为斜截式，利用截距为1可求n ，从而得到结果. 【详解】
根据两直线平行条件，可得12
m n =-，直线方程20mx my ++=， 化为斜截式得2m y x n n =--，根据截距可得2
1n
=-，即2n =-，
则1
(2)12
m =-⋅-=.
故本题正确答案为C. 【点睛】
本题主要考查求直线的方程和直线平行的等价条件，两条直线平行，则斜率相等或者斜率都不存在，属基础题.
7．若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点（ ） A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(2,4)- D ．(4,2)-
【答案】B
【解析】先求出l 1的定点，再利用点关于点的对称求出l 1的定点的对称点，该点即为所求点. 【详解】
直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线
1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题. 8．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断
【答案】B
【解析】因为5AM r === ,所以点M 在圆上，选B. 9．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）
A ．250x y ++=或250x y +-=
B ．20x y +=或20x y +-=
C ．250x y -+=或250x y --=
D ．20x y -+=或20x y -= 【答案】A
【解析】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，
=
解得5c =±。

所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝。

选A. 10．已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线
34110x y +-=与圆C 相交于,A B 两点，且||6AB =，则圆C 的方程为（ ）
A ．22(1)18x y ++= B
．22(1)x y ++=C ．22(1)18x y ++= D
．22(1)x y ++=【答案】A
【解析】联立两个直线方程求出圆心，再求出圆心到直线的距离和半弦长，从而运用勾股定理求出半径即可得到结果. 【详解】
根据题意：圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，则
1010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得0
1
x y =⎧⎨
=-⎩，因此圆心(0,1)C -，设圆的半径为r ，圆心到直线34110x y +-=
的距离为3d =
=，因为弦长为||6AB =，所以
2
221||2r d AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
2233=+18=，所以圆的方程为22
(1)18x y ++=.
故本题正确答案为A. 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系常用以下处理方法： （1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （3）直线与圆相离时，当过圆心作直线的垂线时长度最小.
11．已知直线20(0)x y m m -+=>与直线30x ny +-=互相平行，且两者之间的距
m n +等于（ ） A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论. 【详解】
直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=
平行且两者之间的距离是
22n n =-⎧∴=-=，2m =(负值舍去)，
0m n ∴+=.
所以B 选项是正确的. 【点睛】
本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.
12．已知直线:0l mx y m -+=，圆22:()4C x a y -+=，若对任意[1,)a ∈+∞，存在
l 被C 截得的弦长为2，则实数m 的最大值是（ ）
A
．
3
B ．1
C
D ．3
【答案】C
【解析】由题意可知，圆心(,0)C a 到:0l mx y m -+=
的距离d =
=223
(1)3
m a =
+-，解之即可求得m 的最大值.
【详解】
由题意可得，圆心(,0)C a 到:0l mx y m -+=
的距离d =，
=，22
3
(1)3
m a ∴=
+-，1a …，203m ∴<…，
解得0m <
或0m <…m
故本题选C.
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，直线与圆的位置关系常用以下处理方法：
（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （3）直线与圆相离时，当过圆心作直线的垂线时长度最小.
二、填空题
13．过点(－2，－3)且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 【答案】50x y ++=或320x y -=
【解析】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把P 点坐标代入，能求出结果. 【详解】
当直线过原点，即截距都为零时， 直线经过原点(0,0)，(2,3)P --， 直线方程为
32
y x -=-， 整理得直线方程为320x y -=；
当直线不过原点，根据截距式，设直线方程为
1x y
a a
+=， 把(2,3)P --代入，得5a =-，则直线方程为50x y ++=. 故答案为:50x y ++=或320x y -=. 【点睛】
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.
14．过两直线10x -+=0y +的交点，并且与原点的最短距离为1
2
的直线的方程为________.
【答案】1
2
x =
或10x += 【解析】联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于
1
2
即可；若直线斜
率不存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于1
2
就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程. 【详解】
联立100
x y ⎧+=⎪+=
可得交点为1(2.
当直线斜率不存在时，x =12，到原点的距离等于1
2
，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为1
()22
y k x =-+
，即220kx y k -=，因为直线与原点的最短距离为1
2
12
=
，解得3k =，所以所求直线的
方程为10x -+=. 所以本题答案为1
2
x =
或10x +=. 【点睛】
本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 15．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 【答案】4
【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=
的距离为
5d =
=，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4
【考点】直线和圆的位置关系
16．已知()20A -，
，()20B ，，点P 在圆()()2
2
344x y -+-=上运动，那么22
PA PB +的最小值是_______．
【答案】26
【解析】设(,)P a b ，已知()20A -，
，()20B ，，用两点间的距离公式可得22222222||(2)(2)228PA PB a b a b a b +=+++-+=++。

由点P 在圆
()()
22
344x y -+-=上运动，可得22(3)(4)4a b -+-=，用三角换元可得
32cos ,42sin a b αα=+=+，代入2222||228PA PB a b +=++，化简可得三角函
数关系式，利用辅助角公式化成一个角的三角函数，进而求其最小值。

【详解】 设(,)P a b .
因为点P 在圆()()22
344x y -+-=上运动， 所以2
2
(3)(4)4a b -+-=。

所以32cos ,42sin a b αα=+=+
因为 ()20A -，
，()20B ，， 所以2
2
2
2
2
2
2
2
||(2)(2)228PA PB a b a b a b +=+++-+=++
22=23+2cos )2(42sin )8=66+24cos 32sin αααα++++（
=66+40sin()αβ+ 其中3
tan 4
β=
当sin()1αβ+=-时，2
2
||||PA PB +取得最小值664026-= 点睛：⑴ 对于sin cos a b αα+，求其最值时，可利用辅助角公式化成
sin cos )a b αααβ++，然后利用三角函数的性质可求其最值。

⑵ 当,x y 满足222()()x a y b r -+-=，求有关,x y 的关系式的最值时，可用三角换元，设cos ,sin x r a y r b αα=+=+，然后利用辅助角公式，用正弦、余弦函数的性质解决问题。

三、解答题
17．已知直线l 经过点(0,2)-，其倾斜角为60︒. (1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1) 2y =- (2)
【解析】【详解】
（1）因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为tan 60︒=
因为直线过点（0，-2），根据直线方程的斜截式或点斜式可知直线方程为2y =-
（2）在直线方程中令0,2x y =∴=-，令0,y x =∴=
根据三角形的面积公式可知12233
S =
⨯⨯= 【考点】本小题主要考查直线方程的求解和应用.
点评：直线方程有五种形式，利用时要根据条件灵活选择，还要注意各种直线方程的适用条件.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线 : 24l y x =-设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点()2,3B 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】（1）所求切线方程为2x =或3y =；（2）120,
5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）先求得圆心()3,2C ，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程； （2）可设圆心 (,24)C a a -，设点(,)M x y ，则由||2||MA MO =可得
22(1)4x y ++=，设此圆为圆D ，由题意可得，圆C 和圆D 有交点，故两圆相交，由
此有|21|||21CD -+剟，解之可得a 的取值范围. 【详解】
（1）由题设，知圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点， 所以点C 的坐标为(3,2)，圆C 的方程为2
2
(3)(2)1x y -+-=， 当过点()2,3B 的切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，满足条件； 当过点()2,3B 的切线的斜率存在时， 设切线方程为3(2)y k x -=-，
1=，解得0k =，
所以切线方程为3y =.
故所求切线方程为2x =或3y =. （2）因为圆心C 在直线24y x =-上，
第 11 页 共 11 页 所以设点C 的坐标为(,24)a a -，
圆C 的方程为22
()[2(2)]1x a y a -+--=，
设点(,)M x y ，因为||2||MA MO =，
=
化简得22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=，
所以点M 在以点(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点(,)M x y 在圆C 上，
所以圆C 与圆D 有公共点，
则|21|||21CD -+剟
，即13， 解得1205
a 剟. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为120,
5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，此题属综合性较强的中档题.。