【K12教育学习资料】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习(80分)12+4标准练2 理

[80分] 12＋4标准练2
1．复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋i D ．i 答案 D
解析 根据题意可得，z ＝a －i ， 所以|z |＝a 2
＋1＝1，解得a ＝0， 所以复数z ＝i.
2．已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪
1
2<sin θ≤1
，B ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫φ⎪
⎪⎪
π4<φ<1
，则集合A ∩B 等于
( )
A.⎩⎪⎨⎪
⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π4
<θ<π2 B.⎩⎪⎨⎪
⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6<θ<1 C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ⎪
⎪⎪
π6
<θ<π
2 D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ⎪
⎪⎪
π4<θ<1 答案 D
解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪
1
2<sin θ≤1
＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪
⎪⎪
π6
<θ<5π
6， ∴A ∩B ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ
⎪
⎪⎪
π4<θ<1. 3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最
新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34 答案 C
解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为()A ，a ，()a ，A ，()B ，b ，()b ，B ，共4种， 所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为 1－412＝23
. 4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π
6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3
cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π
12
答案 A
解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，
可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，
所以φ＝0.
5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1 000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2 000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱共有( ) A ．2×106
枚 B ．2.02×106
枚 C ．2.025×106
枚 D ．2.05×106
枚
答案 B
解析 由题意可知，可构成一个首项为70，末项为31，项数为40，公差为1的等差数列，则和为S ＝40×()70＋312＝2 020，这一堆铜钱共有2 020×1 000＝2.02×106
(枚)．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2＋π
B ．1＋π
C ．2＋2π
D ．1＋2π
答案 A
解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12
×π×12
×2＝2＋π.
7．如图所示的程序框图，当输出y ＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )
A ．x ≤1? B．x ≤2? C．x ≤3? D．x ≤4? 答案 C
解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束．
所以y 的最大值为15，可知x ≤3？符合题意．
8.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )
A ．y ＝x
2|x |
B ．y ＝2|x |
－2 C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |
－x 2
答案 D
解析 对于A ，函数y ＝x
2
|x |，
当x >0时，y >0，当x <0时，y <0，不满足题意； 对于B ，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，不满足题意； 对于C ，当x ≥0时，y >0，不满足题意．
9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2
所截得的弦长为32
，则
双曲线C 的离心率为( ) A.1
4 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C
解析 不妨设双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线方
程联立，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2
，消去y ，得4ax 2
＋bx ＝0，
Δ＝b 2
>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝－b 4a ，
x 1x 2＝0，
所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b
4a ，
所以所截得的弦长为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋b 2a 2×b 2
16a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝32
，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4
，
e 4－e 2－12＝0，
得e 2
＝4或－3(舍)， 所以双曲线C 的离心率e ＝2.
10．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2
－2ax )e x
的极值点，则函数f (x )的最小值为( ) A ．(2＋22)e －
2
B ．0
C ．(2－22)e 2
D ．－e
答案 C
解析 ∵f (x )＝(x 2
－2ax )e x
， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x
＝[x 2
＋2(1－a )x －2a ]e x
， 由已知得，f ′(2)＝0，
∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1， ∴f (x )＝(x 2
－2x )e x
， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e x
，
∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x
＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，
当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2
－2x >0，f (x )>0， 当x ∈(0,2)时，x 2
－2x <0，f (x )<0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，
又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e
2
.
11．点M (x ，y )在曲线C ：x 2
－4x ＋y 2
－21＝0上运动，t ＝x 2
＋y 2
＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1
b
的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A
解析 曲线C ：x 2
－4x ＋y 2
－21＝0可化为(x －2)2
＋y 2
＝25，表示圆心为C (2,0)，半径为5的圆，t ＝x 2
＋y 2
＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2
＋(y －6)2
－222－a ，(x ＋6)2
＋(y －6)2
可以看作点M 到点N (－6,6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|CN |＋5，即点M 是
直线CN 与圆C 距N 较远的交点，所以直线CN 的方程为y ＝－3
4(x －2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－34(x －2)，(x －2)2＋y 2＝25，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧ x 1＝6，y 1＝－3
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝－2，y 2＝3
(舍去)，
当⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6，y ＝－3
时，t 取得最大值，
则t max ＝(6＋6)2
＋(－3－6)2
－222－a ＝b ， 所以a ＋b ＝3， 所以(a ＋1)＋b ＝4，
1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
a ＋1＋1
b [](a ＋1)＋b
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当b
a ＋1＝a ＋1
b ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2时取等号．
12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且在R 上单调递增，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )
A ．45
B ．15
C ．10
D ．0 答案 A
解析 因为函数g (x )＝f (x －5)＋x ， 所以g (x )－5＝f (x －5)＋x －5，
当x ＝5时，g (5)－5＝f (5－5)＋5－5＝f (0)， 而y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以g (5)－5＝0. 由g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，
得[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]＝0， 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 且在R 上单调递增，
可知y ＝g (x )－5关于(5,0)对称， 且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想g (a 5)－5＝0，
下面用反证法证明g (a 5)－5＝0. 假设g (a 5)－5<0，知a 5<5， 则a 1＋a 9<10，a 2＋a 8<10，…，
由对称性可知[g (a 1)－5]＋[g (a 9)－5]<0， [g (a 2)－5]＋[g (a 8)－5]<0，…，
则[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]<0与题意不符， 故g (a 5)－5<0不成立； 同理g (a 5)－5>0也不成立， 所以g (a 5)－5＝0，所以a 5＝5，
根据等差数列的性质，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，
x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．
答案 －4
解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.
14．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则
sin 2α
sin (β－α)的最大值为________．
答案
2
解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，
所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则
sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos α
sin α
＝2cos α，
因为α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，
所以sin 2αsin (β－α)
的最大值为 2.
15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →
)的最小值为________． 答案 －1
解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，
则PA →＝(－x,1－y )，PB →
＝(－x ，－y )， PC →
＝(1－x ，－y )，PD →
＝(1－x,1－y )，
(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2
－1， 当x ＝12，y ＝1
2
时，
(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →
)取得最小值－1.
16．如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π
2，
∠CBD ＝π2，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π
6，此
时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．
答案
205
3
π 解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，
△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，
分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，
由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π
6.
又∠OFA ＝π
2
，
所以∠OFE ＝π3，EF ＝1
2BC ＝1，
所以OE ＝EF ·tan π
3＝3，
所以R ＝OC ＝OE 2
＋CE 2
＝5， 所以V ＝43πR 3＝205
3
π.。