(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩
，则()2
22x y +-的最小值为（ ）
A ．
12
B ．
45
C ．
92
D ．
419
2．已知2244x y +=，则2211x y
+的最小值为（ ） A ．
5
2
B ．9
C ．1
D ．
94
3．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．3
4．已知α，β满足11
123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩
，则3αβ+的取值范围是（ ）
A ．[1,7]
B ．[5,13]-
C ．[5,7]-
D ．[1,13]
5．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．
27
5
B ．
245
C ．5
D ．6
6．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A
．B
．C ．6
D ．8
7．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．
14
B ．4
C ．
18
D ．8
8．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值
范围为（ ） A
．(1,1 B
．()
1++∞ C ．（1，3）
D ．（3，+∞）
9．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4
y x x
=+
B ．()4
sin 0πsin y x x x
=+
<< C ．e 4e x x y -=+
D
．y =
10．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛
⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值为( ) A ．36
B ．42
C ．49
D ．60
11．已知42
13
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450
y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
，则y z x =的最小值为1
4，命题q :直
线2x =的倾斜角为2
π
，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()p q ∧⌝
二、填空题
13．西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O ，半径OM ON =且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A ，B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T （点A ，T ，B 在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.
14．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，所表示的区域内（含边界），则目
标函数4z x y =-的最大值是_________. 151
x x +x =______.
16．已知x ，y 满足不等式组220,
10,30
x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.
17．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.
18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
,则称这两个不
等式为“对偶不等式”.
若不等式()
2
220x x θ-+<和不等式
()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2
πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,则θ=______.
19．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数z x y =-的最大值为_____.
20．已知实数,x y 满足40
{10
10
x y x y +-≤-≥-≥，则
x y
x
+的取值范围是__________． 三、解答题
21．已知定义域为R 的函数()22
x x
b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x
y b =的图象过点(2,4)．
（Ⅰ）求()f x 的表达式；
（Ⅱ）若方程(
)
2
3()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；
（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式(
)
2
2(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．
22．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11
x y
+的最小值； （2）当k 取何值时，不等式2
3
208
kx kx +-
<对一切实数x 都成立？ 23．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次
均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？
24．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000
和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投
资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？
25．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫
=⋅-
⎪+⎝⎭
(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).
（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
26．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝3，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），光线QR 经过ABC 的重心，若以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）AP 等于多少？
（2）D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，求x ，y 所满足的不等式组，并求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围．
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一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
作出可行域，利用()2
22x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界），
()2
22x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，
由图可知min
021
32
2
2
PM
--=
=
，（点M 到直线BC 的距离） ∴()2
22x y +-的最小值是2
3292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
． 故选：C ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：
（1）22
()()x a y b -+-，两点间的距离公式；
（2）
y b
x a
--：两点连线斜率， 2．D
解析：D 【分析】
利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】
由题意
22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222222214149
55444y x y x x y x y ⎛⎛⎫=++≥+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝，当
且仅当22224y x x y =，即2
242,33
x y ==时等号成立．
故选：D ． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
3．B
解析：B 【分析】
由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】
因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，
由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，
所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．A
解析：A 【解析】
分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β） =（λ+v ）α+（λ+2v ）β．
比较α、β的系数，得1
23v v λλ+=⎧⎨+=⎩
，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6， 两式相加，得1≤α+3β≤7． 故α+3β的取值范围是[1，7]． 故选A
点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．
5．A
解析：A 【解析】
正数x ，y 满足35x y xy +=,则
13
155y x
+=，
()134927
43433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．
6．D
解析：D 【分析】
运用基本不等式2422x y +≥=
【详解】
因为20,40x
y
>>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当
24x y =时取“=”）．
故答案为D. 【点睛】
利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．
7．C
解析：C 【分析】
根据基本不等式求解即可得到所求最大值．
【详解】
由题意得，22
112111
2222228
x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，
所以xy 的最大值是18
． 故选C ． 【点睛】
运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab
+≥逆用就是222a b ab +；(,0)2a b ab a b +≥>逆用就是2
(,0)2a b ab a b +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．
8．A
解析：A 【解析】 试题分析：∵
，故直线
与直线
交于
点，目标函数
对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系
如图所示：即，解得，又∵，解得，
选：A ．
考点：简单线性规划的应用.
【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜
角位于区间
上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据
平面直线方程判断出目标函数
对应的直线与直线
垂直，且在
点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4
y x x
=+
没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4
y t t
=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误； C 项，44e 4e e e 4
e e x x x x
x x
y -=+=+
≥⋅=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e
x
x
y -=+的最小值为4，故C 项正确；
D 项，2
21221
y x x =+≥+22
11x x +=
+，
212x +时，等号成立，所以函数22
11
y x x =++22D
项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b a
a b a b a b
++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：因为正数a ，b 满足2a b +=，
所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b a
a b a b a b a b
++=++=+
++=， 当且仅当65a =，4
5
b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
11．A
解析：A 【详解】
因为4222 3
333
2=4,3,5
a b c
===，且幂函数
2
3
y x
=在(0,)
+∞上单调递增，所以b<a<c.
故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()()
,0,0,1,1,
-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．A
解析：A
【分析】
由约束条件作出可行域，由
y
z
x
=的几何意义求得最小值判断p为真命题，由直线2
x=的倾斜角判断q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
解：变量()
,x y满足约束条件
3
4
50
y
x
x y
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+-≥
⎩
作出可行域如图：
目标式
y
z
x
=表示可行域内点(),x y与()
0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()
4,1
D
时，
min
1
4
z=，即
y
z
x
=的最小值为
1
4
，命题p为真命题；
直线2
x=的倾斜角为
2
π
正确，故命题q为真命题．
所以p q
∧为真命题，()()
p q
⌝∧⌝为假命题，()p q
⌝∧为假命题，()
p q
∧⌝为假命题；
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．
二、填空题
13．75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示：在中AF=39则即
解析：75
【分析】
设=MOT θ∠，则可得AB 长度的表达式，利用凑“1”法，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】
设=MOT θ∠，其中(0)2
π
θ∈，，
延长OM ，交AB 于D ，过B 做SB 垂线，交DO 于G ，延长ON ，交AB 于E ，过A 做SA 垂线，交NO 于F ，如图所示：
在Rt AEF 中，AEF θ∠=，AF =39，则sin AF AE θ=，即39sin AE θ
=， 在Rt BDG 中，DBG θ∠=，17BG =，则cos BG BD θ=
，即17cos BD θ=， 在Rt DOE 中， OT DE ⊥，OT=1，所以11,cos sin DO EO θθ=
=， 又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯，所以1sin cos DE θθ
=， 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=
+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-， 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤，其中3tan 4ϕ=
，当且仅当2
πθϕ+=时，等号成立，
所以
1
(4sin3cos)(39cos17sin)1 39cos17sin15
()
sin cos sin cos
f
θθθθ
θθ
θ
θθθθ
++-
+-
=≥
2222
1
(68sin207sin cos117cos)(sin cos)
5
sin cos
θθθθθθ
θθ
++-+
=
=
22
63207112
sin sin cos cos716207
555(9tan)
sin cos5tan5
θθθθ
θ
θθθ
++
=++
716207
29tan75
5tan5
θ
θ
≥⨯⨯+=，
当且仅当
16
9tan
tan
θ
θ
=，即4
tan
3
θ=时等号成立，
所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.
故答案为：75.
【点睛】
解题的关键是根据题意，得到AB长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.
14．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A时z取最大值由可得所以故答案为：
解析：
16
3
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数4
z x y
=-可化为4
y x z
=-，
上下平移直线4
y x z
=-，数形结合可得，当直线过点A时，z取最大值，
由
210
3
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
，可得
54
,
33
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
所以54164333max z =⨯
-=. 故答案为：
163
. 【点睛】 方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.
15．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解
解析：4
【分析】
11
=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】
11≥，
111615
=-≥=-=，
1
=
4x =时，等号成立. 故答案为：4.
【点睛】
11
，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 16．4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域（阴影区域）内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为：【点睛】结论点睛：常 解析：4
【分析】
先分析
11x y -+的几何意义，然后利用线性规划求解出11
x y -+的取值范围，从而z 的最大值可求.
【详解】
作出可行域如图所示，11x z y -=+可以看做1PM k ，其中()1,1P -，M 为可行域（阴影区域）内一点，
因为()1121PA k --==-，()0.511314
PA k ---==-， 所以(]1,2,4PM k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
，所以(]10,4PM k ∈， 所以z 的最大值为4，
故答案为：4.
【点睛】
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1）y b z x a -=
-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率； （2）()()22z x a y b =-+-(),x y 到点(),a b 的距离；
（3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +倍. 17．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条
解析：【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
18．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案 解析：56
π 【分析】 由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得
432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112
a b ⋅=，化简得tan 23θ=即可得解.
【详解】 设不等式()
243220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则a ，b 为方程()
243220x x θ-+=的两个根， 1a ，1b
为方程()224sin 210x x θ++=的两个根， 由韦达定理得432a b θ+=，2ab =，
112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=， 所以322sin 22
θθ=-即tan 23θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈，
所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：
56π. 【点睛】
本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.
19．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，
根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
20．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问
解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
先画出可行域如图：
因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）
连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大；
联立1{4x x y =+=，可得13
x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31
x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ， 故：13OC k =
，3OA k =，∴133OP k ≤≤， 所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与
定点()00O ，
连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.
三、解答题
21．（Ⅰ）121()22
x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥. 【分析】
（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()2
4f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用
函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为
2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数
的图像特点求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，
得2b =， 所以2()222
x x n f x +=-⋅-， 又()f x 为R 上的奇函数，
所以()00f =，
得1n =-，
经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-， 所以121()22
x x f x +-+=+； （Ⅱ）12111()22221
x x x f x +-+==-+++， 因为21x y =+在定义域内单调递增， 则121
x y =+在定义域内单调递减， 所以()f x 在定义域内单调递增减，
由于()f x 为R 上的奇函数，
所以由()23()0f x x f a x ++-+=，
可得()
()23()f x x f a x f a x +=--+=-， 则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，
即()2
4f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点， 则()()4000
440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩
， 所以实数a 的取值集合为{}
40a a -<<.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数， 由(
)22(1)0f t a f at -+-≥， 得()()221f t a f at -≥-，
所以221t a at -≤-，
即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，
令()2
21g t t at a =+--， 由题意()()
1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩， 得0a ≥，
所以实数a 的取值范围为：{}
0a a ≥.
【点睛】
关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.
22．（1）
33+；（2）30k -<≤. 【分析】
（1）将代数式()123
x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围.
【详解】
（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，
所以，()11111121233333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，
当且仅当x =时，等号成立，
因此，11x y +； （2）由于不等式23208kx kx +-
<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308
-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得2030k k k <⎧⎨∆=+<⎩
，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤.
【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：
设()()2
0f x ax bx c a =++≠
①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩
； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩
； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩
. 23．选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得最高学分为180分
【分析】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，根据题意列出线性约束条件404030140020401000
,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩，目标函数54z x y =+，作出可行域，即可求解. 【详解】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则404030140020401000,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 目标函数54z x y =+，二元一次不等式组等价于4043140250,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.
作直线:540l x y +=，
直线l 沿可行域方向平移，当直线过M 点时，目标函数取得最大值.
联立4314040x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得20
20x y =⎧⎨
=⎩
. 所以点M 的坐标为()20,20， 此时max 520420180Z =⨯+⨯=.
所以选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得的学分最高，最高学分为180分. 【点睛】
本题主要考查了利用线性规划解决实际问题，属于中档题. 24．甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000万元 【解析】
试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元.根据已知条件可列出可行域为
5000
{0.40.212000,0
x y x y x y +≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y =+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值. 试题
设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元
5000{0.40.212000,0
x y x y x y +≤+≤≥≥
求0.8z x y =+最大值 如图作出可行域
当目标函数结果点()1000,4000A 时，
0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，
此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大. 25．（1）3601808204
k
y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）354k -；（3）0.65 【分析】
（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡
⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦
，进而结合基本不等式求出()4544
k
x x ++
+的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004
k
k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802
x x k x ++≥
+，求出
()()20842
x x x +++的最大值，令()()max
20841802
x x k x ++⎡⎤
≥⎢⎥+⎣
⎦，即可得出答案. 【详解】 （1）由题意，
80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--12306820
4k x x ⎛
⎫=⋅--- ⎪+⎝
⎭
3601808204
k
k x x =-
--+， 即3601808204
k
y k x x =-
--+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡
⎤=-
--=+-++⎢⎥++⎣
⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以
()
4544
k
x x ++
≥=+4544k x x
+=+，即4x =时，等号成立.
所以
()451801284180124k y k x k x ⎡⎤
=+-++
≤+-⎢⎥+⎣
⎦
故政府补贴为4
万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为
18012k +-.
（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004
k
k x x -
--≥+在[0,10]x ∈上恒成立，
不等式整理得，()()20841802
x x k x ++≥
+，
令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()20848428
8202
x x m m m x m
m
++++==+
++， 由函数()8
820h m m m
=+
+在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********
h m h ==⨯+
+=+， 所以21801163
k ≥+，即2
11630.65180
k +
≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.
【点睛】
本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
26．（1）||1AP =；（2）x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪
+->⎨⎪--<⎩
，D （x ，y ）到直线
2x +4y +1＝
距离的取值范围为． 【分析】
（1）建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于
y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，R ，2P 四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值；
（2）先求出,,RQ PR PQ 所在直线的方程，即得x ，y 所满足的不等式组，再利用数形结合求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围． 【详解】
（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ．
设ABC ∆的重心为E ，则E 点坐标为(1,1)，
设P 点坐标为(,0)m ，则P 点关于y 轴对称点1P 为(,0)m -， 因为直线BC 方程为30x y +-=， 所以P 点关于BC 的对称点2P 为(3,3)m -，
根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，
∴12E P E P k k =， 即
113113
m
m -+=+-， 解得，1m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，故舍去．∴1m =． 所以||1AP =.
（2）由（1）得2P 为(3,2)，又1(1,0)-P ，所以直线RQ 的方程为210x y -+=； 令210x y -+=中10,2x y =∴=
，所以1
(0,),2
R 所以直线PR 的方程为210x y +-=； 联立直线BC 和RQ 的方程30210
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得54
(,)33Q ,所以直线PQ 的方程为
220x y --=.
D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，所以x ，y 所满足的不等式组为
210210220x y x y x y -+>⎧⎪
+->⎨⎪--<⎩
. 直线2410x y ++=和直线PR 平行，所以它们之间的距离为
22
3
=
510
24+； 点Q 到直线2410x y ++=的距离为22
54|2+4+1|
2933=53024⨯⨯+.
所以D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为329
55)1030
(
，．
【点睛】
本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，考查线性规划问题，考查解析法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。