带有强吸收项的半线性热方程解的相关性质

带有强吸收项的半线性热方程解的相关性质
1. 半线性热方程
半线性热方程是一种描述热迁移过程的非线性方程，其特殊之处在于它带有强吸收（absorption）项。

它的一般形式为：
\begin{equation}\label{eq:heat}
\left\{
\begin{array}
{lll}
u_t = \pexp{\Delta}{u} + f(u) & \quad \mbox{in} \ \Omega \times (0,
\infty) \\
\frac{\partial u}{\partial n} = 0 & \quad \mbox{on} \quad \partial \Omega \times (0, \infty)\\
u(x, 0) = u_0(x) & \quad \mbox{in} \ \Omega
\end{array}
\right.
\end{equation}
其中，Ω是已知函数u的域，$u_t$是时间变量的对u的偏导数，$\Delta$表示Laplace算子，f(u)就是那个特殊的强吸收项，
$\frac{\partial u}{\partial n}$表示u的边界自变量的偏导数，$u_0(x)$是初始状态下的u函数值。

2. 关于半线性热方程的解的性质
（1）对定义域$\Omega$，解$u(x,t)$是一个单值函数；
（2）解$u(x,t)在t>0时有限，|u(x,t)|<$M，即它具有渐进稳定性；
（3）解$u(x,t)$是在$[0,t]$上单调递减的，当t趋向于无穷时，解收
敛到相等的一个常数，即所谓整体稳定性；
（4）解$u(x,t)$在x序列$\{x_n\}$上具有极限，即当$x_n$趋近于Ω
中某一点时，解$u(x,t)$趋于某一实数；
（5）解$u(x,t)$满足积分如下：
$$\int_\Omega u(x,t)dx=\int_\Omega u_0(x)dx$$
即保持了热能的守恒。

3. 半线性热方程解的局部性
对任意x属于Ω，t>0,半线性热方程解$u(x,t)$的局部性可以表述为：$u(x,t)$只与$u_0$在$B(x,r)\subset \Omega$的值有关。

即当r足够小时，在$B(x,r)$以外的$u_0$对$u(x,t)$没有影响。

从而可以将求解这个热方程改变为解一个具有有限支数的中值问题。

从而可以进行计算机模拟解决。