衡中高三数学文科试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）
1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(2)的值。

答案：f(2) = 2×2^3 - 3×2^2 + 4×2 - 1 = 16 - 12 + 8 - 1 = 11
2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项an的值。

答案：an = a1 + (n - 1)d = 3 + (10 - 1)×2 = 3 + 18 = 21
3. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、
b、c的取值范围是？
答案：由于开口向上，a > 0；顶点坐标为(-1, 2)，则b = -2a，c = a - 2a = -a。

所以a > 0，b < 0，c < 0。

4. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值。

答案：|z| = √(1^2 + 1^2) = √2
5. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，求第5项bn的值。

答案：bn = b1 × q^(n - 1) = 2 × 3^(5 - 1) = 2 × 3^4 = 162
二、填空题（每题5分，共50分）
6. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)在区间[1, 3]上的最大值为______。

答案：f(x)在区间[1, 3]上的最大值为f(3) = 3^2 - 2×3 + 1 = 4。

7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 4，公差d = -2，求第10项an的值。

答案：an = a1 + (n - 1)d = 4 + (10 - 1)×(-2) = 4 - 18 = -14。

8. 已知函数y = (x - 1)^2 + 2的图像开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，则该函数在x = 2时的函数值为______。

答案：y = (2 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3。

9. 已知复数z = 1 - 2i，求|z|的值。

答案：|z| = √(1^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5。

10. 已知等比数列{cn}的首项c1 = 3，公比q = -2，求第5项cn的值。

答案：cn = c1 × q^(n - 1) = 3 × (-2)^(5 - 1) = 3 × (-2)^4 = 48。

三、解答题（共100分）
11. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的单调区间和极值。

解答：
首先，求f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令f'(x) = 0，得x = 1 或 x = 2/3。

当x < 2/3时，f'(x) > 0，所以f(x)在(-∞, 2/3)上单调递增；
当2/3 < x < 1时，f'(x) < 0，所以f(x)在(2/3, 1)上单调递减；
当x > 1时，f'(x) > 0，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增。

又因为f'(2/3) = 0，f'(1) = 0，所以f(x)在x = 2/3和x = 1处取得极值。

当x = 2/3时，f(x)取得极大值f(2/3) = (2/3)^3 - 3×(2/3)^2 + 2×(2/3) +
1 = 7/27；
当x = 1时，f(x)取得极小值f(1) = 1^3 - 3×1^2 + 2×1 + 1 = 1。

12. （15分）已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求前n项和S_n的
表达式。

解答：
由等差数列的求和公式S_n = n(a1 + an)/2，得
S_n = n(2 + 2 + (n - 1)×3)/2 = n(2 + 2 + 3n - 3)/2 = n(3n - 1)/2。

13. （20分）已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值
和最小值。

解答：
首先，求f(x)的导数f'(x) = 2(x - 1)。

令f'(x) = 0，得x = 1。

当x < 1时，f'(x) < 0，所以f(x)在[0, 1)上单调递减；
当x > 1时，f'(x) > 0，所以f(x)在(1, 2]上单调递增。

又因为f(0) = 3，f(1) = 2，f(2) = 3，所以f(x)在区间[0, 2]上的最大值为3，最小值为2。

（注：以上仅为模拟答案，实际考试答案可能会有所不同。

）。