2.4 常见的连续型分布汇总

常见连续型随机变量及其概率分布
(一) 均匀分布
例1 公共汽车站每5分钟有一辆车到站，设某人到
达车站的时刻是随机的， X表示这人的等车时间，
求X 的分布函数和概率密度
0,
F(x) P(X
x)
x ,
5 1,
•
•
05
x0 0 x5 x5
f (x)
x
1, 0 x5 5 0, else
X 的概率密度:
D(Z) E(Z 2 ) [E(Z )]2 E(Z 2 )
t2
1
t2
2 e 2 dt
| 1
2
t2
t d (e 2 )
1 t
2
t2
e 2
1
2
t 2
e 2 dt
0 1 1
D(X ) D( Z) D( Z ) 2D(Z ) 2.
例7 X ~ N (1.5, 4),
一分钟内进入商场的顾客数服从参数为 的泊松分布 5分钟内进入商场的顾客数服从参数为 5的泊松分布
F(5) P(T 5) 1 P(T 5) 1 P( X 0) 1 e5
1 et , t 0 F(t)
0, t 0
et , t 0 f (t) F(t)
0, t 0
X 的概率密度:
ex, x 0 f (x)
0, x 0
称 X 服从参数为 的指数分布.
分布函数
1 ex, F(x)
x0
0, x 0
指数分布常用来描述某一事件发生的等待时间，比如 乘客在车站的等车时间，灯泡的使用寿命(等待用坏 的时间),进入超市的两名顾客的时间间隔。
例4 某元件寿命 X 服从参数为 的指数分布，求 (1) 该元件使用了 t (t > 0)小时没有损坏的概率；
(2) P( X 1.24) P( X 1.24) 1 (1.24) 0.1075,
(3) P(0 X 1.24) P( X 1.24) P( X 0)
(1.24) (0) 0.8925 0.5 0.3925
例5 X ~ N(0,1), 求 (1) P( X 1.24) (2) P( X 1.24) (3) P(0 X 1.24) (4) P( X 1.24)
求 P( X 3.5), P(1.5 X 3.5), P( X 3)
解:
P(
X
3.5)
P(
X
2
1.53.52
1.5)
(1)
0.8413,
P(1.5
X
3.5)
P(1.52
1.5
X
2
1.5
3.52
1.5)
(1) (0) 0.8413 0.5 0.3413,
P( X 3) P( X 3) P( X 3)
D(X ) E( X 2 ) [E(X )]2 (b a)2 . 12
(二) 指数分布
例3 在一分钟内进入商场的顾客数 X服从参数为 的
泊松分布，相邻两位顾客进入商场的间隔时间是 ， 求 T的分布T函数和概率密度
解：t 0, F(t) P(T t) 0, t 0, 不妨取 t 5（分钟）
(2) 若发现该元件使用了 s 小时没有损坏,它还可以
使用 t 小时的概率.
解: (1) P(X t)
t
e x dx ex
t
et ,
(2) P( X s t X s )
P(X s t) P(X s)
e ( st ) es
et
P(X
t)
这性质称为“无记忆 性”.
(三) 正态分布
(2) 任取50个这种零件，至少有一个不合格的概率.
解: (1) P(20 0.1 X 20 0.1) P( X 20 0.1) P( X 20 0.1 )
0.05 0.05
2(2) 1 0.9544.
零件不合格的概率是0.0466
(2) 1 0.954450
f (x)
1, ba
a xb
0, else
称X 在(a,b)上服从 均匀分布, 记作 X ~ U(a,b)
0, x a
X
的分布函数
F(x)
x
b 1,
a a
,
a xb xb
f (x)
F(x)
1
1
ba
oa
bx o a
b
x
例2 设X ~ U (a,b), 求E( X ), D( X )
1
( x )2
e 2 2
2
如果固定 , 改变 的值 ,
则曲线形状不变，对称轴发生变化
固定 μ , 改变 σ 的大小时 , 对称轴不变, σ 越小 , 曲线越高越窄, 随机变量分布越集中。 σ越大 , 曲线越低越宽，随机变量分布越分散。
标准正态分布表（190页附表4）
X ~ N (0,1)
x
(x)
1.24 o
1.24
x
(4) P( X 1.24) P(1.24 X 1.24) (1.24) (1.24) (1.24)[1 (1.24)] 2(1.24) 1 0.785.
一般正态分布与标准正态分布的关系
X ~ N(, 2 ),
则
X
~ N(0,1)
这个过程称为标准化
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
标准化
X
(x)
1
x2
e2
2
平移，放缩
(x)
o
x
o
x
例6 设 X ~ N ( μ,σ2 ), 求E( X ), D( X )
解：将 X标准化
Z
X
N (0, 1)
(x)
1
x2
e 2,
2
奇函数
E(Z) x
1
x2
e 2 dx
0,
2
o
x
E(X ) E( Z) E(Z ) .
解:
f (x)
1, ba
a xb
0, else
E(X )
x
f (x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 ba
x2 2
|ba
1 b2 a2 2 ba
1 (a b). 2
E(X 2 ) x2 f (x)dx
bx2 1 dx
a ba
1 x3 ba 3
|ba
a2 b2 ab 3
2
1
x2
e2
(x2
1)
2
-1< x < 1时凸，x < -1和x > 1时凹，在 x =±1处有拐点,
(4) 渐近线 lim( x) lim
x
x
x轴 y =0 是水平渐近线.
1
x2
e 2 0
2
(5)
( x) 0,
( x)dx 1
(x)
1 o
1
x
一般正态分布的概率密度 f ( x)
( x) P( X x)
1
t2
e
2
2 dt
(x)
o
x
x
例5 X ~ N(0,1), 求 (1) P( X 1.24) (2) P( X 1.24) (3) P(0 X 1.24) (4) P( X 1.24)
(x)
1.24 o
1.24
x
解: (1) P( X 1.24) (1.24) 0.8925,
x
( x)
1
t2
e
2
2 dt
1
标准正态分布的概率密度 ( x)
x2
e 2 的性态
2
(1) 对称性 (2) 单调性
曲线关于x =0 对称
( x)
1
x2
xe 2
2
x < 0时递增，x > 0时递减， x =0 是极大值点
(3) 凹凸性
( x)
1
x2
e 2
1
x2
xe 2 (x)
2
P( X 1.5 3 1.5
2
2
)
P( X
2
1.5
3
2
1.5
)
1 (0.75) 1 (2.25) 2 0.7734 0.9878 0.2378
例8 某机器生产的零件长度 X 服从正态分布 N (20,0.052 ) 规定长度在范围 20 0.1 内为合格 求(1) 零件不合格的概率
X 的概率密度:
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
x R, 0
称 X 服从参数为 μ,σ的 正态分布或高斯分布,
记作 X ~ N ( , 2 )
特别地，当 0, 1, 称 X 服从标准正态分布.
记作 X ~ N (0,1)
1
概率密度 ( x)
x2
e2
2
分布函数