高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 双曲线练习 理 北师大版

第7讲 双曲线
一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲
线的渐近线方程为( ) A.y ＝±1
2x
B.y ＝±
2
2
x C.y ＝±2x
D.y ＝±2x
解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2
－b 2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2
x ，故选B. 答案 B
2.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5，0)，则双
曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1
B.x 29－y 2
16＝1 C.
x 2
16
－y 29
＝1
D.x 23－y 2
4
＝1 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54
，所以c ＝5，a ＝4，b
2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2
9＝1，故选C.
答案 C
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的
距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53
B.355
C.63
D.62
解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝b
a
x 的距离为2，即|bc |
a 2＋
b 2
＝2，
又b ＞0，c ＞0，a 2
＋b 2
＝c 2
，∴bc c
＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2
＝5，∴离心率e ＝c a
＝3
5
＝355.
答案 B
4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠
F 1PF 2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
解析 由x 2
－y 2
＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，
∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，
在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|＝3
4.
答案 C
5.(2017·成都调研)过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两
条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.43
3
B.2 3
C.6
D.4 3
解析 由题意知，双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝
±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题
6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 2
3＝1的焦距是________.
解析 由已知，得a 2
＝7，b 2
＝3，则c 2
＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 210
7.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在
的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.
解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π
4
，
∴b a ＝tan π
4
＝1，即a ＝b . 又a 2
＋b 2
＝c 2
＝8，∴a ＝2. 答案 2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，
AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.
解析 由已知得|AB |＝2b 2
a ，|BC |＝2c ，∴2×2b
2
a
＝3×2c .
又∵b 2
＝c 2
－a 2
，整理得：2c 2
－3ac －2a 2
＝0，两边同除以a 2
得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2
－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a －2＝0，即2e
2
－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. (1)解 ∵e ＝2，
∴可设双曲线的方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2
－y 2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m
3－23
，
k MF 1·k MF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，m 2
＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→
＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→
＝(23－3，－m )，
∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2
， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2
＝6，即m 2
－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→
＝0.
10.已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.
解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2
＝3，c 2
＝4，再由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1. 故C 2的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩⎨⎧1－3k 2
≠0，
Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2
）＞0，
∴k 2≠13且k 2
＜1.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2
＋73k 2－1＞2，即－3k 2
＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2
＜3.②
由①②得13＜k 2
＜1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－
33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，1. 11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于
点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C
的方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 2
8
＝1
D.
x 2
12
－y 2
4
＝1 解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b a
x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b ).
设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2
＋b 2
＝16，所以有(c －a )
2
＋b 2
＝c 2
，又c 2
＝a 2
＋b 2
，则c ＝2a ，即a ＝c
2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22
＝12.故双曲线
的方程为x 24－y 2
12＝1，故选A.
答案 A
12.若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于
2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，52
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，72 C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
52，＋∞
D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2
＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2
，∴2b ≥a ，
又∵c 2
＝a 2
＋b 2
≥a 2
＋a 24＝5
4a 2
，∴e ＝c a ≥52
.
答案 C
13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2
－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，
且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.
解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，
结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2
＜m 2
＋42
，42＜（m ＋2）2＋m 2
，
解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)
14.已知双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的
距离为255
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
AP →＝PB →
，求△AOB 的面积.
解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a
b
＝2，|2×0＋a |5＝255，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝1，
故双曲线的方程为y 2
4
－x 2
＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪
⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 2
4－x 2
＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，
∵tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.
又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝1
2|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。