吉林省梅河口市第五中学高三数学第四次模拟考试试题理(2021年整理)

所以ìíanüý是以 2 位首项，1 为公差的等差数列…………………..3 分
înþ
\
an
=n+1
n
\an=n(n+1)
…………………..5 分
(Ⅱ）
1
=
1
<
5
．
………………….。6 分
a+b
6
12
1
1
n≥2时,由（Ⅰ）知an+bn=(n+1)(2n+1）>2(n+1)n．·····································9分
³
-1
（Ⅲ)若a= -2，正实数x，x
满足f（x）+f（x
) +x x
2
= 0
,证明x
+x
2
5
1
2
1
2
1
1
2
．
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
如图,E 是圆内两弦 AB 和 CD 的交点，F 为 AD 延长线上一点，FG 切圆于 G，且FE=FG．
( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3.（2x-
1
）8的二项展开式中，各项系数和为
（
)
x
A． 28
B． -28
C．1
D。 -1
4。下列命题中正确命题的个数是
（
)
（1） cosa ¹ 0 是a ¹ 2kp +
p
（kÎZ） 的充分必要条件
2
（2)f（x) =
sinx
+
cosx
则f(x)最小正周期是p
(3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变
(方法二）
在棱PA上取点E,使得AE=1,——--—-—-——----—2分
EP3
因为AD∥BC,
所以AF=AD=1,
FCBC3
所以,E F∥P C
7
因为PCË平面BDE，EFÌ平面BDE
所以PC∥平面BDE—-——-----———-
4 分
(2）取BC上一点G使得BG=
, 连结DG,则ABGD为正方形。
x
2
+y2
= 1
.由 ÐADC= 90°得k
×k
= -1，
,则
1
AD
CD
1
1
4
1
1 -
x2
y
y
y
2
1
2
= - ,\
=
4
= - ，
解得x=
,x
= -2(舍去）
\
1
×
1
1
x+2
x-1
(x+2)×(x-1)
x
+x
- 2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
´
2
④"q ÎR,函数f(x)=sin(2x+q)都不是偶函数.正确的命题序号是．
在DABC中,角A，B,C所对边的长分别为a，b,c,M为AB边上一点，
CA
CB
c
CM= lMP（l ÎR）且MP
=
+
，又已知
CM
=
，
2
a2+b2=2
ab，则角C=
CA
cosA
CB
cosB
2
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（I)求集成电路 E 需要维修的概率；
（II）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成,设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， Ð ABC= Ð BAD=90 ，AP=AD=AB= 2 ，BC=t，ÐPAB=ÐPAD=a
ï
tx+
（1 -
t)y-z=0
2
2
则 í
，即í
îïnPD=0
ï
î-y-z=0
2
2
不妨令y=1,可得n=(1-
，1, -1）为平面PCD的一个法向量.
t
--—--—--———11 分
m n=0，解得t=2
即棱BC的长为2
—---—-—-—-—-—---12 分
2
2。
8
20。解(1)依题意,A（-2,0）。设D（x,y）
(I)证明:FE∥BC；
AF
（II)若 AB⊥CD，∠DEF=30°，求FG．
4
23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
ìx=2cosq
已知曲线C1
ï
（q 为参数），以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半
的参数方程为 í
y=
ï
3 sinq
î
轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为r=2。
(1）若 ÐADC= 90°，求△ADC的面积S;
（2）设直线PB,DC的斜率存在且分别为k1,k2,若k1= lk2，求 l 的取值范围.
21.(本小题满分12分）
已知函数f(x）=lnx-
1
ax2+x，aÎR．．
2
（Ⅰ）若f(1）=0,求函数f(x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=f(x）-（ax-1)，讨论函数g(x)的单调区间；
(I)当t= 3 2 时,试在棱 PA 上确定一个点 E，使得 PC∥平面 BDE，并求出此时EPAE的
值;
(II)当 a =60时，若平面 PAB ^ 平面 PCD，求此时棱 BC 的长．
3
20.（本小题满分12分)
已知椭圆E：x2+y2=1的左，右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一
4
动点P，点P在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D,连接DC,PB。
17。(本小题满分 12 分）
数列｛an} 满足a1= 2 ，且nan+1- （n+1）an=n(n+1） ．
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ） 已知b
= (n+1）2，求证：
1
+
1
+×××+
1
<
5
n
a1
+b1
a2+b2
an+bn
12
18。(本小题满分12分)
集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降为12,12，23,且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作,否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元．
2
P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA，OB，OD，OG。
AP=AD=AB,ÐPAB= ÐPAD=600,
所以DPAB和DPAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，
即点O为正方形ABGD对角线的交点，--—-———-—-—————7分
因为OG,OB,OP两两垂直
以O坐标原点，分别以OG,OB，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的
= （2，1 -
2
-1）
分
设平面PAB的法向量m=（x1,y1,z1），
ì
0
ì-x-z=0
ïmPA=
， 则 í
，即í
îïmPB=
0
îy-z=
0
不妨令x= -1，可得m=（-1,1,1)为平面PAB的一个法向量.------——-—-10分
设平面PCD的法向量n=（x2，y2，z2),
ì
ì
2
2
ïnPC=0
5
=
250
。
…………12 分
12
3
19 解：（1）（方法一）
连接AC,BD交于点F，在平面PCA中作EF//BC交PA于E，因为PCË平面BDE，EFÌ平面BDE
PC∥平面BDE,——-———-—--—-———2分
因为AD∥BC,所以FCAF=BCAD=13,
因为E F∥P C， 所以EPAE=FCAF=13. ——-—-———————-4 分
3
12
（Ⅱ）设Y为维修集成电路的个数，则Y B（2,
5
) ,而X=100Y，
12
5
7
P(X=100k）=P(Y=k）=Ck（
）k（
)2-k，k= 0,1， 2。
… … … … 9
12
2
12
分
的分布列为：
………………10 分
EX=0´14449+100´3572+200´14425=2503
或EX=100EY=100´2´
1
2
2
3
12
6
②3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为
p2=p(ABC+ABC+ABC）=p（ABC)+p(ABC）+p(ABC）
=
1
´
1
´
1
+
1
´
1
´
1
+
1
´
1
´2Biblioteka =4=1
……………5 分
2
2
2
2
2
12
3
2
3
3
3
1
1
5
所以，集成电路 E 需要维修的概率为p+p
=
+
=
． ……………6 分
1
2
12
球 O 的体积
为
4p
，则OP两点间的距离为
(
）
3
3
A。
2
B。
3
C 。
D .2
2
11.直线l与抛物线C:y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA,OB的斜率k1,
k2满足k1k2
=
2
，则l一定过点
（ )
3
A. （-3，0）
B. （3,0)
C。 (-1,3）
D。 （-2，0）
已知函数f(x）=x-lnx+k，在区间［1e，e］上任取三个数a，b，c均存在以f(a)，f（b)，
î
A。 [-1,1]
B. (- ¥，-1]È (0,1)
C. [-1，4]
D. (- ¥，-1]È[0，4]
7.若函数y=cos 2x与函数y=sin（x+j）在[0,p2]上的单调性相同,则j的一个值为
(）
A．
p
B．
p
C．
p
D．
p
6
4
3
2
12.从P点出发的三条射线PA, PB, PC两两所成角均为60,且分别与球O切于点A, B, C，若
5
一．选择题
BACCC
BACDB AD
二．填空题
19
p
13。
14 。 10
15。 ①
16.
50
4
三．解答题（阅卷时发现其他正确解答,请教师参阅此评分标准酌情给分）
17.解：（1)由nan+1-（n+1)an=n(n+1)
得,
an+1
-
an
= 1， …………………..2 分
n+1
n
2.a11= 2 ,
f（c）为边长的三角形,则k的取值范围是(）
A． （-1，+ ¥)B. （-¥， -1）C。（-¥，e- 3)D。(e- 3，+ ¥）
二、填空题（共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 380 粒落
到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为．
空间直角坐标系O-xyz.
O(0，0，0），P（0，0，1)，A(-1,0,0）,B（0,1,0），D（0，-1，0）G（1,0，0)
设棱BC的长为t，则C( 22t,1 - 22t, 0） ，
t
t
2
2
-—--—--——-————9
PA=（-1, 0,-1),PB=（0，1,
-1）,PC
， -1),PD= (0, -1,
B． 31
C． 33
D． 35
某四棱锥的三视图如图所示,其中正（主）视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰
三角形,俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（)
A。
4
B。
8
C。 4
D.
2
3
3
3
1
8.
ì3 + log2
x，x>0
，则不等式f（x）£5
的解集为( )
已知函数f(x）= í
2x2- 3x,x£ 0
故
1
+
1
+ …+
1
<
1
+
1
æ
1
+
1
+ …+
1
ö
ç
÷
a1+b1
a2+b2
an
6
2
2´ 3
3´ 4
n（n+1）
+bn
è
ø
=
1
+
1
æ 1
-
1
+
1
-
1
+…
+
1
-
1
ö
ç
÷
6
2
2
3
3
4
n
n+1
è
ø
=
1
+
1
æ 1
-
1
ö
<
1
+
1
=
5
ç
÷
6
2
2
n+1
6
4
12
è
ø
综上，原不等式成立． ·················································································· 12 分
吉林省梅河口市第五中学2018届高三数学第四次模拟考试试题 理
一．选择题（每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1。已知复数z=
5 + 3i
，则下列说法正确的是（
）
1 -i
A．z的虚部为 4i
B。z的共轭复数为1- 4i
C．
z
= 5
D.z在复平面内对应的点在第二象限
已知m,nÎR，集合A={2， log7m},集合B={m，n}，若AÇB={0}，则m+n=
(1）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．
（2)已知 M，N 分别为曲线C1的上、下顶点，点 P 为曲线C2上任意一点，求PM+PN
的最大值．