湖北省武汉市2020届高三下学期文数3月质量检测试卷

湖北省武汉市2020届高三下学期文数3月质量检测试卷一、单选题 (共12题；共24分)
1．（2分）已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）
A．1
2B．−1
2
C．2D．﹣2
2．（2分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．（2分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）
A．1
9B．1
6
C．1
18
D．5
12
4．（2分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）
A．5
3B．8
5
C．13
8
D．21
13
5．（2分）已知数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，则a1+a3＝（）A．6B．7C．8D．9 6．（2分）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（）A．√2B．√3C．2√2D．3√2
7．（2分）已知tan（α+π
4
）＝7，且π<α<3π
2
，则sinα＝（）
A．3
5B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
8．（2分）若e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，而a⃗=2 e1⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ ，b⃗=−3 e1⃗⃗⃗⃗ +2 e2⃗⃗⃗⃗ ，则向量a⃗和b⃗夹角为（）
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
9．（2分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π
3 ），则f （x ）的最小值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．√34
D ．√22
10．（2分）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、
SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（ ）
A ．SG ⊥△EFG 所在平面
B ．SD ⊥△EFG 所在平面
C ．GF ⊥△SEF 所在平面
D ．GD ⊥△SEF 所在平面
11．（2分）如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤0
B ．a ≤l
C ．a ≤2
D ．a ≤3√23
2
12．（2分）已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为
（ ）
A ．√
55
B ．2√55
C ．3√55
D ．√53
二、填空题 (共4题；共4分)
13．（1分）函数f （x ）＝xlnx +1在点（e ，e +l ）处的切线方程为 ． 14．（1分）若函数f （x ） =
cosx+a
sinx
在（0， π2 ）上单调递减，则实数a 的取值范围为 ． 15．（1分）已知 M =x√1−y 2+y√1−x 2 ，则M 的最大值为 ．
16．（1分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正
以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．
三、解答题 (共7题；共65分)
17．（10分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15．
（1）（5分）求数列{a n }的首项a 1和公比q ； （2）（5分）若a n ＞n +100，求n 的取值范围．
18．（10分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC
的中点．
（1）（5分）求证：AC ⊥QL ； （2）（5分）求四面体DPQL 的体积．
19．（10分）一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了
解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510
（1）（5分）求这10袋白糖的平均重量 x
̅ 和标准差s ； （2）（5分）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（ x
̅−s ， x ̅+s ）的概率是多少？（附： √25.8≈ 5.08， √258≈ 16.06， √25.9≈ 5.09， √259≈ 16.09）
20．（10分）已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足 FP
⃗⃗⃗⃗⃗ = （2，2 √3 ） （1）（5分）求抛物线Γ的方程；
（2）（5分）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
21．（5分）（1）（5分）研究函数f （x ） =
sinx
x
在（0，π）上的单调性。

（2）（1分）求函数g （x ）＝x 2+πcos x 的最小值．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =5cosαy =4sinα （ α 为参数），以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）（5分）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）（5分）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．
23．（10分）已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．
（1）（5分）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；
（2）（5分）已知关于x 的不等式f （x ） ≥a 2
2
在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为z＝（1+2i）（1+ai）= (1−2a)+(a+2)i，
又因为z∈R，
所以a+2=0，
解得a＝-2.
故选：D
【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）= (1−2a)+(a+2)i，再根据z∈R求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，
又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.
故选：C
【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集. 3．【答案】B
【解析】【解答】抛掷两个质地均匀的骰子，共有6×6=36种可能，
向上的点数之和小于5的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2),(3,1)有6种，
.
所以向上的点数之和小于5的概率为1
6
故选：B
【分析】先列举算出抛掷两个质地均匀的骰子共有基本事件的总数，再找出向上的点数之和小于5的事件的基本事件的个数，然后通过古典概型的概率公式求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】第一次循环，s=2,i=1，
第二次循环，s=3
,i=2，
2
第三次循环，s=5
,i=3，
3
第四次循环，s=8
,i=4，
5
第四次循环，s=13
,i=5，
8
.
此时不满足i≤4，输出s=13
8
故选：C
【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合i≤4，终止循环，输出s. 5．【答案】B
【解析】【解答】已知数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，
所以S1=a1=2，
所以S2=a1+a2=5,∴a2=3，
所以S3=a1+a2+a3=10,∴a3=5，
所以a1+a3＝7.
故选：B
【分析】根据数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，求出a1,a2,a3，再求解. 6．【答案】C
【解析】【解答】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得x−y−2=0，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为d=
2
√2
，
所以公共弦长为：l=2√r2−d2=2√2.
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 7．【答案】B
【解析】【解答】因为tan（α+π
4
）＝1+tanα
1−tanα=7,
所以tanα=3
4
，
即sinα
cosα=3
4
，
又因为sin2α+cos2α=1且π<α<3π
2
，
所以sinα＝−3
5
.
故选：B
【分析】先利用两角和的正切转化tan（α+π
4
）＝1+tanα
1−tanβ
=7,求得tanα=3
4
，再结合平方关
系sin2α+cos2α=1求解.
8．【答案】C
【解析】【解答】因为e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，且a⃗=2 e1⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ ，b⃗=−3 e1⃗⃗⃗⃗ +
2 e 2⃗⃗⃗⃗ ，
所以 a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅(−3e 1⃗⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗⃗ )=−72 ，
所以 |a |=√(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=√7 ， |b ⃗ |=√(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2
⃗⃗⃗ )2=√7 ， 所以 cos〈a ，b
⃗ 〉=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a
⃗⃗ ||b ⃗⃗ |=−1
2 ， 又因为 〈a ，b
⃗ 〉∈[0，π] 所以向量 a
⃗ 和 b ⃗ 夹角为 2π3
. 故选：C
【分析】先根据 e 1⃗⃗⃗⃗ ， e 2⃗⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，且 a ⃗ = 2 e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ ， b ⃗ =− 3 e 1⃗⃗⃗⃗ + 2
e 2⃗⃗⃗⃗ ，求得 a ⃗ ⋅b ⃗ ， |a | ， |b ⃗ | ，再代入夹角公式 cos〈a ，b ⃗ 〉=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a
⃗⃗ ||b ⃗⃗ | 求解. 9．【答案】A
【解析】【解答】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π
3 ），
= 1−cos2x 2+1−cos(2x+2π
3)2
，
= 1−12(cos2x 2−√3sin2x 2)=1−12cos(2x +π3
) ， 因为 cos(2x +π
3)∈[−1,1] ，
所以f （x ）的最小值为 12 .
故选：A
【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为 f(x)=1−12cos(2x +π
3) ，再求最值.
10．【答案】A
【解析】【解答】解 : ∵在折叠过程中，
始终有SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ， 即SG ⊥GE ，SG ⊥GF ， 所以SG ⊥平面EFG ． 故选A ．
【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，即SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，由线面垂直的判定定理，易得SG ⊥平面EFG ，分析四个答案，即可给出正确的选择．
11．【答案】A
【解析】【解答】当 x =0 时，不等式成立， a ∈R
当 x ≠0 时 关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在 x ∈[−1,0)∪(0,1] 恒成立，
即 a ≤x +1
x
2 在 x ∈[−1,0)∪(0,1] 恒成立，
令 g(x)=x +1x 2 ， g ′(x)=1−2x
3=0⇒x =213 ，
当 x ∈[−1,0) 时， g ′(x)>0 ，当 x ∈(0,1] 时， g ′(x)<0 . 所以 g(x) 在 [−1,0) 递增，在 (0,1] 递减 当 x ∈[−1,0) 时， g min (x)=g(−1)=0 当 x ∈(0,1] 时， g min (x)=g(1)=2 所以 g(x) 的最小值为0. 所以 a ≤0 故选：A
【分析】当 x =0 时，不等式成立，当 x ≠0 时 将不等式x 3﹣ax 2+1≥0在 x ∈[−1,0)∪(0,1] 恒
成立，转化为 a ≤x +1
x 2 在 x ∈[−1,0)∪(0,1] 恒成立，最后求解即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为a 2+b 2+2c 2＝8，
所以 a 2+b 2=8−2c 2 ，
由余弦定理得 cosC =a 2+b 2−c 22ab =8−3c 2
2ab
，
即 2abcosC =8−3c 2①
由正弦定理得 S =1
2
absinC ，
即 2absinC =4S ②
由①，②平方相加得 4(ab)2=(8−3c 2)2+(4S)2≤(a 2+b 2)2=(8−2c 2)2 ， 所以 (4S)2
≤
(8−2c 2)
2
−(8−3c 2)
2
=(16−5c 2)c 2≤15(16−5c 2+5c 22)2
=645
，
即 S 2≤45 ，所以 S ≤2√
55
，
当且仅当 a 2=b 2 且 16−5c 2=5c 2 即 a 2=b 2=125,c 2=8
5
时，取等号.
故选：B
【分析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到 a 2+b 2=8−2c 2 ，由余弦定理得到 2abcosC =8−3c 2 ，由正弦定理得到 2absinC =4S ，两式平方相加得 4(ab)2=(8−3c 2)2+(4S)2 ，而 a 2+b 2=8−
2c2≥2ab，两式结合有(4S)2≤(8−2c2)2−(8−3c2)2=(16−5c2)c2，再用基本不等式求解. 13．【答案】2x﹣y﹣e+1＝0
【解析】【解答】因为函数f（x）＝xlnx+1，
所以f′(x)=1+lnx，
所以f′(e)=1+lne=2，f(e)=elne+1=e+1，
所以切线方程为：y−(e+1)=2(x−e)，
即2x−y−e+1=0.
故答案为：2x−y−e+1=0
【分析】根据函数f（x）＝xlnx+1，求导得f′(x)=1+lnx，再分别求得f′(e)，f(e)，用点斜式写出切线方程.
14．【答案】a≥﹣1
【解析】【解答】因为函数f（x）=cosx+a
sinx
在（0，π2）上单调递减，
所以f′(x)=−1−acosx
sin2x
≤0在（0，π
2）上恒成立，
即a≥−1
cosx
在（0，π2）上恒成立，
因为x∈(0,π
2 )，
所以cosx∈(0,1)，
所以−1
cosx
∈(−∞,−1]，所以a≥−1.
故答案为：a≥−1
【分析】将函数f（x）=cosx+a
sinx
在（0，π2）上单调递减，转化f′(x)=
−1−acosx
sin2x
≤0在（0，
π
2）上恒成立即a≥−
1
cosx
在（0，π2）上恒成立再求−1
cosx
最大值即可.
15．【答案】1
【解析】【解答】由柯西不等式得：|x√1−y2+y√1−x2|2≤[x2+(√1−x2)2][(√1−y2)2+y2]= 1，
当且仅当√1−y2
x=
y
√1−x
，即x2+y2=1取等号.
故M的最大值为1
故答案为：1
【分析】利用柯西不等式求解.
16．【答案】9.14h
【解析】【解答】建立如图所示直角坐标系：
设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 即 √AD 2+DC 2= 450，
即 √(600cos45°)2+(600sin45°−30t)2= 450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣20 √2t +175＝0 ∴t =10√2+5 或 10√2−5 ，
10√2−5≈9.14
所以 9.14 时后码头将受到热带风暴的影响．
【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有 √AD 2+DC 2= 450，即
√(600cos45°)2+(600sin45°−30t)2= 450；两边平方并化简、整理求解. 17．【答案】（1）解：∵a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15．显然公比q≠1， ∴{a 1
(q 3
−1)=a 1(1−q 3)
1−q
a 1(q 4−1)=15
，解可得q ＝2，a 1＝1， （2）解：由（1）可得a n ＝ 2n−1 ， ∵a n ＞n+100，即 2n−1 ＞n+100， 解可得，n≥8．
【解析】【分析】（1）根据a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15，利用“q ，a 1”法求解.（2）由（1）建立不等式
2n−1 ＞n +100，通过估值法求解.
18．【答案】（1）证明：如图所示：H为CD的中点，连接QH，HL，
P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．
所以QH⊥AC，AC⊥HL，QH∩HL＝H，
所以AC⊥平面QHL，
∵QL⊂平面QHL，
∴AC⊥QL；
（2）解：如图所示：
连接PB1，B1L，四边形LDPB1是平行四边形，则V Q−PDL=V Q−PB
1L =V L−QPB
1
V L−QPB
1=
1
3×SΔPQB1×AA1=
1
3×(a2−
1
2×
1
2a×a−
1
2×
1
2a×a−
1
2×
1
2a×
1
2a)×a
=1
8
a3．
【解析】【分析】（1）取CD的中点H，根据正方体的几何性质，有QH⊥AC，AC⊥HL，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）连接PB1，B1L，四边形LDPB1是平行四边形，根据等体积法，则有
V Q−PDL=V Q−PB
1L =V L−QPB
1
，然后通过V L−QPB
1
求解.
19．【答案】（1）解：根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510，
则其平均重量x̅=1
10（503+502+496+499+491+498+506+504+501+510）＝500 +1
10
（3+2﹣4﹣1
﹣9﹣2+6+4+1+10）＝501，
其方差S2=1
10
[（503﹣501）2+（502﹣501）2+（496﹣501）2+（499﹣501）2+（491﹣501）2+（498﹣501）2+（506﹣501）2+（504﹣501）2+（501﹣501）2+（510﹣501）2]＝25.8；
则其标准差s =√25.8≈ 5.08；
（2）解：根据题意，由（1）的结论，10袋白糖在（ x
̅− s ， x ̅+ s ）之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋， 从10袋白糖中任取两袋，有C 102＝45种取法，
其中恰有一袋的重量不在（ x
̅− s ， x ̅+ s ）的情况有8×2＝16种， 则恰有一袋的重量不在（ x
̅− s ， x ̅+ s ）的概率P =16
45
． 【解析】【分析】（1）根据提供的数据，利用平均数和方差公式求解.（2）根据（1）的结合，算出重量在（ x
̅−s ， x ̅+s ）内的袋数和不在内的袋数，然后得出从10袋中选2袋的方法数和恰有一袋的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.
20．【答案】（1）解：由抛物线的方程可得焦点F （ p 2 ，0），满足 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ = （2，2 √3 ）的P 的坐标为（2 +p
2 ，2 √
3 ），P 在抛物线上，
所以（2 √3 ）2＝2p （2 +p 2 ），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝
4x ；
（2）解：设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2， 直线MN 的斜率k MN =
y 1−y 0x 1−x 0=y 1−y 0y 12−y 02
4
=4
y 1+y 0 ， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0=4y 1+y 0 （x −y 024
），
即y =4x+y 0y 1
y 0+y 1
①， 同理可得直线ML 的方程整理可得y =4x+y 0y 2
y 0+y 2
②， 将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得 { −2=12+y 0y 1
y 0+y
1
−6=12+y 0y 2
y 0+y 2
，消y 0可得y 1y 2＝12， 易知直线k NL =4y 1+y 2 ，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1=4
y 1+y 2 （x −y 124
），
即y =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 ，故y =4y 1+y 2 x +12y 1+y 2 ， 所以y =4
y 1+y 2
（x+3），
因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （ p 2 ，0），利用 FP
⃗⃗⃗⃗⃗ = （2，2 √3 ），表示点
P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方
程y =4x+y 0y 1y 0+y 1 和ML 的方程y =4x+y 0y 2
y 0+y 2
，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1=4y 1+y 2 （x −y 124
），代入
化简求解.
21．【答案】（1）解：因为 f(x)=
sinx
x ，所以 f′(x)=xcosx−sinx x 2
，设m （x ）＝xcos x ﹣sinx ，x ∈（0，π），
m′（x ）＝﹣xsin x ＜0，
所以m （x ）在（0，π ）递减，则m （x ）＜m （0）＝0 故f′（x ）＜0，所以f （x ）在（0，π ）递减；
（2）解：观察知g （x ）为偶函数，故只需求x ∈[0，+∞）时g （x ）的最小值，
由g′（x ）＝2x ﹣πsin x ，当x ∈（0， π
2 ） 时，设n （x ）＝2x ﹣π sin x ，则n′（x ）＝2﹣π cos x ，
显然 n′（x ） 递增，
而n′（0）＝2﹣π＜0， n′(π
2)=2>0 ，
由零点存在定理，存在唯一的 x 0∈(0，π
2) ，使得n′（x 0）＝0
当x ∈（0，x 0）时，n′（x ）＜0，n （x ）递减，
当 x ∈(x 0，π
2) 时，n′（x ）＞0，n （x ）递增，
而n （0）＝0， n(π2)=0 ，故 x ∈(0，π
2) 时，n （x ）＜0， 即 x ∈(0，π
2) 时，g′（x ）＜0，则g （x ）递减；
又当 x ∈(π
2，+∞) 时，2x ＞π＞π sin x ，g′（x ）＞0，g （x ） 递增；
所以 g(x)min =g(π2)=π2
4
．
【解析】【分析】（1）根据 f(x)=
sinx
x ，求导得 f′(x)=xcosx−sinx x 2
，设m （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈（0，π），通过求导来判断其正负，从而得到f ′（x ）的正负，进而研究f （x ）的单调性.（2）易知g （x ）是偶函数，故只需求x ∈[0，+∞）时g （x ）的最小值，求导得g ′（x ）＝2x ﹣πsin x ，根据
sinx 的特点，分x ∈（0， π
2 ）和 x ∈(π2，+∞) 时两种情况讨论g （x ）单调性，进而求其最小值.
22．【答案】（1）解：曲线C 1的参数方程为 {x =5cosα
y =4sinα(α 为参数）， 两式平方相加整理得 x 225
+
y 216
=1 ． 将 x =ρcosθ,y =ρsinθ 代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x+3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．
（2）解：设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），
所以： |PO|=√(5cosθ−2)2+(4sinθ)2=√9cos 2θ−20cosθ+20=√9(cosθ−109)2+809 ，
当cosθ＝1时，|PO|min ＝3， 所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．
【解析】【分析】（1）由C 1的参数方程为 {x =5cosα
y =4sinα(α 为参数），消去参数即可转换为直角坐标方
程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用 x =ρcosθ,y =ρsinθ 转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.
23．【答案】（1）解：当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，
（i ）当x≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；
（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9 此时不等式的解集∅；
（iii ）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x ≤−13
，
此时不等式的解集（∞， −13 ]， 综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞， −13
]，
（2）解：（i ）当a ﹣1 =1
2a 即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1| ≥a 22
= 2显然不恒成立，
（ii ）当a ﹣1 >1
2a 即a ＞2时， f(x)={
−3x +2a −1，x ≤1
2a x −1，12a <x <a −13x −2a +1，x ≥a −1
，
结合函数的单调性可知，当x =12a 时，函数取得最小值f （ 12a ） =1
2a −1 ，
若f （x ） ≥a 22
在R 上恒成立，则 12a −1≥1
2a 2 ，此时a 不存在，
（iii ）当a ﹣1 <1
2a 即a ＜2时，f （x ） ={
−3x +2a −1，x ≤a −1
−x +1，a −1<x <12a 3x −2a +1，x ≥12
a
若f （x ） ≥a 22 在R 上恒成立，则1 −12a ≥1
2a 2 ，
解得﹣2≤a≤1，
此时a 的范围[﹣2，1]，
综上可得，a的范围围[﹣2，1]．
【解析】【分析】（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对
值求解.（2）根据绝对值的零点有a﹣1和1
2a ，分a﹣1 =1
2
a，a﹣1 >
1
2
a和a﹣1 <
1
2
a时三
种情况分类讨论求解.。