2020-2021学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理练习

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直角三角形勾股定理练习
一、选择题
1. 一个直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长是 ( )
A. 5
B. √7
C. 5或√7
D. 2
2. 如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系式为 ( )
A. a <c <b
B. a <b <c
C. c <a <b
D. c <b <a
3. 如图，在Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )
A. 53
B. 52
C. 4
D. 5
4. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 ( )
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 5 cm
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =40，CB =9，点M ，N 在AB 上，且AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长为 ( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
6. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计
)
为 ( )
A. 12 m
B. 13 m
C. 16 m
D. 17 m
7. 如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD 的长为( )
A. 2
3√5 B. 3
4
√5 C. 4
5
√5 D. 3
5
√5
8. 一个等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则底边上的高为( )
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 12 cm
9. 勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图②是把图①放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点
D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 ( )
A. 90
B. 110
C. 121
D. 144
二、填空题
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+AC2+BC2=____.
11. 直角三角形的周长为12,斜边长为5,则该直角三角形的面积为_____.
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，若BC=10，AD=12，则AC=____.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=____.
14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是____.
15. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=______.
16. 如图,分别以RtΔABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆,设直线AB左边阴影部分的
面积为S1,右边阴影部分的面积为S2,则S1________S2.(填“>”“<”或“=”)
17. 如图所示,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4,则S1+S2+S3+S4=_____.
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三、解答题
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15.AD⊥BC，垂足为D.
(1)求BC的长；
(2)求AD的长.
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长.
20. 某校一块空地被荒废，如图，为了绿化环境，学校打算利用这块空地种植花草，已知AB⊥BC,CD⊥BC,AB=1
CD=√6 m,BC=3√2 m，试求这块空地的周长和面积.
4
21. 如图，一个牧童在小河的南40 m的A处放牛，而他正位于他的小屋B的西80 m,北70 m 处，他想把他的牛牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
22. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为
D.
(1)直线BE与AD的位置关系是
；BE与AD
之间的距离是线段
的长；
(2)若AD=6 cm，BE=2 cm，求BE与AD之间的距离及AB的长.
23. 如图,已知在ΔABC中,AB=10,AC=21,BC=17,求AC边上的高.
24. 如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,且AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
25. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B到C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米到D点时，滑杆顶端A下
滑到E点，求AE的长.
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参考答案
1. 【答案】C【解析】分两种情况讨论，当4为斜边，第三边为2−32=√7，
当4为直角边，第三边为√42+32=5，故选C.
2. 【答案】C【解析】由网格可得：把a,b分别看作网格中两个直角三角形的斜边，再根据勾股定理计算：
b=√42+32=√25,a=√42+12=√17,c=4=√16,∴c<a<b，故选C.
3. 【答案】C【解析】设BN=x，则AN=9-x，
由折叠可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，BC=6，∴BD=3.
在Rt△BND中，x2+32=(9−x)2，解得x=4.
故线段BN的长为4.故选C.
4. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中,AC=6 cm，BC=8 cm，根据勾股定理得：AB=10 cm，根据折叠性质得：DE⊥AB，CD=DE，AE=AC=6 cm，∴BE=10-6=4(cm)，
设CD的长为x cm，则BD=(8-x)cm，
在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2,即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即CD的长为3 cm，故选B.
5. 【答案】C【解析】在Rt△ABC中，因为AC=40，BC=9，所以由勾股定理得
AB=√402+92=41，
因为AM=AC，所以BM=AB-AM=41-40=1，因为BN=BC=9，所以MN=BN-BM=9-1=8，故选C.
6. 【答案】D【解析】如图所示，作BC⊥AE于点C，
因为四边形BDEC为矩形，所以BC=DE=8，
设AE=x，则AB=x，AC=x-2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(x-2)2+82=x2，解得x=17.
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即旗杆的高度为17 m,故选D.
7. 【答案】C 【解析】由勾股定理得AC =√12+22=√5.
∵12BC ×2=12AC ⋅BD ，即12×2×2=12×√5BD ，∴BD =4√55，故选C.
8. 【答案】D 【解析】如图，AB =AC =13 cm ，BC =10 cm ，作AD ⊥BC 于D ，则BD
=
12BC =5 cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD 2=AB 2−BD 2=132−52=144=
122，∴AD =12 cm.故选D.
9. 【答案】B 【解析】延长AB 与KL 相交于N ，延长AC 与ML 相交于Q ，易证
△ABC ≌△QCG ≌△LGF ≌△NFB ，全等三角形对应边相等，则
ML =3+4+4=11，KL =3+4+3=10，所以矩形KLMJ 的面积为11×10=110,故选B.
10. 【答案】8
【解析】因为∠C =90°，所以AB 为斜边，
由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2，所以AB 2+AC 2+BC 2=2AB 2=8.
11. 【答案】6
【解析】设此直角三角形的两直角边长为a 、b ,因为周长为12,斜边长为5,则a +b =12−
5=7,又由勾股定理知a2+b2=25,∴2ab=(a+b)2−a2−b2=49−25=24,则ab= 12,故其面积为1
2
ab=6.
12. 【答案】13
【解析】∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
根据三线合一得：AD⊥BC，BD=DC，
在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√122+52=13.
13. 【答案】3
2
【解析】设点B落在斜边AC上的B′处，连接DB′，则DB ′=DB.
因为∠B=90°，由勾股定理得AC=5，
因为△ABD与△AB′D重合，所以AB ′=AB，所以B′C=5-3=2，
设DB=x，则DC=4-x，由折叠知∠CB′D=90°，
在Rt△DB′C中，利用勾股定理得x2+22=(4−x)2，解得x=3
2，所以BD=3
2
.
14. 【答案】10
【解析】设正方形A,B的边长分别为a,b，中间两个正方形的边长分别为x，y，最大正方形E的边长为z，
则由勾股定理得x2=a2+b2，因为a²=2，b²=5，所以x²=7，即空白正方形的面积等于正方形A，B的面积之和.
同理，y²=3，z²=x²+y²=10，即最大正方形E的面积为10.
15. 【答案】100
【解析】因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ECF=90°，因为CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠MCE，因为EF∥BC，所以∠CEM=∠BCE，
所以∠CEM=∠MCE，所以ME=MC，
同理可得∠MCF=∠MFC，所以EM=MC=MF=5，所以EF=10,
在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE2+CF2=EF2=100.
16. 【答案】=
【解析】图中阴影部分的面积是以RtΔABC的三边AB、BC、CA为直径向外作的半
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圆,∴S 1=12π(AB 2)2=18
πAB 2,S 2=12
π(AC 2)2+12
π(BC 2)2=18π(AC 2+BC 2),又∵在RtΔABC
中,∠C =90°,三边满足勾股定理AB 2=AC 2+BC 2,则18πAB 2=18π(AC 2+BC 2)∴S 1=S 2.
17. 【答案】4
【解析】由图易证,最左端斜放置的正方形与相邻两个正方形所夹的两个直角三角形是两个全等的三角形,则易得S 1+S 2=1.同理可证S 3+S 4=3,∴S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4.
18.(1) 【答案】因为∠BAC =90°，由勾股定理得BC =√AB 2+AC 2=√202+152=25. (2) 【答案】由三角形的面积得：12AB ⋅AC =12AD ⋅BC ，得12×20×15=12×25AD ,则AD =12.
19. 【答案】设BD =x ，∵AD 是底边BC 上的高，AB =AC ，∴BD =12BC ，所以BC =2x ， ∵△ABC 的周长为16，∴AB +BD =12×16=8，∴AB =8-x ，
在Rt △ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2，即(8−x)2=x 2+42，解得x =3，
∴AB =8-3=5，BC =2BD =2×3=6，
∴△ABC 的边AB ，AC 的长均为5，边BC 的长为6.
20. 【答案】过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E .
∵DE =DC −AB =4√6−√6=3√6m ，AE =BC =3√2m ，
∴AD =√AE 2+DE 2=√(3√2)2+(3√6)2=√72=6√2m .
∴空地的周长为AB +BC +CD +DA =√6+3√2+4√6+6√2=(5√6+9√2)m . 空地的面积为12(AB +CD)⋅BC =12×(√6+4√6)×3√2=15√122=15√3m 2.
21. 【答案】如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，连接A′B 交MN 于点P ，则A′B 的长就是最短路线的长，
在RtΔA′DB 中，由勾股定理求得A′B =√DA′2
+DB 2=√(70+40+40)2+802=170 m . 答：他要完成这件事情所走的最短路程是170 m.
22.(1) 【答案】平行；ED.
(2) 【答案】∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠CAD与∠DCA互余，∠BCE与∠DCA互余，∴∠CAD=∠BCE，
∵AC=BC，BE⊥CE，
∴ΔCBE≌ΔACD(AAS)，∴EC=AD，BE=CD，
∴BE与AD之间的距离ED=EC-CD=AD-BE=6-2=4(cm).
又∵AC=BC=√AD2+CD2=√40(cm)，
∴AB=√80=4√5(cm).
23. 【答案】过点B作BD⊥AC于点D.设AD=x,则CD=21-x.
在RtΔABD中,BD2=AB2−AD2=102−x2
在RtΔBCD中,BD2=BC2−CD2=172−(21−x)2
∴102−x2=172−(21−x)2,解得x=6,∴BD2=102−62=82,∴BD=8.
即AC边上的高为8.
24. 【答案】设DE=x,则EF=x,EC=8-x.在RtΔABF中,∵AD=AF=10,由勾股定理,得
BF=6,∴FC=4.在RtΔECF中,由勾股定理,得FC2+EC2=EF2,∴42+(8−x)2=x2,∴x=5,即EC的长为3cm.
25. 【答案】由题意得AB=DE=2.5米，∠C=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=2米.
在Rt△CED中，根据勾股定理，得CE=1.5米，
所以AE=2-1.5=0.5米，即AE的长为0.5米.。