2022年上海市杨浦区高三下学期线上期中质量调研(二模)数学试题卷含答案
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A.1gdB.1g2dC.lg D.1g
15.椭圆C： 的左、右顶点分别为 ， ，点P在C上（P不与 ， 重合）且直线 的斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是（）
A. [ ， ]B. [ ， ]
C. [ ，1]D. [ ，1]
16.定义域是 上的连续函数 图像的两个端点为 、 ， 是图像 上任意一点，过点 作垂直于 轴的直线 交线段 于点 （点 与点 可以重合），我们称 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是 上的函数中，曲径最小的是（）
【21题答案】
【答案】（1） ;（2）当A在弧MN的四等分点处时， ．
【详解】（1）如图，作 于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，
（2）设
则 ，
，
即 时，
，此时A在弧MN的四等分点处
答：当A在弧MN的四等分点处时，
【22题答案】
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）存在，
【小问1详解】
由题意得 ，得 ，
当 时，则存在 ，使得 ，
当 时，则存在 ，使得 ，
综上所述存在正整数n，使得 ；
【小问3详解】
解：当 时， ，
故此时数列 是以2为周期的周期数列，
当 时，则 ，
由（2）得，存在正整数n，使得 ，
因此此时不存在不存在 ，
所以此时数列数列 不是周期数列，
所以 时，数列 是以2为周期的周期数列，
，
所以 ，
因此 ，
在 中，由正弦定理可知：
，
，
由余弦定理可知： ，
所以 ，即异面直线PE、BD所成角的大小为 .
【19题答案】
【答案】（1）－1；（2）
【小问1详解】
的解集是 ，得到 的解集是 ，所以，
，所以，
【小问2详解】
令 ，因为 ，所以，当 时， ，
即有 ，因为函数 在区间 上有且仅有一个零点，令 ，根据对勾函数 性质，可得 ，因为 与 有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得 或 ，进而可得答案为：
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使 ，连结PE.已知 ， .
（1）求该圆锥 体积；
（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.数列{ }为等差数列， 且公差 ，若 ， ， 也是等差数列，则其公差为（）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.已知 ，则 =_________.
2.函数 的反函数为________.
3.若直线 和 互相垂直，则实数 _____________.
4.若 （ 虚数单位）是实系数一元二次方程 的根，则 ________.
10.三行三列的方阵 中有9个数 ，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______．(结果用分数表示)
11.已知抛物线 ，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为 ，点P关于直线 的对称点为 ，且满足 ，则直线l的方程为______.
12.若函数 在区间 内既没有最大值 ，也没有最小值 ，则 的取值范围是___________.
所以椭圆方程为 ，
因为点（－1， ）在椭圆上，所以 ，得 ，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
由题意设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以△OPQ面积的最大值为
【小问3详解】
由题意设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为∠PST=∠QST，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】6
【4题答案】
【答案】1
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】38
【8题答案】
【答案】7
【9题答案】
【答案】15
【10题答案】
【答】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】D
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时
【24题答案】
【小问1详解】
解：当 时， ，
所以 ；
【小问2详解】
证明：当 时， ，
所以，在数列 中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列 是以 为首项， 为公差的递减的等差数列，
即 ，
所以，当 足够大时，总可以找到 ，使 ，
19.已知函数 ，其中 .
（1）若不等式 的解集是 ，求m的值；
（2）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
21.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
又因 ，
所以 ，
所以 ，
所以存在 ，使得 .
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
22.已知椭圆C： ，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中 .
（1）若椭圆短轴长 2 且经过点（－1， ），求椭圆方程；
（2）对（1）中的椭圆，若 ，求△OPQ面积的最大值；
（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t 关系；如果不存在，说明理由.
5.已知 ， ，则行列式 的值等于________.
6.已知 ， ，则 ________.
7.在某次数学测验中，5位学生 成绩如下：78、85、 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.
8.已知实数x，y满足 ，则 的最大值为_________.
9.若 展开式中各项系数的和等于 ，则展开式中 的系数是________.
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】D
【17题答案】
【答案】（1） ；
（2） .
【小问1详解】
由勾股定理可知： ，
所以圆锥的体积为： ；
【小问2详解】
过 做 ，所以 是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），
因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，
所以 ，即 ，而 ，所以 ，
24.已知a为实数，数列{ }满足：① ；② .若存在一个非零常数 ，对任意 ， 都成立，则称数列{ }为周期数列.
（1）当 时，求 的值；
（2）求证：存在正整数n，使得 ；
（3）设 是数列{ } 前n项和，是否存在实数a满足：①数列{ }为周期数列；②存在正奇数k，使得 .若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.
15.椭圆C： 的左、右顶点分别为 ， ，点P在C上（P不与 ， 重合）且直线 的斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是（）
A. [ ， ]B. [ ， ]
C. [ ，1]D. [ ，1]
16.定义域是 上的连续函数 图像的两个端点为 、 ， 是图像 上任意一点，过点 作垂直于 轴的直线 交线段 于点 （点 与点 可以重合），我们称 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是 上的函数中，曲径最小的是（）
【21题答案】
【答案】（1） ;（2）当A在弧MN的四等分点处时， ．
【详解】（1）如图，作 于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，
（2）设
则 ，
，
即 时，
，此时A在弧MN的四等分点处
答：当A在弧MN的四等分点处时，
【22题答案】
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）存在，
【小问1详解】
由题意得 ，得 ，
当 时，则存在 ，使得 ，
当 时，则存在 ，使得 ，
综上所述存在正整数n，使得 ；
【小问3详解】
解：当 时， ，
故此时数列 是以2为周期的周期数列，
当 时，则 ，
由（2）得，存在正整数n，使得 ，
因此此时不存在不存在 ，
所以此时数列数列 不是周期数列，
所以 时，数列 是以2为周期的周期数列，
，
所以 ，
因此 ，
在 中，由正弦定理可知：
，
，
由余弦定理可知： ，
所以 ，即异面直线PE、BD所成角的大小为 .
【19题答案】
【答案】（1）－1；（2）
【小问1详解】
的解集是 ，得到 的解集是 ，所以，
，所以，
【小问2详解】
令 ，因为 ，所以，当 时， ，
即有 ，因为函数 在区间 上有且仅有一个零点，令 ，根据对勾函数 性质，可得 ，因为 与 有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得 或 ，进而可得答案为：
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使 ，连结PE.已知 ， .
（1）求该圆锥 体积；
（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.数列{ }为等差数列， 且公差 ，若 ， ， 也是等差数列，则其公差为（）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.已知 ，则 =_________.
2.函数 的反函数为________.
3.若直线 和 互相垂直，则实数 _____________.
4.若 （ 虚数单位）是实系数一元二次方程 的根，则 ________.
10.三行三列的方阵 中有9个数 ，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______．(结果用分数表示)
11.已知抛物线 ，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为 ，点P关于直线 的对称点为 ，且满足 ，则直线l的方程为______.
12.若函数 在区间 内既没有最大值 ，也没有最小值 ，则 的取值范围是___________.
所以椭圆方程为 ，
因为点（－1， ）在椭圆上，所以 ，得 ，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
由题意设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以△OPQ面积的最大值为
【小问3详解】
由题意设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为∠PST=∠QST，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】6
【4题答案】
【答案】1
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】38
【8题答案】
【答案】7
【9题答案】
【答案】15
【10题答案】
【答】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】D
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时
【24题答案】
【小问1详解】
解：当 时， ，
所以 ；
【小问2详解】
证明：当 时， ，
所以，在数列 中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列 是以 为首项， 为公差的递减的等差数列，
即 ，
所以，当 足够大时，总可以找到 ，使 ，
19.已知函数 ，其中 .
（1）若不等式 的解集是 ，求m的值；
（2）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
21.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
又因 ，
所以 ，
所以 ，
所以存在 ，使得 .
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
22.已知椭圆C： ，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中 .
（1）若椭圆短轴长 2 且经过点（－1， ），求椭圆方程；
（2）对（1）中的椭圆，若 ，求△OPQ面积的最大值；
（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t 关系；如果不存在，说明理由.
5.已知 ， ，则行列式 的值等于________.
6.已知 ， ，则 ________.
7.在某次数学测验中，5位学生 成绩如下：78、85、 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.
8.已知实数x，y满足 ，则 的最大值为_________.
9.若 展开式中各项系数的和等于 ，则展开式中 的系数是________.
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】D
【17题答案】
【答案】（1） ；
（2） .
【小问1详解】
由勾股定理可知： ，
所以圆锥的体积为： ；
【小问2详解】
过 做 ，所以 是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），
因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，
所以 ，即 ，而 ，所以 ，
24.已知a为实数，数列{ }满足：① ；② .若存在一个非零常数 ，对任意 ， 都成立，则称数列{ }为周期数列.
（1）当 时，求 的值；
（2）求证：存在正整数n，使得 ；
（3）设 是数列{ } 前n项和，是否存在实数a满足：①数列{ }为周期数列；②存在正奇数k，使得 .若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.