高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题测试及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题测试及答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有
（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果. 【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117
x x -+⇒=
由22341515
12t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=，
所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
2．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A ．()x
f x e =
B ．()f x =
C ．()()2
sin f x x
=
D ．()sin f x x x =⋅
【答案】BCD 【分析】
假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】
对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为
22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+
0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，
所以2
()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，
b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.
又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.
2
0,2a b b b
->≥ ，当220a b -≤时，
b ≤恒成立，
()f x ∴=“控制增长函数”；
对于C.
()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，
2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；
对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，
()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，
则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，
当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，
()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.
故选：BCD 【点睛】
本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.
3．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有
1212()()
(
),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21
()1
x f x x +=
- 【答案】ACD 【分析】
根据函数的解析式，求得1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】
对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则12
12(
)()12
x x f x x +=-++， 121212()()1
(2121)()122
f x f x x x x x +=-+-+=-++，
可得1212()()(
)22x x f x f x f ++=，满足1212()()
()22
++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235
,22x x =
=，则1222
x x +=， 可得3
51()()22
2f f ==-，所以
12()()1
22f x f x +=-，12()(2)02
x x f f +==， 此时1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确；
对于C 中，函数3()5f x x =+，
由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，
取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
对于D 中，函数213()211
x f x x x +==+-- 由函数3
y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1
x f x x +=-的图象，
如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12
(
)2
C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=，
因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.
4．函数1()
()0()
x f x x ⎧=⎨
⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{0,1}
C ．方程(())f f x x =的解为1x =
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】
当x -为有理数时，x 也为有理数
∴()1f x -=
当x -为无理数时，x 也为无理数
∴()0f x -= ∴1()
()0()x f x x ⎧-=⎨
⎩
为有理数为无理数
∴()()f x f x -=
()f x ∴是偶函数，A 对；
易知B 对；
1x =时，()((1))11f f f ==
∴C 对
(())()f f x f x =的解为全体有理数
∴D 错
故选：ABC. 【点睛】
本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.
5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D
．122
x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上，即11
02
x <<
，由122x x +=，则212x <<， 12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
6．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式2
20x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．()2,3
C ．1,2
D ．0,1
【答案】ACD 【分析】
将不等式变形为2
2x a x -<-，作出函数2
,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】
因为2
20x x a +--<，所以2
2x a x -<-且2
20x ，
在同一坐标系中作出2
,2y x a y x =-=-的图象如下图：
当y x a =-与2
2y x =-在y 轴左侧相切时，
22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以9
4
a =-，
将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），
结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函
数的性质等.
7．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨
∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
8．已知函数4
()n
n
f x x x =+
(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数
B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4
C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4
D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】
由已知得()()
4
()n
n
f x x x -=-+
-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判
断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则
>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4
()g t t t
=+
，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4
()f x x x
=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.
【详解】
因为函数4()n
n f x x x
=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()
4
4
()()n
n n
n f x x x f x x
x -=-+=+
=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4
()n
n
f x x f x x
-=-+
=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x
，所以4()4
n n f x x x =+
≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；
当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t
=+， 而4
()g t t t
=+
在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，
上单调递递减， 所以4()g t t t =+
在2t =时，取得极小值4
(2)242
g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4
()f x x x
=+
上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为
()000P x y ，，
则0000
51121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入
4
()f x x x
=+
不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，
【点睛】
本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
9．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD
【分析】 利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ， ()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-， 由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->， 所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；
当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数.
所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-. 由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，
因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；
（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；
（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
10．已知函数()sin x f x x
=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1
D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减 【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A ：当0,
2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x g x f x x
''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2cos sin x x x f x x
-'=， (]0,x π∈，
当0,
2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x x x
<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确；
当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确； 对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：
所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x g x f x x
''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，
从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x f x x
=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.。