双曲线的几何性质(2.3.2)
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8.双曲线 的焦点到渐近线的距离等于 .
9.若方程 表示双曲线,则 所在的象限内 .
10.双曲线的两条渐近线的夹角为 ,则它的离心率等于 .
三、解答题
11.过双曲线 的右焦点作倾角为 的直线交双曲线于 两点,求线段 的中点 到右焦点 的距离,并求 的长.
12.已知 为双曲线 的焦点,过 作垂直于 轴的直线交双曲线于点
7.若双曲线的离心率为2,则它的渐近线所夹锐角为 .
8.中心在原点,对称轴是坐标轴,且经过 的等轴双曲线的方程是 .
9.已知双曲线 上有一点 与两焦点连线互相垂直,则 点坐标是 .
10.设 是双曲线 的左右焦点,过
作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ,则
.
三解答题
11.求出问题时满足下列条件的双曲线方程:
从下图中可以看出:双曲线 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近但不会相交,我们把直线 叫做双曲线的渐近线.
5.双曲线的 ,叫做双曲线的离心率.
,且
.因此, 越大, 也越 ,即渐近线 的斜率的绝对值越 ,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.
6.实轴长和虚轴长相等的双曲线为
,显然,等轴双曲线的渐近线方程为
[合作探究]:
已知双曲线 的左、右焦点为 ,左准线为 是双曲线左半支上一点,并且 是 到 的距离 与 的比例中项,求双曲线离心率的范围.
[能力训练]:
A.基础过关
一、选择题
1.双曲线 的渐近线方程是( )
2.已知双曲线的渐近线方程是 ,焦距为10
,则它的方程是 ( )
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
,等轴双曲线的离心率为 .
知识点剖析
例1已知双曲线的方程
,求双曲线的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标渐近线方程.
例2已知双曲线的渐近线方程为 ,焦距为10,求双曲线方程.
变式引申求一条渐近线方程是 ,一个焦点是 的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率.
例3双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小径为 ,上口半径为 ,下口半径为 ,高 ,选择适当的直角坐标系,求出双曲线的方程(精确到已知双曲线的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率是 ( )
4.过点 且与 有公共渐近线的双曲线方程是 ( )
5.设双曲线 与
的离心率分别为 ,则当 变化时, 的最小值是 ( )
6.设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 为两曲线的一个交点,则
的值等于 ( )
二、填空题
7.与椭圆 有公共焦点,且离心率为 的双曲线方程为 .
3. 为双曲线的顶点,双曲线与 轴的两交点 为双曲线的顶点;双曲线与 轴没有交点,但我们也把
画在 轴上,如下图所示.
线段 叫做双曲线的 ,且
为实半轴的长.线段 叫做双曲线的 ,且 为虚半轴的长.
4.经过 作 轴的平行线 ,经过 作 轴的平行线 ,四条直线围成一个矩形,如下图,矩形的两条对角线所在直线的方程是 .
5.若椭圆 和双曲线
有相同的焦点 是两条
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
双曲线的几何性质
曲线的一个交点,则 的值为 ( )
6.已知双曲线 的离心率 ,令双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为 ,则 的取值范围是 ( )
二、填空题
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
双曲线的几何性质
[知识要点]:
根据双曲线的标准方程 来研究它的几何性质.
1.范围: ,或 ,即双曲线在两直线 和 的外侧,无限伸展.
2.双曲线关于 、 、和
都是对称的，这时称坐标轴为双曲线的对称轴，原点为双曲线的对称中心.
(1)渐近线方程为 和 ;
(2)点 到双曲线上动点 的距离的最小值为 .
12.若已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左准线为 ,能否在双曲线的左支上求一点 ,使 是 到 的距离 与 的等比中项?若能,则求出 点坐标;若不能,请说明理由.
第 页
,且 ,求双曲线的渐近线方程.
B.能力提升
一、选择题
1.双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为 ( )
2.中心在坐标原点,离心率为 的圆锥曲线的焦点在 轴上,则它的渐近线方程为 ( )
3.已知双曲线 的实轴的一个端点为 ,虚轴的一个端点为 ,且 ,则双曲线的方程是 ( )
4. 是双曲线 的两焦点,点 在双曲线上, 是 的中点,又知 ,则 的面积是 ( )
9.若方程 表示双曲线,则 所在的象限内 .
10.双曲线的两条渐近线的夹角为 ,则它的离心率等于 .
三、解答题
11.过双曲线 的右焦点作倾角为 的直线交双曲线于 两点,求线段 的中点 到右焦点 的距离,并求 的长.
12.已知 为双曲线 的焦点,过 作垂直于 轴的直线交双曲线于点
7.若双曲线的离心率为2,则它的渐近线所夹锐角为 .
8.中心在原点,对称轴是坐标轴,且经过 的等轴双曲线的方程是 .
9.已知双曲线 上有一点 与两焦点连线互相垂直,则 点坐标是 .
10.设 是双曲线 的左右焦点,过
作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ,则
.
三解答题
11.求出问题时满足下列条件的双曲线方程:
从下图中可以看出:双曲线 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近但不会相交,我们把直线 叫做双曲线的渐近线.
5.双曲线的 ,叫做双曲线的离心率.
,且
.因此, 越大, 也越 ,即渐近线 的斜率的绝对值越 ,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.
6.实轴长和虚轴长相等的双曲线为
,显然,等轴双曲线的渐近线方程为
[合作探究]:
已知双曲线 的左、右焦点为 ,左准线为 是双曲线左半支上一点,并且 是 到 的距离 与 的比例中项,求双曲线离心率的范围.
[能力训练]:
A.基础过关
一、选择题
1.双曲线 的渐近线方程是( )
2.已知双曲线的渐近线方程是 ,焦距为10
,则它的方程是 ( )
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,等轴双曲线的离心率为 .
知识点剖析
例1已知双曲线的方程
,求双曲线的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标渐近线方程.
例2已知双曲线的渐近线方程为 ,焦距为10,求双曲线方程.
变式引申求一条渐近线方程是 ,一个焦点是 的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率.
例3双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小径为 ,上口半径为 ,下口半径为 ,高 ,选择适当的直角坐标系,求出双曲线的方程(精确到已知双曲线的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率是 ( )
4.过点 且与 有公共渐近线的双曲线方程是 ( )
5.设双曲线 与
的离心率分别为 ,则当 变化时, 的最小值是 ( )
6.设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 为两曲线的一个交点,则
的值等于 ( )
二、填空题
7.与椭圆 有公共焦点,且离心率为 的双曲线方程为 .
3. 为双曲线的顶点,双曲线与 轴的两交点 为双曲线的顶点;双曲线与 轴没有交点,但我们也把
画在 轴上,如下图所示.
线段 叫做双曲线的 ,且
为实半轴的长.线段 叫做双曲线的 ,且 为虚半轴的长.
4.经过 作 轴的平行线 ,经过 作 轴的平行线 ,四条直线围成一个矩形,如下图,矩形的两条对角线所在直线的方程是 .
5.若椭圆 和双曲线
有相同的焦点 是两条
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第 □ 讲
双曲线的几何性质
曲线的一个交点,则 的值为 ( )
6.已知双曲线 的离心率 ,令双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为 ,则 的取值范围是 ( )
二、填空题
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第□讲
双曲线的几何性质
[知识要点]:
根据双曲线的标准方程 来研究它的几何性质.
1.范围: ,或 ,即双曲线在两直线 和 的外侧,无限伸展.
2.双曲线关于 、 、和
都是对称的，这时称坐标轴为双曲线的对称轴，原点为双曲线的对称中心.
(1)渐近线方程为 和 ;
(2)点 到双曲线上动点 的距离的最小值为 .
12.若已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左准线为 ,能否在双曲线的左支上求一点 ,使 是 到 的距离 与 的等比中项?若能,则求出 点坐标;若不能,请说明理由.
第 页
,且 ,求双曲线的渐近线方程.
B.能力提升
一、选择题
1.双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为 ( )
2.中心在坐标原点,离心率为 的圆锥曲线的焦点在 轴上,则它的渐近线方程为 ( )
3.已知双曲线 的实轴的一个端点为 ,虚轴的一个端点为 ,且 ,则双曲线的方程是 ( )
4. 是双曲线 的两焦点,点 在双曲线上, 是 的中点,又知 ,则 的面积是 ( )