一类非线性波动方程的初边值问题

一类非线性波动方程的初边值问题
【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。

【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计
一、引言及主要结论
本文讨论如下初边值问题：
的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。

我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：
定理假定
(A 4)h是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。

在F 1上满足相容性条件.其中
则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解
若令(A 2)中的p=1且和(A 1 )中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得
此外，若f 1 Lipschitz连续，则解是唯一的。

二、定理的证明
设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解
据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题
据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明u k(t)能被整体延拓到[0，+∞)上.
第一个估计
将方程(5)中的w j换成u k(t)，并在(0，t)上积分，得到
由假设(A 3 )，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到
合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计
其中L 1 是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

第二个估计
首先估计uk tt n(0)的L 2 范数，易得‖u k tt ‖≤L 2.其中L 2 是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的w j 换为u k tt 得到
对上式左边第一项进行估计，可得
在(0，t)上积分(9)式，，得到
类似(8)的做法，，可以得到
合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计
其中，L 3是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

非线性项的分析
利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.
由第一个估计和假设(A 1)可知，存在函数，使得
利用广义格林公式，由(5)得到
由于Δu∈L 2())，从而有
再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到
由于
接下来，把(5)中的w j换为u k并在(0，T)上积分，得到
对上式两边取极限得到
合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到
由假设(A 1)得到
利用Lions引理即得(12).
惟一性
设u 1和u 2是问题(1)-(4)的两个解，则z=u 1-u 2满足
在(17)中令w=z t(t)，由假设(A 2)、(A 3)可以得到
其中，λ来自于不等式
另一方面，由f 1l ipschitz连续和假设(A 1)可知，存在常数C使得在(0，t)上积分(18)得到
利用Gronwall引理，由上式即得.
惟一性得证.
能量的一致衰减
由(1)得到
(19)
若令(A 2)中的P=1，则存在正常数δ 1和δ 2，使得(20)
考虑到假设(A 1)，由(19)，(20)得到
(21)
注意到h(0)=0简单的计算易知
(22)
其中
定义修正能量
(23)
假定
(24)
其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得
(25)
因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.
接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设(A 4)得到
定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数C 1>2，C 2>0使得(26) 和(27)
综合(26)，(27)可得
其中，C，λ为正常数.证毕.
参考文献：
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基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号021*******.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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