2018秋八年级数学上册-第13章 全等三角形 微专题4 巧用等腰三角形的性质与判定习题课件 (新版)华东师大版

2.
(易错题)已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－
2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数． 解：(1)①当(2x－2)°作为顶角时，即(2x－2)＋2×(3x
－5)＝180，解得 x＝24，三角形三个角的度数分别为：
46°，67°，67°；
② 当 (3x － 5)°为 顶 角 时 ， 即 (3x － 5) ＋ 2×(2x － 2) ＝
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(2)当 α＝150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明理 由；
(3)探究：当 α 为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？
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证明：延长 AE、BC 交于点 F.
∵AE⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
又∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，
∴∠DBC＝∠FAC，
在△ ACF 和△ BCD 中，
∠ACF＝∠BCD＝90°，
AC＝BC，
∠FAC＝∠DBC，
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∴AF＝BF.
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6. 如图，在△ ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AC 上的一点，AE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E，且 AE ＝12BD. 求证：BD 是∠ABC 的角平分线．
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(3)△ ADF 是等腰三角形，理由如下： ∵AE 和 AH 在同一直线上，∴∠EAC＝30°， ∴∠ADF＝∠EAC＋∠E＝70°. ∵∠F＝∠E＝40°，∴∠FAD＝70°， ∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD， ∴△ADF 是等腰三角形．
180，解得 x＝27，三角形三个角的度数分别为：52°，52°，
76°；
③当以上两个角均为底角时，即(2x－2)＝(3x－5)，
解得 x＝3，三角形三个内角分别为：4°，4°，172°.
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类型 2 (构建)全等三角形⇒等腰三角形((构建)等腰 三角形⇒全等三角形)
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4. 如图，△ ABC 中，∠B＝2∠C，AD 是∠BAC 的 平分线．求证：AC＝AB＋BD.
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证明：在 AC 上截取 AE＝AB，连结 DE，易证 △ ABD≌△AED(S. A. S. )，
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解：∵△ADB 和△ ACE 是等边三角形，
∴∠DAE ＝ 60°＋ ∠BAC ＋ 60°＝ 120°＋ ∠BAC ， ∠DBC＝60°＋∠ABC.
又∵∠DAE＝∠DBC， ∴120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC， 即∠ABC＝60°＋∠BAC.
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8.(2017·长春模拟)已知△ ABC 是等边三角形，△ AEF 是等腰三角形，点 B、C 在 EF 上，且∠E＝40°.
(1)如果△ ABC 和△ AEF 有公共的对称轴 AH(如图 ①)，求∠EAB 的度数；
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∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC. 设∠BAC＝x，则 x＋2(x＋60°)＝180°， 解得 x＝20°， 即△ ABC 三个内角的大小分别为 20°，80°，80°.
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3. 如图，AB＝AC，M 是 AB 上一点，N 是 AC 延长 线上一点且 BM＝CN，MN 交 BC 于点 D.
求证：MD＝ND.
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证明：过点 M 作 ME∥AN 交 BC 于 E，则∠MEB＝ ∠ACB，
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠MEB， ∴ME＝MB＝CN， 由此可证△ MED≌△NCD(A. A. S. )， ∴MD＝ND.
∴∠AED＝∠B，BD＝ED， ∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C， ∴2∠C＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋DE＝AB＋BD.
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类型 3 利用“角分平、角分垂”条件构建等腰三角形 5. 如图，AD 是△ ABC 的角平分线，BE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，EF∥AC 交 AB 于点 F，求证：AF＝FB.
解：(1)证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴△COD 是等边三角形． (2)当 α＝150°时，△ AOD 是直角三角形． ∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°. 又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC＝60°. ∴∠ADO＝90°. 即△ AOD 是直角三角形．
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(2)固定△ ABC，旋转△ AEF，使 AE 与 AB 在一条直 线上(如图②)，EF 与 BC 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N， 求∠EMB 的度数，并说明△ ANF 的形状；
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(3)如果继续转动△ AEF，使 AE 与 AH 在一条直线上 (如图③)，EF 与 AC 交于点 D，请判断△ ADF 的形状， 并说明理由．
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证明：∵AD
平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵EF∥AC，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴∠FEA＝∠BAE，
∴AF＝FE，∵BE⊥AE，
∴∠FEA＋∠BEF＝90°，
∠BAE＋∠FBE＝90°，
∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，
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专题训练 类型 1 利用等腰构建方程求角度 1. 如图所示，△ ABC 是等腰三角形，AB＝AC，分 别向△ ABC 外作等边△ ADB 和等边△ ACE. 若∠DAE＝ ∠DBC，求△ ABC 三个内角的大小．
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第13章 全等三角形
微专题4 巧用等腰三角形的性质与判定
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专题解读 等腰三角形性质与判定的运用 1.巧算角度 2.巧证两条线段相等 3.巧用“角平分线＋平行线⇒等腰三角形” 4.巧用“角平分线＋垂线⇒等腰三角形” 5.判定三角形的形状
(3)①要使 AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO. ∵∠AOD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO ＝α－60°， ∴190°－α＝α－60°. ∴α＝125°. ②要使 OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO. 则 2(α－60°)＋190°－α＝180°，∴α＝110°. ③要使 OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD， 则(190°－α)×2＋α－60°＝180°，∴α＝140°. 综上所述：当 α 的度数为 125°或 110°或 140°时， △ ABC 是等腰三角形．
∴△ACF≌△BCD(A. S. A. )， ∴AF＝BD. 又 AE＝12BD， ∴AE＝EF，即点 E 是 AF 的中点． ∴AB＝BF， ∴BD 是∠ABC 的角平分线．
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类型 4 与判断三角形形状有关的综合问题 7.如图，点 O 是等边△ ABC 内一点，∠AOB＝110°， ∠BOC＝α. 将△ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得 △ ADC，连结 OD. (1)求证：△ COD 是等边三角形；
①
②
③
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解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∵∠E＝40°，∴∠EAB＝20°； (2)∵AE＝AF，∴∠E＝∠F＝40°. ∵AE 与 AB 在一条直线上，∴∠ABC＝∠E＋∠BME ＝60°，∴∠EMB＝20°. ∵∠ANF＝∠BAC＋∠E＝100°， ∴∠NAF＝40°，∴AN＝NF，∴△ANF 是等腰三角形；