【人教A版】2019学年必修四导学案设计(含答案)第一章 1.4.1

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1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
知识点一 正弦曲线
正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．
利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π
2，…，2π等角的正弦线．
③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．
⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．
在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，－1)，
(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．
思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？
答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：
只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．
知识点二 余弦曲线
余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．
要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3
2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．
思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？
答案
题型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．
解 (1)取值列表：
(2)描点连线，如图所示：
反思与感悟 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x 轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 跟踪训练1 作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系． 解 按五个关键点列表：
利用正弦函数的性质描点作图：
由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．
题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．
解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0，16－x 2
≥0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
－4≤x ≤4，
sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．
结合图象可得定义域：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．
解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
cos x >025－x 2
≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
cos x >0
－5≤x ≤5
，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．
结合图象可得定义域：
x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦
⎤3
2π，5. 题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数
例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．
解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．
描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．
反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是．
答案 2
解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．
数形结合思想在三角函数中的应用
例4 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈，2π].
图象如图，
若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得k 的取值范围是(1,3)． 点评 (1)画y ＝|sin x |的图象可分两步完成：第一步先画出y ＝sin x ，x ∈[0，π]和y ＝－sin x ，x ∈[π，2π]上的图象；第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线．(2)一般地，函数y ＝|f (x )|的图象可将函数y ＝f (x )的图象作如下变换得到：在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分保持不变．
1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π
2
答案 D
2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，1
2)
B ．(π
2，1)
C ．(π，0)
D ．(2π，0) 答案 A
解析 易知(π6，1
2
)不是关键点．
3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1
2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2
＝. 答案 3π
解析 如图所示， x 1＋x 2＝2×3π
2
＝3π.
4．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图． 解 (1)取值列表如下：
(2)描点连线，图象如图所示：
5．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系． 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．
由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π
4时，sin x ＝cos x ；
②当π4<x <5π
4
时，sin x >cos x ；
③当0≤x <π4或5π
4
<x ≤2π时，sin x <cos x .
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x 轴的交点． 2．作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤
3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．
一、选择题
1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，3π
2的简图是( )
答案 D
2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合
B ．形状相同，位置不同
C ．关于y 轴对称
D ．形状不同，位置不同 答案 B
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
3．方程sin x ＝x
10
的根的个数是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 答案 A
解析 在同一坐标系内画出y ＝x
10
和y ＝sin x 的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )
答案 D 解析 由题意得
y ＝⎩⎨⎧
2cos x ，0≤x ≤π2或3
2
π≤x ≤2π，
0，π2<x <3
2π.
显然只有D 合适．
5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π
2
)的图象是( )
答案 C
解析 当0≤x <π
2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；
当π
2
<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π
2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，
故其图象为C.
6．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π 答案 D
解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]
的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π， ∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二、填空题 7．函数y ＝
log 1
2
sin x 的定义域是． 答案 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }
解析 由log 1
2sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .
8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是． 答案 ⎣
⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2
3π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1
2，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 9．函数f (x )＝sin x ＋
1
16－x 2
的定义域为． 答案 (－4，－π]∪[0，π]
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2
>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
2k π≤x ≤2k π＋π，－4<x <4
⇒－4<x ≤－π或0≤x ≤π.
10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为． 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4
解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4. 三、解答题
11．用“五点法”画出函数y ＝1
2＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．
解 (1)取值列表如下：
(2)描点、连线，如图所示．
12．根据y ＝cos x 的图象解不等式： －
32≤cos x ≤1
2
，x ∈[0,2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为 {x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}． 13．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .
解 (1)y ＝|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)
(k ∈Z )．
其图象如图所示，
(2)y ＝sin|x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x (x ≥0)，－sin x (x <0).
其图象如图所示，。