人教版八年级第二学期第一次月考数学试题含答案

一、选择题
1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．25cm
D ．40cm
2．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（ ）
A ．1
B ．32
C ．4
D ．23 3．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于
点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.
A ．36
B ．18
C ．12
D ．9 4．在ΔABC 中,
211a b c =+,则∠A( ) A ．一定是锐角 B ．一定是直角 C ．一定是钝角 D ．非上述答案
5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A ．5.3尺
B ．6.8尺
C ．4.7尺
D ．3.2尺 6．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A ．a =3，b =4，c =6
B ．a =5，b =6，c =7
C ．a =6，b =8，c =9
D ．a =7，b =24，c =25 7．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）
A ．222221a b h +=
B ．222111a b h +=
C ．2h ab =
D ．222h a b =+
8．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）
A ．22﹣2
B ．32﹣2
C ．2﹣2
D ．2﹣1
9．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,822
10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）
A ．33cm
B ．4cm
C ．32cm
D ．6cm
二、填空题
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．
13．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．
14．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．
15．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___
16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．
17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
18．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD
的值为____________．
19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为
MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则2
2
MN BM 的值为______________．
20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．
三、解答题
△中，∠ACB = ∠DCE=90°．
21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；
△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE
说明理由；
△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDE
D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．
22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．
23．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；
（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．
下列结论：
①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；
②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；
=532
ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；
⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．
其中正确结论的序号是___．
26．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？
（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.
②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.
27．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________；
（2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 28．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
29．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
30．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径，由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．
【详解】
解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A B'交EG于F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长，
即 25cm AF BF A B '+==，
延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，
3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=，
Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：20cm A D '==， ∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，
故选D ．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．B
解析：B
【分析】
设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，根据勾股定理求出a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，即可证得a 2+d 2＝18，由此得到答案.
【详解】
设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，
由勾股定理得，a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，
则a 2+b 2+c 2+b 2+c 2+d 2＝50，
∴a 2+d 2+2（b 2+c 2）＝50，
∴a 2+d 2＝50﹣16×2＝18，
∴AD ==
故选：B ．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.
3．D
解析：D
【分析】
利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.
【详解】
∵90BAC ︒∠=，
∴AB ⊥AD,
∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,
∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，
∴∠BDE=∠BDA ，
∴BE=AB=AC ，
∵CDE ∆的周长为6，
∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，
∵,90︒
=∠=AB AC BAC
∴22236AB AC BC +==,
∴2236AB =, 218AB =,
∴ABC ∆的面积=
211922
AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.
【点睛】
此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】根据
211a b c
=+以及三角形三边关系可得2bc ＞a 2 ，再根据（b-c ） 2 ≥0，可推导得出b 2 +c 2 ＞a 2 ，据此进行判断即可得. 【详解】∵
211a b c =+， ∴2b c a bc
+=， ∴2bc=a （b+c ），
∵a 、b 、c 是三角形的三条边，
∴b+c ＞a ，
∴2bc ＞a·
a ， 即2bc ＞a 2 ，
∵（b-c ） 2 ≥0，
∴b 2 +c 2 -2bc≥0，
b 2 +
c 2 ≥2bc ，
∴b 2 +c 2 ＞a 2 ，
∴一定为锐角，
故选A ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2 ＞a 2 是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+62=（10-x ）2，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度OA 是3.2尺．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
6．D
解析：D
【解析】
A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．
7．B
解析：B
【分析】
设斜边为c ，根据勾股定理得出22a b +
【详解】
解：设斜边为c ，根据勾股定理得出22a b + ∵12ab=12
ch ， ∴22a b +，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2， ∴22222a b a b h =22222a h a b h +22
222b h a b h
， 即
21a +21b ＝21h ． 故选：B ．
【点睛】 本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
先过点E 作EG ⊥CD 于G ，再判定△BCD 、△ABD 都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG 的长，进而得到△EDC 的面积．
【详解】
解：过点E 作EG ⊥CD 于G ，
又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ，
∴BE ＝GE ，
在Rt △BCE 和Rt △GCE 中
CE CE BE GE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，
∴BC ＝GC ，
∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴∠BDC ＝45°，
∵AB//CD ，
∴∠ABD ＝45°，
又∵∠A ＝90°，AB ＝1，
∴等腰直角三角形ABD 中，BD ＝2211+＝2＝BC ，
∴Rt △BDC 中，CD ＝()()2222+＝2，
∴DG ＝DC ﹣GC ＝2﹣2，
∵△DEG 是等腰直角三角形，
∴EG ＝DG ＝2﹣2，
∴△EDC 的面积＝
12×DC×EG ＝12
×2×（2﹣2）＝2﹣2． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解．
9．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．【详解】
A、222
72425
+=，能组成直角三角形，故正确；
B、
222
111
45
222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+≠
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误；
C、222
345
+=，能组成直角三角形，故正确；
D、
22
2
11
478
22
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=1
2
AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=1
2
BD=
3
2
,
∴=
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题
11．8
【解析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值
作交于，则为所求；
设,,
由，，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8.
点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
127
【分析】
连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
连接AC，交BD于点O，
∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，
∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，
∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，
∵CE ∥AB ，
∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，
∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，
∴AE ＝CE ＝3，
∴DE ＝AD−AE ＝1，
∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，
∴△EDF 是等边三角形，
∴DE ＝EF ＝DF ＝1，
∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，
22OC CF OF 3∴-=
22BC=OB +OC =7∴ 7
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
13．125
【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵2222
25,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122
ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：
1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125
， 故答案为：125
. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
14．36或84
【分析】
过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理列式求出BD 、CD ，再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵BC 边上的高为8cm ，
∴AD=8cm ，
∵AC=17cm ，
由勾股定理得：
22221086BD AB AD =-=-=cm ，
222217815CD AC AD =-=-=cm ，
如图1，点D 在边BC 上时，
BC=BD+CD =6+15=21cm ，
∴△ABC 的面积=12BC AD =12
×21×8=84cm 2，
如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
15．5或13
【分析】
根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．
【详解】
解：如下图所示，
若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴C=13．
若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴B=9-4=5．
∴S K为5或13．
故答案为：5或13．
【点睛】
本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．
16．10
【分析】
先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝35，c＝5代入即可求出ab的值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∵a+b＝35，c＝5，
∴（35）2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
17．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直
角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
18．62
+
【解析】
【分析】
过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出
∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到
DG=AG=2a，GM=3a,AM=BM=(32)a
+，BD=(31)a
+，AB=2(31)a
+,代入计算即可.
【详解】
过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.
∵∠BCA＝30°，AE=EC
∴AM=
1
2
AC，AN=
1
2
AC
∴AM=AN
又∵AD=AE
∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)
∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°，AD⊥AE
∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°
设DM=a,则 DG=AG=2a，
根据勾股定理得：GM=3a,
∵∠ABC＝45°
∴AM=BM=(32)a
+
∴BD=(31)a
+，AB=2(32)a
+,
∴
()
()
62262
31
a
AB
BD a
++
==
+
故答案为：
62
+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键
是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
19．12
【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：
MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，
由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.
所以22
2212MN x BM x
==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.
20．485
【解析】 试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485
. 三、解答题
21．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换
即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出10
2AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：
如图1，延长AE 交BD 于H ，
由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90DBC BDC ∠+∠=︒，
∴90EAC BDC ∠+∠=︒，
∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，
即AE BD ⊥，
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，
∵90ACB ECD ∠=∠=︒，
∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，
在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴90EAC AOC ∠+∠=︒，
∵AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，
∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，
即AE BD ⊥；
（3）设AD x =，
10,90AC BC ACB ==∠=︒，
2102AB AC ∴==，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==-=-，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，
解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），
即14AD =，
②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==+=+，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，
解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），
即2AD =，
综上，AD 的长为14或2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
22．BF 的长为
32
【分析】
先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．
【详解】
解：连接BF ．
∵CA=CB ，E 为AB 中点
∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°
在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，
BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt △FEB ≌Rt △FEA
又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°
∴∠FBE=∠FAE=1
2
∠CAB=22.5°
在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°
又∵BD⊥AD，∠D=90°
∴△BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3
∴BF===
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．
23．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．
【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=1
2
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝1
2
∠ADE＝
1
2
×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，
∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，
∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
24．(1)25
16
；（2）
8
3
t=或6；（3）当
153
,5,
210
t=或
19
4
时，△BCP为等腰三角形．
【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194
t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=，
（1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=，
解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-，
解得：83
t =，
当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352
t --=⨯，
解得：5310t =， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
25．②③⑤
【分析】
①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利
用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；
②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；
⑤先证得
ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利
用互余的关系即可证得结论．
【详解】
①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，
∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴222PE BE PB +=，
∵2AE AP ==
，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE =
=， ∴()22227BE +=，
解得：3BE =，
作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，
∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，
∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为
6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =，
∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+
AEP BEP S S ∆∆=+
1122
AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322
=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；
③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==
， ∴62AH AE EH =+=+， 22
222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222
ABD S AB AD AB ∆=
⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，
∵A C 、关于 BD 的对称，
∴523AB BC ==+
∴225231043AC BC ==+=+
∴ min PC AC AP =-，
10432=+
⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABP ADE SAS ≅，
∴ABP ADE ∠=∠，
∵AN BN =，
∴ABP NAB ∠=∠，
∴EAN ADE ∠=∠，
∵90EAN DAN ∠+∠=︒，
∴90ADE DAN ∠+∠=︒，
∴AN DE ⊥，故⑤正确；
综上，②③⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．
26．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92
；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆203123． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等
式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．
【详解】
（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①90,6CB b A ∠=︒=
c ∴=
根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根
当2a c b +=时，12a =，解得92
a =
当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去
综上，a 的值为
92
； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）
当2a b c +=时，则1b k a
=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =
≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =
≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<
综上，k 的取值范围为13k ≤<；
（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x = 2222,3AB BD x AD AB BD x ∴===-=
22222(3)(4)224AC AD CD x x x x =+=++=++ 11432322
ABC S BC AD x x ∆=⋅=⨯⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：
当2AC BC AB +=时，即222444x x x +++=，解得103x =
则10203232333
ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时，即222428x x x +++=，解得65x =
则6123232355
ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根
综上，ABC ∆的面积为2033或1235
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
27．（1）2，232）证明见解析（3）
2217（423221【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中，
∵122BE AE AB ==
=，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形； （3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，
∴22=27CD AC AD =+，
∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，
∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上，
则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴22233
PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，
则
253
=33
33 PQ CQ CP
=++=，
∴22
221 =
PE PQ EQ
=+；
综上，PE的长为23
或
221
.
【点睛】
本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.
28．（1）CD=8；（2）t=4；（3）
12-
=
t
v
t
(26
t≤<)
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1
2
BC，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD==
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，。