七篇不等式讲二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)
专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二 求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题, [学生用书P111])1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域 Ax ＋By ＋C >0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y )，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量x ，y 的函数解析式，如z ＝x ＋2y 线性目标函数 关于变量x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．2．求z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1.教材习题改编 不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方C [解析] 画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.2.教材习题改编 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．32C ．－32D ．－3A [解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，为3.3．(2016·高考北京卷)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8C [解析] 依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.4．(2017·扬州模拟)点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．[解析] 因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.[答案] ⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0表示的平面区域的面积为________．[解析]作出⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.[答案] 4二元一次不等式(组)表示的平面区域[学生用书P112][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0，2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)4 (2)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞若本例(2)条件变为：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件．[答案] [5，7)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )C [解析] (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －2≤0y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．[答案] －1求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)[学生用书P113]线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，属中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】 (1)作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时， z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中， 解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 【答案】 (1)－10 (2)B利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．[注意] 对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数．[题点通关]角度一 求线性目标函数的最值(范围)1．(2016·高考全国卷甲)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[解析] 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.[答案] －5角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)2．(2017·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．[解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.[答案] 10线性规划的实际应用[学生用书P113][典例引领](2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件， 产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000(2016·高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲 4 8 3 乙 5 5 10现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．, [学生用书P114])——数形结合思想求解非线性规划问题(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．【解析】 画出可行域如图阴影所示，因为 yx 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)． 所以yx的最大值为3.【答案】 3(1)本题在求y x 的取值范围时，利用数形结合思想，把yx转化为动点(x ，y )与定点(0，0)连线的斜率．解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理．(2)常见代数式的几何意义： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；② （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；③yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值； ④y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．1.(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2即x 2＋y 2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．(2017·洛阳统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A ．32B ．43C ．2D ．4B [解析] 画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43., [学生用书P331(独立成册)])1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [解析] 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0x －2y ＋2>0A [解析] 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0，0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0，0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)D [解析] 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.4．(2017·大连双基测试)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2A [解析] 可行域如图，平移直线y ＝2x 至过点(5，3)时，z 取得最小值－7.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )(1＋m －2＋2m 3) ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．6．(2017·河南省六市第一次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2，3)时符合题意，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0，z ＝x －2y ，则z 的取值范围是________．[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知当z ＝x －2y 过点A 时，z 取得最大值； 当z ＝x －2y 过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (1，2)，则z min ＝1－2×2＝－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)，则z max ＝2－2×0＝2， 故z ＝x －2y 的取值范围是[－3，2]． [答案] [－3，2]8．(2017·贵州黔东南州模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. [答案] 5 9．(2016·高考浙江卷改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.[答案] 3 210．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．[解析] 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[答案] －1或211．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．12．(2017·江西高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5)C ．[0，5]D ．⎣⎡⎭⎫53，5B [解析] 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令μ＝2x －2y －1，则y ＝x －μ＋12，当直线y ＝x －μ＋12过点C (2，－1)时，μ有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，μ有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5)．故选B.13．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．[解] (1)法一：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.法二：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，所以OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，所以|OP →|＝2 2. (2)因为OP →＝mAB →＋nAC →， 所以(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ，B ，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？[解] 设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，y ≥0，x ≥0.欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件表示的可行域， 如图中阴影部分所示，则点A (40，0)，B (40，10)，C ⎝⎛⎭⎫503，1003，D (0，40)．作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40，10)时，3x ＋2y 取得最大值，则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)． 故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．。
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件-2023届高三数学(文)一轮总复习
解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，
0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x
－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区
域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3
，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1
－(－3)＝4，dmax＝ −3 − 5 2
所以z的取值范围为[16，64].
+ 2 − 2 2 ＝8.
y
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝ ”改为“z＝|x＋y|”，如何
，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科
教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1
名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支
5
持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．
反思感悟
第三节 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范
围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔
也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，
主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数
最大值
最小值
最大值
在线性约束条件下求线性目标函数的________或
第二讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(教师版)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题模块一：二元一次不等式(组)与平面区域 知识点1：二元一次不等式(组)1．二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式． 2．二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 3．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x 、y )，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x 、y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．知识点2：二元一次不等式表示平面区域1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 2．二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同．(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C ＞0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域1．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正负判定．[例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x －y －6≥0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0， 取原点O (0,0)代入2x －y －6中，∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足 2x －y －6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)． (2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入 x －y ＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域． 变式训练1．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －2y ＞3，x ＋2y ≥0表示的平面区域．解：不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y －5＝0上及左下方的区域． 不等式x －2y ＞3表示直线x －2y －3＝0右下方的区域． 不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0上及右上方的区域． 所以不等式组表示的平面区域如图所示．题型二：二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．[例2] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2，表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2，表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.[答案] B 变式训练2．求由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0确定的平面区域的面积S 阴影部分．解：由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过P 点作y 轴的垂线，垂足为C .则AC ＝|5－4|＝1， PC ＝|1－0|＝1， OC ＝4，OB ＝3， 得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8.所以S 阴影部分＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172. 题型三：用二元一次不等式组表示实际问题用二元一次不等式组表示实际问题的方法用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示， (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来，(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式， (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．[例3] 投资生产A 产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B 产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．变式训练3．有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：工具和运输数量满足的关系．解：设需要x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如右图)分别为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ，y ∈N .小专题求作不等关系表示的平面区域[典例] 画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＞0表示的区域．[解] 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＞0.或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＜0.分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如图阴影部分)．变式训练画出不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域．解：不等式(x －y )(x －y －1)≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，，而不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，无解，故(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．[随堂即时演练]1．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43D ．34解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)， 又B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43，故选C. 3．用不等式表示直线y ＝3x －1左上方的平面区域为________．答案：y ＞3x －14．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x －by ＋1＞0表示的平面区域内，则b 的取值范围是________．解析：设P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)，因为点P 与点P ′有且只有一个适合不等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2b ＋1＞0，－2－2b ＋1≤0， 或⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＋1≤0，－2－2b ＋1＞0， 得b ≥－12或b ≤－32.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 5．如图，请写出表示阴影部分区域的不等式组．解：由于直线BC 的方程为y ＝－1，直线AC 的方程为x ＝0，直线AB 的方程为2x －y ＋2＝0， 因此表示该区域的不等式组是 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ≤0，y ≥－1.模块二： 简单的线性规划问题知识点一：简单的线性规划 线性规划的有关概念题型一：求线性目标函数的最值解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．[例1] (2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x－y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，6，故选A. [答案] A 变式训练1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二：求非线性目标函数的最值非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[例2] 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值． [解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.变式训练：2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三：已知目标函数的最值求参数求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．[例3] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2.[答案] 2 变式训练3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四：简单的线性规划问题的实际应用利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．[例4] 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．变式训练4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15[典例5] 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24 立方米，总重量不能低于650 千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？ 设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .(1分)依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.(4分)作出上述不等式组表示的平面区域，如右图阴影部分所示．(6分由目标函数z ＝20x ＋10y ， 可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．(8分)画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．(10分)因此，当x ＝4，y ＝1时，z 取得最大值，此时z 最大值＝20×4＋10×1＝90.(11分)答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9 000元．(12分)变式训练有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成长为500 mm 和600 mm 的两种钢管，且这两种钢管的数量之比按大于13配套，怎样截合理？解：设每根截500 mm 的x 根和600 mm 的y 根，则⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000x y ＞13x ＞0y ＞0x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40y ＜3xx ＞0y ＞0x ，y ∈N*作出可行域如图所示．目标函数为z ＝x ＋y ，作一组平行直线x ＋y ＝t ，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B (8,0)点的直线，这时x ＋y ＝8，由x ，y ∈N *知(8,0)不是最优解，因此，在可行域内找整点，得到点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解，此时x ＋y ＝7.∴按照每根钢管来截，截500 mm 的2根.600 mm 的5根或截500 mm 的3根.600 mm 的4根或截500 mm 的4根.600 mm 的3根或截500 mm 的5根.600 mm 的2根或截500 mm 的6根.600 mm 的1根．[随堂即时演练]1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
社交网络分析
在线性规划中，人们可以利用线 性规划的解决方案来分析和优化 人际关系、以及大规模的社交和 商务场景。
单纯形法的应用举例
制造业
单纯性法可以用于制造企业的工 艺计划和订单管理，以实现最大 利润。
航空
在航空业中，单纯性法可以用于 口岸货物的管理，确保一切清晰 有序。
商业
将单纯性法应用于商业管理，如 超市商品的调配。
对偶理论的基本概念
可行解
对偶问题的可行解是原线性规划问题的解的上 界，它以原问题的所有约束条件为基础。
业务分析
在线性规划中，公司可以利用该 技术来优化商业活动，降低成本， 提高效率，并最大化利润和市场 份额。
线性规划在现代科学中的应用
能源管理
在线性规划中，可以对于能源的 分配和使用进行优化，例如太阳 能电池板的电力分配和十字路口 的智能交通管理。
图像处理
在线性规划中，它是一种用于编 码、吸引、提取和分配数字图像 的优化方法。
线性规划是将一种线性函数最大化或最小化的 数学方法。
约束条件
这是限制进程中的变量取值的一系列不等式。
目标函数
目标函数是一个线性函数，其最大值或最小值 即为所求的约束条件下的最优解。
最优解
最优解是可以以最简单、最优的方式达成目标 函数的点或区域。
线性规划的约束条件
1
等式约束条件
等式约束条件是受限的因素与目标函数之间形成等式。
3
解析法
解析法是一种比较简单的、用代数方法求解线性规划的方法。它应用于较小的问 题。
线性规划的图像分析
目标函数
目标函数即要优化的事项。在线 性规划中，它往往是模型的第一 或二等项。
限制条件
最优解
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： (1)直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；(2)直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c >0； (3)直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．选择题：已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52 C ．2 D ．2 2解析 ∵直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，∴如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，其面积为12×|AB |×|AC |＝2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2解析 如图所示，目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析 由题意得平面区域如图，A (0，43)，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析 由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，∴只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与 kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1) 当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n ， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z . ∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选Bx ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1 C ．2 D ．5 解析 作出可行域，如图所示的阴影部分化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2解析 作出函数y ＝2x的图像及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92 D ．5 解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12 C.12 D ．5 解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1,1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5) 解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．填空题：不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．∵A (1，1)，B (0，4)，∴AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，∴k ＝73.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝______解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1，1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1，不符合题意故必有m >2，此时不等式组⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1，1)，B (m －1，1)，C (m ＋13，2m －13)． 由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3 由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是_______ 解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1)．设z ＝OM →·ON→＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时， z ＝2x ＋y 取得最大值3已知向量OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤OP →·OA →≤1，0≤OP →·OB →≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成图形的面积为________解析 由题意知，OP →·OA →＝x ，OP →·OB →＝x ＋y ，即0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，设x ＋y ＝a ，y ＝b ，则有0≤a －b ≤1，0≤a ≤2，点Q (a ，b )所在平面区域如图所示，则其面积为1×2＝2设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________解析 ∵a >0，b >0，∴由可行域得，如图，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10，a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0，0)的距离的平方， 那么其最小值是点(0，0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513解答题：实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解由⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，∴yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)． 由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)． (2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方， ∴x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1，5]专项能力提升已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3) 解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP→＋OQ →|的最小值为( )A.55B.23C.22 D ．1 解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA→|， 其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y＝0上的投影，如图．∵|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，∴|OP →＋OQ →|min＝55设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.3π4B.3π5C.4π7D.π2 解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示：图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，∴阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1，显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6 ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________． 解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0， ∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0，1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．注意：1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )题组二 教材改编2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)题组三：易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．46．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．三、典型例题题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1：不含参数的平面区域问题典例在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C.12D.14命题点2：含参数的平面区域问题 典例 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43思维升华：(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2题型二：求目标函数的最值问题命题点1：求线性目标函数的最值典例 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9命题点2：求非线性目标函数的最值典例 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12命题点3：求参数值或取值范围典例 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有 ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 题型三：线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？思维升华：解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 四、反馈练习1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋4≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤02．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3， 则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3 3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________． 12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1B ．－52＋17 C.13D ．－75 14．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为______．。
必修五不等式讲义：3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题
（一）二元一次不等式(组)与平面区域（1）二元一次不等式(组)的定义①二元一次不等式：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的不等式②二元一次不等式(组)：甴几个二元一次不等式组成的不等式组③二元一次不等式(组)解集：满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集（2）二元一次不等式表示的平面区域①0,0>++>C By Ax A 表示直线0=++C By Ax 右方的区域，不包括边界；0,0<++>C By Ax A 表示直线0=++C By Ax 左方的区域，不包括边界.②0,0≥++>C By Ax A 表示直线0=++C By Ax 右方的区域，包括边界；0,0≤++>C By Ax A 表示直线0=++C By Ax 左方的区域，包括边界.（3）二元一次不等式组表示的平面区域：是各个不等式表示平面区域的交集.（二）简单线性规划的应用⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧作图求解、列式读题转化：读题、列表线性规划问题求解步骤找最优解作可行域列约束条件找目标函数：设量解线性规划问题的步骤解可行解、可行域、最优线性规划问题线性目标函数线行约束条件线性规划的相关概念【例1】已知D 是由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0302y x y x 所确定的平面区域，求圆422=+y x 在区域D 内的弧长.变式1：（2008年湖北文）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨<⎪⎩的点(),x y 的集合用阴影表示为下列图中的（）变式2：（2007年北京理）若不等式组220x y x y y x y a-≥0⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，求a 的取值范围.变式3：（2007年浙江理）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，，，求m 的取值范围.【例2】（2009福建文）在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，求a 的值.变式1：（2009安徽理)若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，求k 的值.变式2：（2009安徽文)不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积.变式3：（2008年浙江理）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ，b 为坐标点(),P a b 所形成的平面区域的面积.变式4：（2008年安徽理）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积.变式5：（2007年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+≤≥≥，，且，，求平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积.变式6：在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1},{(,)|4,0,340}A x y x y B x y x y x y =+≤=≤≥-≥，则（1）求点1111{(,)|3,3,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的平面区域的面积；（2）求点12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积.【例3】(2009宁夏、海南)设,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221442y x y x x ，求目标函数z x y =+的最小值.【例4】(2009天津理)设变量,x y 满足约数条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，求目标函数23z x y =+的最小值.【例5】(2009三东理)设变量,x y 满足约数条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，求ba 32+的最小值.变式1：变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，求目标函数2z x y =+的最小值.变式2：（2010年山东理）设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，求目标函数34z x y =-的最大值和最小值.变式3：（2010年全国Ⅰ理）若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩求2z x y =-的最大值.变式4：（2008年福建理）若实数,x y 满足100x y x -+≤⎧⎨>⎩，求yx 的取值范围.变式5：（2007年辽宁理）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，求y x 的取值范围.变式6：（2007年安徽理）如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值.变式7：（2007年山东理）设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，，，表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值.变式8：（2006年北京）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点，求PO 的最小值和最小值.变式9：（2010年福建理）设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ,||AB 的最小值变式10：实数,x y 满足约束条件101020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩上，求3251x y x +--的取值范围.变式11：实数,x y 满足||1||1x y x y +≤⎧⎨-≤⎩，求|345|z x y =+-的最大值.变式12：不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ，圆222:O x y r +=的所有点都在区域D内，求圆O 面积的最大值.【例6】(2009四川理)某企业生长甲乙两种产品，已知生产每吨甲产品要A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获利3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润.【例7】(2009年三东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产,A B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件，已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,求租赁费最小值.CO排放量b及每万吨铁矿变式1：（2010年陕西理）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的的2石的价格c如下表：a b(万吨)c（百万元）A50%13B70%0.56CO的排放量不超过2（万吨）求购买铁矿石的最少费用.某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2变式2：（2009年湖北理）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，求该厂所花的最少运输费用.【例8】（2009年陕西理）若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.变式1：（2010年浙江理）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，求实数m .变式2：（2008年陕西理）实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，求实数m .变式3：（2007年湖南理）设集合1{()||2|}2A x y y x =≥-，，{()|}B x y y x b =≤-+，，A B ≠∅ ，（1）b 的取值范围是；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是.变式4：（2010年安徽理）设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数()0z abx y a b =+＞，＞0的最大值为8,求a b +的最小值.巩固提高1.不等式240x y -->表示的平面区域在直线240x y --=的（）A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方2.如果实数,x y 满足条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤++-≥≥+-1101y x y y x ，则2x y -的最大值（）A.2B.1C.2- D.3-3.设变量,x y 满足约数条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数2z x y =+的最大值（）A.2B.3C.4D.94.图中阴影部分的二元一次不等式组是（）A.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-201022y x y x B.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+-2001022y x y x C.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+-2001022y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤+-2001022y x y x 5.（2006四川）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11,b a 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22,b a 千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为21,d d 元.月初一次性购进本月用原料,A B 各21,c c 千克.要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润y d x d z 21+=最大的数学模型中，约束条件为（）.A.12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ B.11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ C.12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ D.12112200a x a y cb x b yc x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩6.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是（）A.1B.2C.4D.87.设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是（）A.2B.23 C.223 D.28.给出平面区域是目标函数(0)z ax by a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值（）A.41 B.53 C.4D.359.(2009浙江理)若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是.10.(2007山东理)设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是_______.11.已知(,)P x y 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14y x y y x ，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______，最大值等于_______.12.(2009北京理)若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s y x =-的最小值为__________.13.已知实数,x y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值是___________.14.本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？。
二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
y 的系数的正负号． 4．最优解一般在可行域的顶点或边界取得，要注意边 界的虚实．解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再把 坐标代入目标函数验算即可得出结论．
[答案] C
3 ． (2010· 全 国 Ⅰ ， 3) 若 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件 y≤1， x＋y≥0， x－y－2≤0， A．4 C．2
则 z＝x－2y 的最大值为( B．3 D．1
)
[解析]
作出可行域如图，
1 z z＝x－2y 得 y＝ x－ ，则当目标函数过 C(1，－1)时 z 2 2 取得最大值，所以 zmax＝1－2×(－1)＝3.
1 y－－ 2 (2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－ x－－1 1 1，－ )连线的斜率的两倍， 2 7 3 3 7 ∴kQA＝ ，kQB＝ ，∴z∈[ ， ]． 4 8 4 2
[答案]
9 3 7 (1)2 (2)z∈[4，2]
(2010·广东，19)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚
18 39 在上例中，线性规划问题的最优解( ， )不是实际问题的 5 5 最优解，最优解应是整点坐标．整点通常是可行域内离直线 最近的点，可在最优解附近代值验算，在可行域数据不大的 情况下利用画网格找整点则相对较快．
若例题中的第一种钢板的面积为1m2，第二种钢板的面积
为2m2，那么各截这两种钢板多少张，可得到所需的三种规格 成品，且使用的钢板面积最小．
C(7,9)∴当直线z＝6x＋5y过点C(7,9)时，zmax＝108 [答案] 108 (7,9)
在例题的约束条件下， (1)目标函数 z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值是________； 2y＋1 (2)目标函数 z＝ 的取值范围是________． x＋1
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
是
（C）
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m
的取值范围是 A.m<-5或m>10
（C ）
B.m=-5或m=10
C.-5<m<10
D.-5≤m≤10
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6
3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}， 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是
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10
y x=3 x-y+5=0
5
( 5 , 5 ) 22
(3,8)
x y5 0
x
y
0
x 3
-5
O
3
x
(3,-3)
(1)x[5,3],y[3,8]. 2
(2)平面区域内的整点共有
x+y=0 2+4+6+8+10+12=42个.
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11
知能迁移1 如图△ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域 所表示的二元一次不等式组.
17
[06广东高考]
x 0,
在约束条件
y y
0, x
s
下，当 3≤s≤5 时，
y 2 x 4
目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是 D
(A) [6,15]
(B) [7,15] y
(C) [6,8]
(D) [7,8]
4
C(0,s) B(4-s,2s-4)
y+ x= s
二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
实际问题转化为数学问题
识别问题中的决策变量
在简单线性规划问题中，首先需要识别出问题的决策变量，这些变量通常是问题中需要优化的量，如成本、时间、资源等。
明确问题的目标
确定问题的优化目标，即是求最大值还是最小值，以及对应的数学表达式。
列出约束条件
根据问题的实际情况，列出所有对决策变量的约束条件，这些条件通常以不等式或等式形式给出。
深入研究二元一次不等式(组)的性质和解法
将线性规划方法应用于更多领域，如经济、管理、工程等，解决实际问题。
拓展简单线性规划问题的应用领域
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汇报日期
01
二元一次不等式(组)的基本概念和解法
包括不等式(组)的定义、性质、解法等。
02
简单线性规划问题的建模与求解
包括线性规划问题的定义、建模方法、求解算法等。
学生自我评价报告分享
通过作业、测试和课堂表现等多种方式，展示了学生对本课程内容的掌握情况。
学习成果展示
部分学生分享了他们在学习过程中的有效方法和经验，如定期复习、多做练习、寻求帮助等。
选择一个初始基，并求出对应的基本可行解。
1.确定初始基本可行解
单纯形法计算步骤演示
单纯形法应用举例
1. 生产问题
某工厂生产A、B两种产品，每种产品都需要消耗一定的资源。通过单纯形法可以求解在资源有限的情况下，如何安排生产使得利润最大。
2. 运输问题
有若干个供应点和需求点，每个供应点有一定数量的货物，每个需求点有一定数量的需求。通过单纯形法可以求解如何安排运输方案使得总运费最小。
若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者最优值相等。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
第十八页，共44页。
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
第二十八页，共44页。
(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
第十九页，共44页。
x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
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50x＋40y≤2 000 答案 x∈ N＋
y∈ N＋
考向一 二元一次不等式 ( 组) 表示的平面区域
【例 1】?(2011 ·湖北 )直线 2x＋y－10＝0 与不等式组
x≥0 y≥0， x－y≥－ 2， 4x＋3y≤20
表示的平
面区域的公共点有 ( )． A． 0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
解读 法一 特殊值验证：当 y＝ 1， x＝0 时， x＋2y＝2，排除 A ， C；当 y＝－
1，x＝0 时， x＋ 2y＝－ 2，排除 D，故选 B.
法二 直接求解：如图，先画出不等式 |x|＋|y|≤1 表示的平面区域，易知当直线
x＋2y＝ u 经过点 B，D 时分别对应 u 的最大值和最小值，所以 umax＝2，umin＝－ 2. 答案 B 5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成． 请木工需付工资每人 50 元，请 瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人， 请工人的约束条件是 ________．
第 3 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围 )． 2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 【复习指导】 1．掌握确定平面区域的方法 (线定界、点定域 )． 2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法 )，注意线 性规划问题与其他知识的综合．
线性目标函数
目标函数是关于变量的一次函数
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
在线性约束条件下， 求线性目标函数的最大值或最小值 线性规划问题
问题
一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时， 经常采用 “直线定界， 特殊点定域 ”的
方法．
双基自测
1．(人教 A 版教材习题改编 )如图所示的平面区域 (阴影部分 )，用不等式表示为 ( )．
A． 2x－y－3＜0 B．2x－ y－3＞0 C． 2x－y－3≤0 D． 2x－y－3≥0 解读 将原点 (0,0)代入 2x－y－3 得 2×0－0－3＝－ 3＜0，所以不等式为 2x－y
－ 3＞ 0. 答案 B 2．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的点是 ( )． A． (0,0) B． (－1,1) C．(－ 1,3) D．(2，－ 3) 解读 逐一代入得点 (－1,3)不在 x＋ y－ 1≤ 0 表示的平面区域内． 答案 C 3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是 ( )．
x＋y－1≥0
x＋y－1≤ 0
A.
B.
x－2y＋ 2≥ 0 x－2y＋2≤0
x＋y－1≥0
x＋y－1≤ 0
C.
D.
x－2y＋ 2≤ 0 x－2y＋2≥0
解读 两条直线方程为： x＋ y－1＝0，x－2y＋2＝0.
将原点 (0,0)代入 x＋ y－1 得－ 1＜0， 代入 x－2y＋ 2 得 2＞0，
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，
把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点 (x0，y0)作为测
试点代入不等式检验， 若满足不等式， 则表示的就是包括该点的这一侧， 否则就
表示直线的另一侧．特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点；当 C＝0 时，
所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 (x0，y0)，从 ax0＋by0 ＋ c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
(2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点 (x，y)，把它的坐标 (x，y)代入 Ax ＋ By＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点
(2)求二元一次函数 z＝ax＋ by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜
az
z
截式： y＝－ bx＋b，通过求直线的截距 b的最值间接求出 z 的最值．要注意：当 b
z
z
＞ 0 时，截距 b取最大值时， z 也取最大值；截距 b取最小值时， z 也取最小值；当
z
z
b＜0 时，截距 b取最大值时， z 取最小值；截距 b取最小值时， z 取最大值．
即点 (0,0)在 x－2y＋2≥0 的内部， 在 x＋y－ 1≤ 0 的外部，
x＋ y－1≥0， 故所求二元一次不等式组为
x－ 2y＋2≥0.
答案 A 4．(2011 ·安徽 )设变量 x，y 满足 |x|＋|y|≤1，则 x＋ 2y 的最大值和最小值分别为
( )． A． 1，－ 1 B．2，－ 2 C． 1，－ 2 D．2，－ 1
基础梳理
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，直线 l： ax＋by＋ c＝ 0 把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线 l 上的点 (x，y) 的坐标满足 ax＋by＋c＝0；
②直线 l 一侧的平面区域内的点 (x， y)的坐标满足 ax＋by＋ c＞ 0；
③直线 l 另一侧的平面区域内的点 (x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＜0.
(x0，y0)，由 Ax0＋ By0＋C 的符号即可判断 Ax＋ By＋C＞ 0 表示直线 Ax＋By＋ C ＝ 0 哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件
由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组
[ 审题视点 ] 准确画出不等式组所表示的平面区域， 比较直线 2x＋y－ 10＝0 与 4x
＋ 3y－20＝ 0 的斜率即可判断．
常选点 (1,0)或者 (0,1)作为测试点． 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．