河北省石家庄赵县第六中学高三数学学期第二次月考试题 理
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赵县第六中学2013届高三第二次月考数学(理)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
{,}2
3A a =,集合{,,}01B b a =-,且{}1A B ⋂=,则A B ⋃= A .{,,}013 B .{,,}124 C .{,,,}0123 D .{,,,,}01234
2.设1
sin()43π
θ+=,则sin 2θ= A.79- B.19- C.19 D.7
9
3.
函
数
()sin 2f x x x -的单调减区间为
( )
A 、2[,]63k k π
πππ+
+
,k Z ∈ B 、7[,]1212k k ππ
ππ--,k Z ∈
C 、7[2,2]1212k k ππππ--,k Z ∈
D 、5[,]1212
k k ππ
ππ-+,k Z ∈ 4.设函数122,1
()1log ,1
x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩
则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A. []1,2- B. []0,2 C. [1,)+∞ D. [0,)+∞
5. 函数f (x )=)
22
sin(
2sin x a x -+π
的图象关于直线
8π
-
=x 对称,则实数a 的值为( )
A .2-
B .2
C .1-
D . 1
6. 设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足:“当()2k k f ≥成立时,总可推出 ()()211+≥+k k f 成立”,那么,下列命题总成立的是
A.若()11<f 成立,则()10010<f 成立
B. 若()93≥f 成立,则当1≥k 时,均有()2k k f ≥成立
C.若()42<f 成立,则()11≥f 成立
D.若()416f ≥成立,则当4≥k 时,均有()2k k f ≥成立 7. 已知△ABC 中A B >,给出下列不等式:
(1)sin sin (2)cos cos (3)sin 2sin 2(4)cos2cos2A B A B A B A B ><><
正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,则
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<< 9. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
A.sin(2)10y x π=-
B.sin(2)5y x π
=-
C.1sin()210y x π=-
D.1sin()220y x π
=-
10.现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的部分
图
象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A.①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D. ③④②①
11. 已知0ω>,函数()cos()4f x x πω=+
在(,)2
π
π上单调递减.则ω的取值范围是
A.15[,]24
B. 13[,]24
C. 3
(0,]4 D.(0,2]
12.方程|sin |
(0)x k k x
=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>,则以下有关两根关系的结论正确的是
A .sin cos ϕϕθ=
B .sin cos ϕϕθ=-
C .cos sin ϕθθ=
D .sin sin θθϕ=-
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.答案填在题中横线上.
13. 函数211tan )(x x x f -+-=
的定义域为________.
14.如图,由两条曲线224,x y x y -=-=
及直线1-=y 所围成的图形的面积为
15. 已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所示,则ϕ的值为________.
16.如图函数F (x )=f (x )+15
x 2
的图象在点P 处的切线方程
是y =-x +8,则f (5)+f ′(5)=________.
三、解答题:本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=⋅+-。
(1)求()f x 的最小正周期:
(2)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。
18.(12分)在ABC ∆中,角C B 、、A 所对的边分别为c b a 、、,且3
1cosA =,(1)求
A C
B 2cos 2
sin 2
++的值; (2)若3=a ,求bc 的最大值。
19. (12分)已知函数
.
cos 21
2cos 2sin )(x
x x x f ++=
(1)求()f x 的定义域和值域; (2)若
x x f x 2cos ,52
3)(),4,4(求且=-
∈π
π的值;
(3)若曲线()f x 在点
00(,())P x f x 0()2
2x π
π
-
<<
处的切线平行直线
y x
=
,求0
x 的值.
20.(12分)已知函数
12)(2
3+++=bx ax x x f 的导数为)('x f ,若函数)('x f y =的
图象关于直线
21
-
=x 对称,且0)1('f =。
(1)求实数b a ,的值; (2)求函数)
(x f 的极值;
21.(12分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元,试计算:
(1)仓库面积S 的最大允许值是多少?
(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
22.(12分)已知函数()x
f x xe -=,()x R ∈. (1)求函数()f x 的单调区间和极值;
(2)已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称; 证明:当1x >时,()()f x g x >
(3)如果12x x ≠且12()()f x f x =,证明122x x +>
答案:
一、选择题:CADDC DCDCA CB
二、填空题:15、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,4π 16、43 17. 47π 18. -5
三、解答题:
17.(本题满分10分)
解:(Ⅰ)因为
1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f 1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x
1cos 22sin 32-+=x x x
x 2cos 2sin 3+=
)
62sin(2π
+
=x
所以)(x f 的最小正周期为π
(Ⅱ)因为
.326
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以
于是,当
6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即时,)(x f 取得最大值2;
当
)(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1.
18. (本题满分12分)解:(1)因为
,
所以原式==
=
=
(2)由余弦定理得:
所以
所以当且仅当时取得最大值.
}22|{)(≤≤-y y x f 的值域为 ……………4分
(2)∵
.
52
3)4sin(2,523)(=+∴=
πx x f
∴
53)4sin(=+πx ……5分 ∵
2
4
04
4
π
π
π
π
<
+
<∴<
<-
x x ,
∴
54
)4
cos(=
+
π
x ………6分
∴
2524
)4
cos()4
sin(2)4
sin(2)2
2sin(2cos =
+
+
=+
=+
=π
π
π
π
x x x x x …………8分
(3)/()cos sin f x x x =-
∴
005,,4
661212
x x π
π
πππ
+
=
-∴=--
12分
20、答案略
21. (1)设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,则S=xy ,
由题意得40x+2×45y +20xy=3 200,
应用二元均值不等式,得3 200≥2y x 9040∙+20xy,即S+6S ≤160, 而(S +16)(S -10)≤0. ∴S ≤10⇒S ≤100.
因此S 的最大允许值是100米2
.
(2)当⎩⎨
⎧==.
9040,
100y x xy 即x=15米,
即铁栅的长为15米.
22.(本题满分12分) 【解】(Ⅰ)
()()1e x f x x -'=-.令
()()1e 0
x f x x -'=-=,则1x =.
当x 变化时,
()()
,f x f x '的变化情况如下表:
所以
()f x 在区间
(),1-∞内是增函数,在区间()1,+∞内是减函数.
函数
()
f x 在1x =处取得极大值
()
1f .且
()1
1e f =
.
(Ⅱ)因为函数()
y g x =的图象与函数
()
y f x =的图象关于直线1x =对称,
所以()()
2g x f x =-,于是()()2
2e x g x x -=-.
记
()()()F x f x g x =-,则
()()2
e 2e x x F x x x --=+-,
()()()221e 1e x x
F x x --'=--,
当1x >时,220x ->,从而22
e 10x -->,又e 0x ->,所以()0F x '>,
于是函数()
F x 在区间
[)1,+∞上是增函数.
因为
()111e e 0F --=-=,所以,当1x >时,
()()10
F x F >=.因此
()()
f x
g x >.
(Ⅲ)(1) 若()()12110x x --=,由(Ⅰ)及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾;
(2) 若
()()12110x x -->,由(Ⅰ)及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾;
根据(1),(2)可得()()12110x x --<.不妨设121,1x x <>.
由(Ⅱ)可知
()()()2222f x g x f x >=-,所以
()()()()
12222f x f x g x f x =>=-.
因为
21x >,所以221x -<,又11x <,由(Ⅰ),()f x 在区间
(),1-∞内是增函数, 所以 122x x >-,即122x x +>.。