河北省石家庄赵县第六中学高三数学学期第二次月考试题 理

赵县第六中学2013届高三第二次月考数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合
{,}2
3A a =，集合{,,}01B b a =-，且{}1A B ⋂=，则A B ⋃= A ．{,,}013 B ．{,,}124 C ．{,,,}0123 D ．{,,,,}01234
2.设1
sin()43π
θ+=,则sin 2θ= A.79- B.19- C.19 D.7
9
3.
函
数
()sin 2f x x x -的单调减区间为
（ ）
A 、2[,]63k k π
πππ+
+
，k Z ∈ B 、7[,]1212k k ππ
ππ--，k Z ∈
C 、7[2,2]1212k k ππππ--，k Z ∈
D 、5[,]1212
k k ππ
ππ-+，k Z ∈ 4.设函数122,1
()1log ,1
x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩
则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A. []1,2- B. []0,2 C. [1,)+∞ D. [0,)+∞
5. 函数f (x )=)
22
sin(
2sin x a x -+π
的图象关于直线
8π
-
=x 对称，则实数a 的值为( )
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ． 1
6. 设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足:“当()2k k f ≥成立时，总可推出 ()()211+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是
A.若()11<f 成立，则()10010<f 成立
B. 若()93≥f 成立，则当1≥k 时，均有()2k k f ≥成立
C.若()42<f 成立，则()11≥f 成立
D.若()416f ≥成立，则当4≥k 时，均有()2k k f ≥成立 7. 已知△ABC 中A B >，给出下列不等式:
(1)sin sin (2)cos cos (3)sin 2sin 2(4)cos2cos2A B A B A B A B ><><
正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,则
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<< 9. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
A.sin(2)10y x π=-
B.sin(2)5y x π
=-
C.1sin()210y x π=-
D.1sin()220y x π
=-
10.现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的部分
图
象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A.①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D. ③④②①
11. 已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+
在(,)2
π
π上单调递减.则ω的取值范围是
A.15[,]24
B. 13[,]24
C. 3
(0,]4 D.(0,2]
12．方程|sin |
(0)x k k x
=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是
A ．sin cos ϕϕθ=
B ．sin cos ϕϕθ=-
C ．cos sin ϕθθ=
D ．sin sin θθϕ=-
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在题中横线上．
13. 函数211tan )(x x x f -+-=
的定义域为________.
14.如图，由两条曲线224,x y x y -=-=
及直线1-=y 所围成的图形的面积为
15. 已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所示，则ϕ的值为________.
16．如图函数F (x )＝f (x )＋15
x 2
的图象在点P 处的切线方程
是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.
三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=⋅+-。

（1）求()f x 的最小正周期：
（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

18．（12分）在ABC ∆中，角C B 、、A 所对的边分别为c b a 、、，且3
1cosA ＝，（1）求
A C
B 2cos 2
sin 2
++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值。

19. （12分）已知函数
.
cos 21
2cos 2sin )(x
x x x f ++=
(1)求()f x 的定义域和值域； (2)若
x x f x 2cos ,52
3)(),4,4(求且=-
∈π
π的值；
(3)若曲线()f x 在点
00(,())P x f x 0()2
2x π
π
-
<<
处的切线平行直线
y x
=
,求0
x 的值.
20.（12分）已知函数
12)(2
3+++=bx ax x x f 的导数为)('x f ，若函数)('x f y =的
图象关于直线
21
-
=x 对称，且0)1('f =。

（1）求实数b a ,的值； （2）求函数)
(x f 的极值；
21.（12分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？
（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
22.（12分）已知函数()x
f x xe -=，()x R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； 证明：当1x >时，()()f x g x >
（3）如果12x x ≠且12()()f x f x =，证明122x x +>
答案：
一、选择题：CADDC DCDCA CB
二、填空题：15、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,4π 16、43 17. 47π 18. -5
三、解答题：
17.（本题满分10分）
解：（Ⅰ）因为
1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f 1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x
1cos 22sin 32-+=x x x
x 2cos 2sin 3+=
)
62sin(2π
+
=x
所以)(x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）因为
.326
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以
于是，当
6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即时，)(x f 取得最大值2；
当
)(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1.
18. （本题满分12分）解：(1)因为
,
所以原式==
=
=
(2)由余弦定理得:
所以
所以当且仅当时取得最大值.
}22|{)(≤≤-y y x f 的值域为 ……………4分
（2）∵
.
52
3)4sin(2,523)(=+∴=
πx x f
∴
53)4sin(=+πx ……5分 ∵
2
4
04
4
π
π
π
π
<
+
<∴<
<-
x x ，
∴
54
)4
cos(=
+
π
x ………6分
∴
2524
)4
cos()4
sin(2)4
sin(2)2
2sin(2cos =
+
+
=+
=+
=π
π
π
π
x x x x x …………8分
(3)/()cos sin f x x x =-
∴
005,,4
661212
x x π
π
πππ
+
=
-∴=--
12分
20、答案略
21. （1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则S=xy ，
由题意得40x+2×45y ＋20xy=3 200,
应用二元均值不等式，得3 200≥2y x 9040∙+20xy,即S+6S ≤160, 而（S +16）（S -10）≤0. ∴S ≤10⇒S ≤100.
因此S 的最大允许值是100米2
.
（2）当⎩⎨
⎧==.
9040,
100y x xy 即x=15米，
即铁栅的长为15米.
22.（本题满分12分） 【解】（Ⅰ）
()()1e x f x x -'=-．令
()()1e 0
x f x x -'=-=，则1x =．
当x 变化时，
()()
,f x f x '的变化情况如下表：
所以
()f x 在区间
(),1-∞内是增函数，在区间()1,+∞内是减函数．
函数
()
f x 在1x =处取得极大值
()
1f ．且
()1
1e f =
．
（Ⅱ）因为函数()
y g x =的图象与函数
()
y f x =的图象关于直线1x =对称，
所以()()
2g x f x =-，于是()()2
2e x g x x -=-．
记
()()()F x f x g x =-，则
()()2
e 2e x x F x x x --=+-，
()()()221e 1e x x
F x x --'=--，
当1x >时，220x ->，从而22
e 10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，
于是函数()
F x 在区间
[)1,+∞上是增函数．
因为
()111e e 0F --=-=，所以，当1x >时，
()()10
F x F >=．因此
()()
f x
g x >．
（Ⅲ）(1) 若()()12110x x --=，由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；
(2) 若
()()12110x x -->，由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；
根据(1)，(2)可得()()12110x x --<．不妨设121,1x x <>．
由（Ⅱ）可知
()()()2222f x g x f x >=-，所以
()()()()
12222f x f x g x f x =>=-．
因为
21x >，所以221x -<，又11x <，由（Ⅰ），()f x 在区间
(),1-∞内是增函数， 所以 122x x >-，即122x x +>．。