函数的概念和性质(二)课件-2024年普通高中学业水平考试复习

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6.函数的奇偶性与单调性 (1)若 f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b) 上 单 调 递 增 ， 则 f(x) 在 [ － b ， － a] 上 ⑳ ____单__调__递__增_____， 即在 对称 区间 上单 调性
○21 ____一__致__(相__同__)___.
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【解析】 ①由题意可得，f(x)的零点为 0，a，2，3， 又因为 f(x)的零点和为 4， 所以 0＋a＋2＋3＝4，解得 a＝－1. ②证明：因为 g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2) ＝(x2－1)(x2－4)， 所以 g(x)为偶函数.
(2)由 y＝f(x)的图象可知，当 y＝1 时，x＝－1 或 5.
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【变式题】
已知函数 f(x)＝x＋1x. (1)求证 f(x)在[1，＋∞)上单调递增； (2)求 f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
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【解析】 (1)证明：设 1≤x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x11)
－(x2＋x12)＝（x1－x2）x（1x2x1x2－1）.
因为 1≤x1<x2，所以 x1－x2<0，x1x2>1，
所以 x1x2－1>0，
所以（x1－x2）（x1x2－1）<0，即 x1x2
f(x1)<f(x2).
所以 f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
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【解析】 (2)由(1)可知 f(x)在[1，4]上单调递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(1)＝2， 当 x＝4 时，f(x)取得最大值，最大值为 f(4)＝147. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是147，最小值是 2.
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【解析】 当 x>0 时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 对称轴为 x＝1，
则函数 f(x)在[0，1]上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减； 当 x<0 时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，对称 轴为 x＝－1， 则函数 f(x)在(－∞，－1)上单调递增， 在[－1，0)上单调递减， 即函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，[0，1]， 单调递减区间为[－1，0)，(1，＋∞).
√
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1.函数的单调性
前提 条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有 f(x1)①__<__f(x2) 都有 f(x1)②__>__f(x2)
图示
结论 f(x)在区间 D 上单调递增 f(x)在区间 D 上单调递减
特殊 情况
(2) 当 x≥1 时，f(x)单调递增， 当 x<1 时，f(x)单调递减， 所以 f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)， 并且函数 f(x)在(－∞，1)上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增.
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【变式题】
求 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的单调区间.
当函 数 f(x)在它 的定 义
域上单调递增时，我们就
称它是③__增____函数
当函 数 f(x)在它 的定 义
域上单调递减时，我们就
称它是④__增____函数
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如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 D 上 ⑤ 单调递增或单调递减 ，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有⑥ (严格的)单调性 ，区间 D 叫 做 y＝f(x)的单调区间.
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探究点三：求函数的最值(值域)
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【例 3】 已知函数 y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.据 图象写出：
(1)函数 y＝f(x)的最大值； (2)使 f(x)＝1 的 x 值.
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【解析】 (1)根据图象可得函数 y＝f(x)的最大值为 2，此 时 x＝6.
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探究点一： 函数单调性的判断与证明
【例 1】 证明：函数 f(x)＝x2＋1 在(－∞，0)上是减 函数.
【解析】 证明：在 x∈(－∞，0)上任取 x1，x2，设 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21＋1－(x22＋1)＝x21－x22＝(x1＋x2)(x1－ x2). 因为 x1<x2<0，所以 x1＋x2<0，x1－x2<0，因此 f(x1)－ f(x2)>0， 所以 f(x)在区间(－∞，0)上单调递减.
结论
的最大值
f(x)的最小值
几何 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点
意义 ⑩__纵__坐__标___
的⑪__纵__坐__标___
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3.求函数最值的常用方法 (1)图象法：作出 y＝f(x)的图象，观察最 高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数 的最大(小)值. (2)运用已学函数的值域.
【例 2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单 调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)＝－1x； 2x＋1，x≥1，
(2)f(x)＝ 5－x，x<1.
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【解析】 (1)函数 f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0， ＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增.
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2.函数的最大值与最小值
最大值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如
果存在实数 M 满足：∀x∈I，都有
条件
f(x)⑦__≤___M
f(x)⑧__≥___M
∃x0∈I，使得⑨__f_(_x_0)___M__
称 M 是函数 y＝f(x) 称 M 是函数 y＝
(2)若 f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b) 上 为 单 调 递 增 ， 则 f(x) 在 [ － b ， － a] 上
○22 ___单__调__递__减_____，即在对称区间上单调性 ○23 ___相__反____.
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探究点一：函数单调性的判断与证明 探究点二：求函数的单调区间 探究点三：求函数的最值(值域) 探究点四：函数的奇偶性 探究点五：函数的单调性与奇偶性的综合应用
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(3)运用函数的单调性：若 y＝f(x)在区间 [a，b]上单调递增，则 ymax＝⑫__f_(b_)__，ymin ＝⑬___f(_a)__；若 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递 减，则 ymax＝⑭__f(_a_)__，ymin＝⑮__f(_b_)__.
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【变式题】
(1)下列函数是偶函数的是( ) A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2(x∈[0，1]) D.y＝x
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【答案】 A
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【变式题】
(2)已知函数 f(x)＝x(x－a)(x－2)(x－3)的零点之和等于 4.
①求 a 的值； ②令 g(x)＝f(x＋1)，证明：g(x)是偶函数.
因为－1<x1<x2，所以 x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，所 以（x1＋x12）－（xx12＋1）>0，
即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2). 所以 f(x)＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上单调递减.
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探究点二：求函数的单调区间
当 a＝1 时，有 f(a)＋f(－a)＝f(1)＋f(－1)＝－2＋2＝0， 所以④正确.故选 D.
【答案】 D
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谢谢！
【答案】 [－3，－2)∪(2，3]
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【变式题】
已知定义在[－3，3]上的函数 y ＝f(x)的图象如图所示.
下述四个结论：
①函数 y＝f(x)的值域为[－2，2];
②函数 y＝f(x)的单调递减区间为[－1，1]；
③函数 y＝f(x)仅有两个零点；
④存在实数 a 满足 f(a)＋f(－a)＝0.
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探究点四：函数的奇偶性
【例 4】 已知函数 f(x)＝x＋1x(x≠0). (1)求 f(2)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由.
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【解析】 (1)f(2)＝2＋1＝5. 22
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为 f(－x)＝－x＋－1x＝－(x＋1x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数.
那么函数 f(x)是偶函数
设函数 f(x)的定义域为 I，
奇函数
如果∀x∈I，都有－x∈I，
且⑱_f_(－___x_)_＝___－__f_(_x_)___，
关于⑲_原___点__对称
那么函数 f(x)是奇函数
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5.用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b] 上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－ a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解 析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)， 从而解出 f(x).
【变式题】
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利用单调性的定义，证明函数 f(x)＝xx＋＋21在(－1，＋∞) 上单调递减.
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【解析】 证明：设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋ ＋21－xx22＋ ＋21＝（x1＋x12）－（xx12＋1）.
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②
B.②③
C.③④
D.②④
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【解析】 由图象可知函数的最大值大于 2，最小值小于 －2，所以①错误；
由图象可知函数 y＝f(x)的单调递减区间为[－1，1]，所 以②正确；
由图象可知其图象与 x 轴交点的个数为 3，所以函数有 3 个零点，所以③错误；
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探究点五：函数的单调性与奇偶性的综合应用
【例 5】 已知 f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函 数，当 x>0 时，f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的值域是____.
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【解析】 由图象可得，当 x∈(0，2]时，f(x)∈(2，3]， 又因为 f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数， 故当 f(x)∈[－2，0)时，f(x)∈[－3，－2). 故 f(x)的值域是[－3，－2)∪(2，3].
(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的 最大(小)值中最大(小)的那个.
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4.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，
偶函数
如果∀x∈I，都有－x∈I，
且⑯___f_(_－___x_)_＝__f_(_x_)___，
关于⑰__y_轴___对称
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普通高中
学业水平考试
复习指南 数 学
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必修第一册
第4讲 函数的概念和性质 （二）
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核心知识 函数的单调性
评价要求 了解 理解 掌握
√
函数的最大值与最小值
√
函数的奇偶性
√
函数的奇偶性与单调性