新初中数学方程与不等式之无理方程经典测试题及解析(1)

新初中数学方程与不等式之无理方程经典测试题及解析(1)
一、选择题
1．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.
【答案】18
【解析】
【分析】
将原方程变形为，由m为正整数、被开方数非负，可得出
2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．【详解】
原题可得：，
∵m为正整数，
∴，
∴2x-4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018-x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
当x=2010时，m=0，m=0，不符合题意；
当x=2011，m=
，不符合题意；
7
当x=2012m=4，，不符合题意；
当x=2013，m=
，不符合题意；
5
当x=2014时，2m=8，m=4；
当x=2015，，不符合题意；
当x=2016m=12，，不符合题意；
当x=2017时，m=14；
当x=2018时，0=16，不成立．
∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．
故答案为18．
【点睛】
本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．
2．x =-的根是______．
【答案】x=﹣2
【解析】
先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．
解：由题意得：x ＜0，
两边平方得：x+6=x 2，
解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；
故答案为：x=﹣2．
3．1=的解是x=_____．
【答案】4
【解析】
分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解. 详解：两边平方得：x-3=1，
移项得：x=4．
经检验x=4是原方程的根．
故本题答案为：x=4．
点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．
4．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．
【答案】0a =或316a ≥-
【解析】
【分析】
，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +
-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．
【详解】
y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +
-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，
∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043
a +=， 解得：316a =-
，
故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-
， 故答案为：0a =或316
a ≥-
【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.
5．的解是_________
【答案】14x =-或
【解析】
【分析】方程两边平方可得到整式方程，再解之可得.
【详解】方程两边平方可得
x 2-3x=4,
即x 2-3x-4=0,解得x 1=-1,x 2=4
故答案为：14x =-或
【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程. 解题关键点：化无理方程为整式方程.
6．1=的解是 ．
【答案】x =1
【解析】
【分析】
根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.
【详解】
两边平方得2x ﹣1=1，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
故本题答案为：x=1．
7．若等式=成立，则x 的值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.
【详解】
∵=
∴=
∴=
=
两边同时平方得，2x-5=27，
解得，x=16.
经检验，x=16是原方程的根.
故答案为：16.
【点睛】
此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.
8．方程11x -=的根是x =______.
【答案】2．
【解析】
【分析】
方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可.
【详解】
∵11x -=
∴x-1=1
∴x=2，
经检验，x=2是原方程的根，
所以，原方程的根是x=2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟!
9．方程6x x +=的根为 ．
【答案】x=3
【解析】
两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为
10．2693x x x -+-的解是___________。

【答案】x≤3
【解析】
【分析】
由根式的性质可知方程左边必大于零，再根据无理方程左边等于右边，所以可得30x -≥求解即可.
【详解】
因为左边=3x -，右边=3-x,所以30x -≥，所以3x ≤.
【点睛】
本题考查了根式的性质及无理方程的化简求解.
11．0=的根是__________________． 【答案】x=2 【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．
【详解】
∵x+1≥0，x-2≥0，
∴x ≥2．
0=，
∴x+1=0或x-2=0，
∴x 1=-1（舍去），x 2=2．
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．
12．k =有实数根，则k 的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.
【详解】
k =，
∴222x k +=，即222x k =-，
∵x 2≥0，
∴220k -≥，
∴k 或k≤
k =有实数根，
∴k ＞0，
∴k .
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
13．2=的根是__________．
【答案】4．
【解析】
【分析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】
两边平方得到：2x ﹣4=4，解得：x =4，经检验：x =4是原方程的解．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．
14．x =的解为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x 的值，然后验根，解答即可．
【详解】
解：两边平方得：2x +3＝x 2
∴x 2﹣2x ﹣3＝0，
解方程得：x 1＝3，x 2＝﹣1，
检验：当x 1＝3时，方程的左边＝右边，所以x 1＝3为原方程的解，
当x 2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】
此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
15．0=的解是________；
【答案】4x =
【解析】
【分析】
0=得30x -=或40x -=，解出x 的值并检验即可．
【详解】
0=
∴30x -=或40x -=
123,4x x ==
经检验，3x =为原方程的增根，应舍去
所以，原方程的根是4x =．
故答案为：4x =．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．
16．关于x 25x =-是无理方程，则m 的取值范围是_______．
【答案】0m ≠
【解析】
【分析】
根据无理方程的概念可得结果.
【详解】
解：由题意可得：
∵无理方程的根号下含有未知数，
∴m ≠0.
故答案为：m≠0.
【点睛】
本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.
17．-x 的值相等，那么x=__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
两边平方得到2
30()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】
x =-，
两边平方得：230()x x +=-，
即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，
(6)0x -=或(5)0x +=，
解得125,6x x =-= ，
检验：当5x =-5x ==-，
当6x =6x =≠-，
所以x =-5，
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．
18．关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．
【答案】k ＜-1
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．
【详解】
解：若关于x 1k =+无实数根，则10+<k ，
∴k ＜-1,
故答案为：k ＜-1
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．
19．方程(x 0-=的解是_____________________
【答案】4x =
【解析】
【分析】
因为(x 0-=可以得出x−2＝0，x−4＝0且x−4≥0，由此求得原方程的解即可．
【详解】
解：(x 0-=Q
20,40x x ∴-=-=，且40x -≥
解得2,4x x ==且4x ≥
4x ∴=
故答案为4x =
【点睛】
此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
20．方程21x +=___________。

【答案】x=1
【解析】
【分析】
将原式移项合并同类型后得210x -=,再对一元二次方程求解即可.
【详解】
因为该方程变形为210x -=，所以121,1x x ==-，检验知x=1为该方程的实数根.
【点睛】
本题考查了无理方程,利用移项、合并同类项的方法把无理方程转化成一元二次方程，在解题过程中要注意检验.。