2.1.1数列3课件人教新课标B版

(2)数列的一般情势可以写成a1,a2,a3,…,an,….其中an是数列的第n
项,叫做数列的通项,一般情势的数列简记作{an},这里{an}是数列的
简记符号,并不表示一个集合.
2.数列2,3,4,5,6与集合{2,3,4,5,6}有何区分?
提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
四
四、数列的分类
【问题思考】
1.填空:
(1)按项的个数分类
类
别
有穷数列
无穷数列
含
义
项数有限的数列
项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类
类别
递增数列
递减数列
常数列
含
义
从第二项起,每一项大于它的前一项的数列
从第二项起,每一项小于它的前一项的数列
各项都相等的数列
课前篇
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分别为a1=3×1+21=5,a2=3×2+22=10,a3=3×3+23=17,
a4=3×4+24=28,a5=3×5+25=47.
课堂篇
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探究一
探究二
探究三
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思维辨析
当堂检测
反思感悟数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的
关系,只要用序号代替公式中的n,便可以求出相应的各项,实际上相
解:(1)可将数列各项都乘 9,再除以 9,即改写为 , ,
,
,…
9 9
9
9
10 -1
n
分子可以用 10 -1 表示,数列通项公式为 an =
.
9
(2)借用数列 9,99,999,9 999,…的通项公式 10n-1,将各项都除以 9
化为 1,11,111,1 111,…,再乘 5,即可化为 5,55,555,5 555,…,即数列的
当于已知函数的定义域和解析式,求函数值.
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由数列的前n项写出其通项公式
1
1
1
1
,
,,
,…的一个通项公式是(
1×2 2×3 3×4 4×5
【例 3】 (1)数列-
1
A.an =(-1)
(+1)
1
B.an =(-1)n+1
(+1)
1
C.an =(-1)n
断数列{an}的增减性.
1

解:(1)∵f(x)=x- ,f(an)=-2n,
1
∴an- =-2n,即2 +2nan-1=0,

解得 an=-n± 2 + 1,
∵an>0,∴an= 2 + 1-n.
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(2)法一(作差法)
∵an+1-an= ( + 1)2 + 1-(n+1)-( 2 + 1-n)
2.1.1
数列
-1-
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课 标 阐 释
1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.
思 维 脉 络
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一
二
三
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一、数列的有关概念
【问题思考】
1.填空:
(1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列
中的每一个数都叫做这个数列的项.
(-1)

(-1)
D.an =
(+2)
n
(2)写出下列各数列的一个通项公式.
1 9 25
①2,2, 2,8, 2 ,…;
②1,-3,5,-7,9,…;
③a,b,a,b,a,b,…;
④9,99,999,9 999,….
)
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(1)答案:A
5
9
通项公式为 an = (10n -1).
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判断数列的单调性
1
【例4】已知函数f(x)= x- .数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的增减性.
思路分析:先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判

解:(1)在通项公式 an =2+1 中,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前
1
1
2
2
3
3
4
5 项分别为 a1 =2×1+1 = 3,a2 =2×2+1 = 5 ,a3 =2× 3+1 = 7,a4 =2×4+1 =
4
5
,a
5=
9
2×5+1
=
5
.
11
(2)在通项公式an=3n+2n中,依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项
的数列;而{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集
合.
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二、数列的通项公式
【问题思考】
1.填空:
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an=f(n)
来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
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2.做一做:先填空,再写出数列的一个通项公式.
= ( + 1)2 + 1 − 2 + 1-1
2
2
[ (+1) +1- 2 +1][ (+1) +1+ 2 +1]
=
=
2
(+1) +1+ 2 +1
(+1)+
2
-1
-1,
(+1) +1+ 2 +1
又 ( + 1)2 + 1>n+1, 2 + 1>n,
∴
(+1)+
2
<1.
(+1) +1+ 2 +1
∴an+1-an<0,即 an+1<an.∴数列{an}是递减数列.
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法二(作商法)
+1
∵an>0,∴

=
2 +1+
2
2
(+1) +1-(+1)
=
2+1-
<1.
(+1) +1+(+1)
∴an+1<an.∴数列{an}是递减数列.
an =(-1)n+1 ·(2n-1).
③这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅,平衡位
+
-
+
n
n+1
n+1 -
置: 2 ,振幅: 2 ,用(-1) 或(-1) 去调节,则 an = 2 +(-1)
.
2
④各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式
(3)对于符号交替出现的情况,可先视察其绝对值,再以(-1)k处理符
号;
(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的情势,或
者利用周期函数,如三角函数等.
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2.常见数列的通项公式如下:
(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=(-1)n;
(2)数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n;
a n +1
(2)解: ①数列的项,有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一
1 4 9 16 25
2
成分数再观察:2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,所以它的一个通项公式为 an = 2 .
②数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数;考虑
(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为
(7)数列 , , , ,…的通项公式是 an = ;
(8)数列
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(1)将本例3(2)④中的数列变为1,11,111,1 111,…结果如何?
(2)变为5,55,555,5 555,…结果又如何?
9 99 999 9 999
)
A.数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列
B.同一个数在数列中可能重复出现
C.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数
D.数列的通项公式是唯一的
解析:根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序
不同,那么它们就是不同的数列,因此,A是错误的;数列的通项公式
的定义域是正整数集N+或它的有限子集,因此,C是错误的;数列1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,
2

为 an = ;
1
1
(3)先将原数列变形为 1+2,2+4,(
数列的通项公式为
1
an =n+ .
2
1
1
25
),4+16 ,……,应填 3+8,即 8 ,
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三、数列与函数的关系
【问题思考】
1.填空:
在数列{an}中,对于每一个正整数n(或n∈{1,2,…,k}),都有一个数
还可以写成分段函数的情势,因此,D是错误的;而数列中的数可以
重复出现,故选B.
答案:B
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反思感悟运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤
是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的
顺序排列.注意:按一定顺序不表示该数列具有规律性,即数列中的
一
二
三
四
2.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出
一个这样的数列的通项公式.
1
2
提示:存在这样的数列,如 an=- ,an=5- 等均满足条件.
3.做一做:已知下列数列:
①-1,0,1,2,3,4,…,n.
②1,-1,1,-1,….
1
③10 ,
1
1
10
10
2 ,
3 ,….
④6,6,6,6,6.
(1)1, 2,(
),2, 5,(
), 7,…;
(2)2,1,(
3 9
1
), 2,…;
65
(3)2 , 4,(
), 16 ,….
解:(1)因为 1= 1,2= 4,所以数列缺少部分为 3, 6.数列的通
项公式 an = ;
2
2 1
2
2
(2)因为 2=1,1=2 , 2 = 4,所以数列缺少部分为3,数列的通项公式
(2)数列中,自变量的取值更有规律性,必须从小到大取正整数.
3.做一做:已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则(
)
A.3不是数列{an}中的项
B.3只是数列{an}中的第2项
C.3只是数列{an}中的第6项
D.3是数列{an}中的第2项或第6项
解析:令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或n=6.
)
(4)数列可以用一群孤立的点表示. (
)
(5)数列可以看成一种特殊的函数. (
)
+1
>1 ,那么该数列为递增数列. (
(6)如果一数列满足
)

答案:(1)× (2)× (3)
(4)
(5)
(6)×
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数列的概念
【例1】 下列叙述正确的是(
其中递增数列有
,递减数列有
有
,有穷数列有
,无穷数列有
填序号就可以).
答案:① ③ ④ ①④ ②③
,常数列
(只
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打
“×”.
(1)数列是按一定顺序排列的有规律的一列数. (
)
(2)数列中的项不可能相等. (
)
(3)数列是可以用图象表示的. (
每一项可以是有规律的,也可以是无规律的.
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根据通项公式求项
【例2】 根据下面数列的通项公式,写出它们的前5项.

(1)an=2+1;(2)an=3n+2n.
思路分析:已知数列的通项公式,依次用1,2,3,…代替公式中的n,
便可以求出数列的各项.
为 10n ,可得原数列的通项公式为 an =10n -1.
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反思感悟1.根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变
化规律与对应序号间的函数关系式;
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反思感悟数列增减性的判定方法
1.作差比较法
(1)若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
(2)若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
(3)若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
2.作商比较法
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2.数列{an}与函数f(n)=an(n∈N+)的区分如何?
提示:(1)数列{an}与函数f(n)=an(n∈N+)是不同的,{an}中的元素
具有有序性,如将a1,a2,a3,…,an排成a3,a1,a2,…,an,则为不同的数列,而
对于函数f(n)=an(n∈N+)来说却是一样的.