高三数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题 3

2021届高三数学上学期期末考试试卷理〔含解析〕
考前须知：
l．答第I卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．
第I卷(选择题)
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面。

只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.集合为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合，即可得到..
【详解】
应选D.
【点睛】此题考察交集的求法，是根底题.
2.在等差数列中，假设的值是( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
由直接利用等差数列的性质求解．
【详解】在等差数列{a n}中，由a1+a2+a3=3，
得3a2=3，即a2=1，
又a5=9，
∴a8=2a5-a2=18-1=17．
应选：C．
【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察等差数列的性质，是根底题．
3.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先把抛物线方程整理成HY方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
【详解】整理抛物线方程得，∴，∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是，
应选：A．
【点睛】此题主要考察抛物线的简单性质．应注意先把抛物线方程整理成HY方程，属根底题．
4.设是不同的直线，是不同的平面，以下命题中正确的选项是( )
A. 假设
B. 假设
C. 假设
D. 假设
【答案】C
【解析】
【分析】
利用线面平行、垂直的断定定理和性质定理及面面垂直的断定定理即可判断出答案．
【详解】选项C正确，下面给出证明．
证明：如下图：
∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．
∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．
∵n⊥β，∴l⊥β，
∵l⊂α，∴α⊥β．
故C正确．
应选：C．
【点睛】正确理解和掌握线面平行、垂直的断定定理和性质定理及面面垂直的断定定理是解题的关键．
5.圆的公切线的条数为 ( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．
【详解】
∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．
应选：A．
【点睛】此题考察了两圆的公切线的条数，属中档题．
6.向量的夹角为，且，那么( )
A. B. 2 C. D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，然后由计算即可。

【详解】由题意知，，，，
那么，
所以.
故答案为C.
【点睛】此题考察了向量的数量积，向量的模，考察了学生的计算才能，属于根底题。

7.以下说法正确的选项是( )
A. 假设命题均为真命题，那么命题为真命题
B. “假设，那么〞的否命题是“假设〞
C. 在，“〞是“〞的充要条件
D. 命题“〞的否认为“〞
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否认，充要条件判断选项的正误即可．【详解】对于A：假设命题p，￢q均为真命题，那么q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；
对于B：“假设，那么〞的否命题是“假设，那么〞，所以B不正确；对于C：在△ABC中，“〞⇔“A+B=〞⇔“A=-B〞⇒sinA=cosB，
反之sinA=cosB，A+B=，或者A=+B，“C=〞不一定成立，
∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；
对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否认为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D 正确．
应选：D．
【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否认等知识，是根本知识的考察．
8.为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．
【详解】把函数
的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得
的图象；
再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变，可得函数的图象，
应选：D．
【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．
9.定义在R上的奇函数满足，那么
( )
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f〔x〕是R上的奇函数，并且f〔x+1〕=f〔1-x〕，便可得出f〔x+4〕=f〔x〕，即f〔x〕的周期为4，而由x∈[0，1]时，f〔x〕=2x-m及f〔x〕是奇函数，即可得出f〔0〕=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f〔2021〕=f〔-1〕=-f〔1〕=-1．
【详解】∵f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x+1〕=f〔1-x〕；
∴f〔x+2〕=f〔-x〕=-f〔x〕；
∴f〔x+4〕=f〔x〕；
∴f〔x〕的周期为4；
∵x∈[0，1]时，f〔x〕=2x-m；
∴f〔0〕=1-m=0；
∴m=1；
∴x∈[0，1]时，f〔x〕=2x-1；
∴f〔2021〕=f〔-1+505×4〕=f〔-1〕=-f〔1〕=-1．
应选：B．
【点睛】此题考察奇函数的定义，周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．
10.函数的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除A，B，
∵时，为增函数，所以，即,又，所以.
应选C．
11.函数的图象恒过定点A，假设点A在直线上，
其中的最小值为〔〕
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由y=log a〔x+3〕-1经过的定点为〔-2，-1〕．可得2m+n=4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0．再利用“乘1法〞和根本不等式的性质即可得出．
【详解】由y=log a〔x+3〕-1经过的定点为〔-2，-1〕．
于是-2m-n+4=0，得2m+n=4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0．由2m+n=4可得
那么
当且仅当m=1，n=2时等号成立，即的最小值为。

故応B.
【点睛】此题考察了函数图象过定点、根本不等式，考察了计算才能，属于根底题．
12.，假设函数有且只有一个零点，那么实数〔〕
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
将方程整理得，设，那么由题意，直线是函数的一条切线，不妨设切点为，那么有：
，解之得：，，,选B.
点睛：
对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
第二卷(非选择题)
二、填空题．
13.实数满足约束条件那么的最大值为___．
【答案】1
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，进展求最值即可．
【详解】由z=x-2y得
作出不等式组对应的平面区域如图〔阴影局部〕：
平移直线，的截距最小，
此时z最大，
由，得A〔1，0〕．
代入目的函数z=x-2y，
得z=1-2×0=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考察线性规划的根本应用，利用目的函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的根本方法．
14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的外表积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先复原几何体，然后计算外表积．
【详解】由三视图得到几何体如图：是正方体的一局部，四棱锥
P-ABCD，
所以几何体的外表积为
故答案为：．
【点睛】此题考察了由几何体的三视图求几何体的外表积；关键是正确复原几何体，计算相关的数据求外表积．
与其在点(0，1)处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭图形的面积。

【详解】的导数为，在点(0，1)处的切线斜率，那么切线方程为，
那么封闭图形的面积为.
故答案为.
【点睛】此题主要考察导数的几何意义及积分的几何意义，
属于根底题。

16.双曲线的右顶点为A，以A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的渐近线交于M，N两点．假设(O为坐标原点)，那么双曲线C的离心率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用条件，转化求解A到渐近线的间隔，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】双曲线的右顶点为A〔a，0〕，
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
那么点A到渐近线bx+ay=0的间隔为
∵，，
即
即
故答案为：．
三、解答题．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17.函数．
(I)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)当时，求函数的值域．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕得到，由此可求函数的最小正周期；
〔Ⅱ〕∵，∴，由正弦函数的性质可求函数的值域.
【详解】〔Ⅰ〕由题意
∴函数的最小正周期为.
〔Ⅱ〕∵，∴，
∴，
∴.
∴函数的值域为.
【点睛】此题考察了三角函数的化简以及区间的值域求法，需要纯熟倍角公式以及正弦函数的有界性求值域．
18.数列的前项和为，向量，且和一共线．
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(I)；(Ⅱ)见证明.
【解析】
【分析】
(I)由和一共线，可以得到，进而可以得到，即可求出数列的通项公式；(Ⅱ)结合(I)的结果，可知，利用裂项相消法可以求出，即可证明结论。

【详解】(I)和一共线，
当时，，得，
当时，，即
数列是公比为2，首项为2的等比数列.
(Ⅱ)由(I)知
，
所以
所以
【点睛】此题考察了一共线向量的性质，等比数列的求和公式，裂项相消法求和，属于中档题。

19.在中，内角的对边分别为，假设，.
〔Ⅰ〕求；
(Ⅱ)假设为边的中线，且，求的面积．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据题意，由正弦定理得，，进而得到
即，由，∴.由得到，最后由正弦定理可得的值；
〔Ⅱ〕设.
在中，由余弦定理得，解得.得到三边长，结合〔Ⅰ〕可求的面积．
【详解】〔Ⅰ〕由正弦定理得，，
又，∴，即，
又，∴.
∵，∴.
∴.
由正弦定理得
.
〔Ⅱ〕设.
在中，由余弦定理得
即
解得.
∴.
∴的面积.
【点睛】此题考察了正弦定理，余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，属于中档题．20.如图1，在平行四边形中，，，，以对角线为折痕把
折起，使点到图2所示点的位置，使得.
〔Ⅰ〕求证:平面平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕在图1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，图2中，在△PAD中，求解三角形可得AD⊥PD，结合PD⊥BD，得到PD⊥平面ABD，进一步得到PD⊥AB，
又AB⊥BD，可得AB⊥平面PBD，由面面垂直的断定可得平面PAB⊥平面PBD；
〔Ⅱ〕以D为坐标原点，分别以DB，DP所在直线为y，z轴，过点D在平面ABD内平行于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值．
【详解】〔Ⅰ〕图1中，，
由余弦定理得，
∴，∴，
即，
同理.
图2中，在中，，
∴，∴，即
又，∴平面.
平面，∴，
又.∴平面，平面，
∴平面平面.
(Ⅱ)如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，
过点在平面内平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.
那么，
设平面的法向量为
由得令，得平面的一个法向量为
同理可得平面的一个法向量
∴.
又二面角的平面角为锐角，
所以，二面角的余弦值为.
【点睛】此题考察平面与平面垂直的断定，考察空间想象
才能与思维才能，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
21.椭圆的离心率为，且过点．
(I)求椭圆C的方程；
(11)假设A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线AB的斜率为定值．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由由题意可得，解得a2=6，b2=3，那么椭圆方程可求；
〔Ⅱ〕设直线PA的方程为y+1=k〔x-2〕，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．
【详解】〔Ⅰ〕由题意得
解得，所以，椭圆的方程是.
(Ⅱ)设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设，
直线的方程为，即
联立方程组
消去得，
因为为直线与椭圆的交点，
所以，即
把换为得，，所以，
所以，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值.
【点睛】此题考察椭圆HY方程的求法，考察了直线与椭圆位置关系的应用，考察计算才能，
属中档题．
22.函数.
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)假设，记函数是函数的两个极值点，且
的最小值．
【答案】〔Ⅰ〕当，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔Ⅱ〕求出g〔x1〕-g〔x2〕的解析式，结合函数的单调性以及二次函数的性质求出其最小值即可．
【详解】〔Ⅰ〕的定义域为，
①时，，∴在上单调递增.
②时，由得，∴在上单调递增
由得，∴在上单调递减
综上所述:①当，的单调递增区间为；
②时，的单调递增区间为，单调递减区间为
〔Ⅱ〕
，
∵是函数的两个极值点，
∴是方程的两根
由韦达定理可知，
∵，∴
又，
且在上单调递减，
可知，所以
设
所以，，所以单调递减.
故
所以的最小值为.
【点睛】此题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

创作；朱本晓
2022年元月元日
不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

创作；朱本晓
2022年元月元日。