【优化方案】高中数学 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 理 新人教A版选修2-1

1 → → 1 所以OE· BF＝ (a＋b)·2c－ b 2 1 1 1 1 2 1 ＝ a· c＋ b· c－ a· b－ b ＝－ ， 4 4 2 2 2 → → OE· BF 2 → → 所以 cos〈OE，BF〉＝ ＝－ ， 3 → → |OE||BF | 因为异面直线所成角的范围是(0,90° ]， 2 所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 . 3
题型二 例2
用数量积解决夹角问题
已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F
分别为AB，OC的中点， (1)求异面直线OE与BF所成角的余弦值； (2)求证OA⊥BC.
→ → → 【解】 (1)设OA＝ a，OB＝b，OC＝ c， 且 |a|＝ |b|＝ |c|＝1， π 易知∠ AOB＝∠ BOC＝∠ AOC＝ ， 3 1 则 a· b＝ b· c＝ c· a＝ . 2 1 → 1 → → 因为OE＝ (OA＋OB)＝ (a＋ b)， 2 2 → → → 1→ → 1 BF＝OF－ OB＝ OC－OB＝ c－ b， 2 2 3 → → |OE|＝ |BF|＝ ， 2
想一想 2.数量积运算满足结合律吗？ 提示：不满足． 3．若a· b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：不对．
做一做
π 1.若向量 a、 b 满足|a|＝1， |b|＝2 且 a 与 b 的夹角为 ， 则 a· b 3 ＝__________.
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ， a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
解：在空间四边形 ABCD 中， → → → → (1)∵ |AB|＝ |AC|＝ a， 〈AB，AC〉＝60° ， 1 2 → → ∴AB· AC＝a· acos 60° ＝ a. 2 → → → → (2)∵ |AD |＝ |BD |＝ a， 〈AD ，BD 〉＝60° ， 1 2 → → 2 ∴AD · BD ＝a cos 60° ＝ a. 2
想一想 1.〈a ， b〉与〈b ， a〉相等吗？〈a ， b〉与〈a ，－ b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 叫做a，b的 已知两个非零向量a，b，则__________________ 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 ． 即 a· b＝_________________
→ → → 【解】 如图所示，设AB＝ a，AD ＝ b，AA1 ＝ c，则 |a|＝ |c| ＝ 2， |b|＝4，a· b＝ b· c＝ c· a＝ 0. 1 → → → → → (1)BC· ED1＝ BC· ( EA1 ＋A1D1)＝b·2 c－ a＋b ＝ |b|2＝42＝ 16. → → → → → → (2)BF· AB1 ＝ (BA1 ＋ A1F)· (AB＋ AA1 ) 1 ＝ c－ a＋2b · ( a ＋ c) ＝ |c|2－ |a|2＝ 22－ 22＝0.
(2)运算律： λ(a· b) ； ①(λa)· b＝_______ b· a ； ②交换律：a· b＝______ ③分配律：a· (b＋c)＝_____________. a· b＋a· c
(3)数量积的性质：
a· b＝0 ，零 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_Fra bibliotek_______
向量与任何向量的乘积为零． 两个 |a|· |b| ； (2)若a与b同向，则a· b＝_________ 向量 －|a|· |b| 若反向，则a· b＝__________； |a|2 数量 a· a 特别地：a· a＝________或|a|＝_______. 积的 a· b |a||b| 性质 (3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_________. (4)|a· b|≤|a|· |b|.
→ 1 → → → (3)∵ |GF|＝ a， |AC|＝a，又GF∥AC， 2 → → ∴〈GF，AC〉＝180° . 1 2 → → 1 2 ∴GF· AC＝ a cos 180° ＝－ a . 2 2 → 1 → (4)∵ |EF|＝ a， |BC|＝a， EF∥ BD， 2 → → → → ∴〈EF，BC〉＝〈BD ，BC〉＝ 60° ， 1 2 → → 1 2 ∴EF· BC＝ a cos 60° ＝ a. 2 4
【名师点评】
在几何体中求空间向量数量积的步骤：
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的 向量的数量积． (3)代入a· b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
跟踪训练
1.如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都 等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列 向量的数量积． → → → → (1)AB· AC； (2)AD · BD ； → → → → (3)GF· AC； (4)EF· BC.
答案：135°
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝ AA1＝ 2， AD＝ 4， E 为侧面 AA1B1B 的中心， F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· ED1； → → (2)BF· AB1 .
第三章
空间向量与立体几何
3．1.3
空间向量的数量积运算
学习导航
学习目标
重点难点 重点：空间向量数量积的计算及应用． 难点：将立体几何问题转化为向量运算问题．
新知初探思维启动
1．空间向量的夹角 → (1)定义： 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA → a，b〉 ． ＝ a， OB＝ b， 则∠ ______ b 的夹角， 记作〈 ________ AOB叫做向量 a， (2)范围：0≤〈 a，b〉≤ π. π (3)向量的垂直：如果〈 a， b〉＝ ____ 2 ，那么向量 a、 b 互相 a⊥b 垂直，记作 _______.