简谐振动电偶极子辐射场分析(最终报告)

研究简谐振动的电偶极子电场

【摘 要】本文首先对振动性偶极子电场的物理模型进行简要的分析并推导出其电场线方程，然后利用数学软件Matlab 对隐函数直接作图的功能作出其电场线的演化进程图像，并用Matlab 动画模拟其电场线辐射过程，最后结合图像和动画对了振动性偶极子电场进行具体的分析，得出结论。特别是，文中清楚地模拟了部分不闭合电场线“分裂”出闭合电场线的过程，这在一般论文和教材中较为少见。

【关键字】振动性偶极子(振荡电偶极子 偶极振子)；Matlab ；作图；动画；感应电场；库仑电场

1． 引言

振动性偶极子是电磁波辐射理论的基础，对其电场辐射情况的研究具有重要的意义。但由于振动性偶极子电场的概念抽象，理论计算过程又十分复杂，推导和掌握需要较深的数学基础，而图形绘制也要考虑诸多因素，极其繁琐，致使这方面的研究较为困难。使用Matlab 则可以轻松地应对这些问题，它能够针对振动性偶极子电场的各个参量变化时的特点快速地绘制出其电场线图像。在图形的帮助下，就很容易对其电场进行简明而清楚的分析。

2． 物理模型

2．1振动性偶极子的电场

设振动性偶极子的电矩为

0cos x P e P t ω=

采用球坐标可得到在任意时刻t ，空间任意处r 的辐射电场[4]：

3032

0211cos cos()cos()4()()2r P k E t kr t kr kr kr πθωωπε⎡⎤

=-+-+⎢⎥⎣⎦

30320111sin []cos()cos()4()()2P k E t kr t kr kr kr

kr θπθωωπε⎧⎫=--+-+⎨⎬⎩⎭ （2-1） 0=ϕE

上式中k c

ω

=

。

在kr>>l 的远区，库仑电场比感应电场弱得多，故远区的电场以感应电场为主导。而在 kr<

区与kr ≈l 的过渡区，库仑电场和感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不尽相同，使此区域的电场呈现比较复杂的情况，这是需要进行认真分析的，也是本文的重点。

由（1）式可直接推导出振动性偶极子在在kr<<1的近区的电场为[4]：

3

003

02cos cos 4sin cos 40

r P E t r P E t r

E θϕθωπεθωπε=

=

= （2-2）

直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图示的方法则可以非常清晰明了。而要作图，首先要导出辐射的电场线所应满足的方程。

2．2 振动性偶极子电场的电场线方程

由式(1)导出振动性偶极子电场的电场线方程[2]，根据此方程即画出电场线图。引入

01/22

01

[1]sin cos[arctan()]4()

P k C e t kr kr r kr ϕθωπε=+-+ [2] （2-3） 由式（1）可以验证E C =∇⨯

[2]，即有：

1(s i n )

s i n 1()0

r E C r E rC r r E θϕθθθ∂

=

∂∂

=-∂= （2-4） 在θϕϕ=（定值）的平面内，E 线满足的微分方程：

θ

θE E r r

r =d d （2-5） 将式（4）代入式（5），整理得

11()(sin )sin rC dr C d r r θθθθ∂∂

-

=∂∂ 即 (s i n )(s i n )0C r d r C r d r θθθθ

∂∂+=∂∂ [2] （2-6） 上式表明sin Cr θ的全微分为零，即sin Cr θ=恒量。将C 的表达式代入上式中，并将0

4P k

θπε并入

恒量，设为-K 。有

1

2221[1]sin cos[arctan()]0()

t kr kr K kr θω+-++=[2] 又由2T

π

ω=

得 1

22

2

1[1]s i n c o s [2a r c t a n ()]

0()

t kr kr K kr T

θπ+-+

+=

（2-7）

这就是振动性偶极子辐射的电场线所应满足的方程，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线。

3． 用MATLAB 制作振动性偶极子电场线的图像、动画并进行研究

3.1 对方程的处理

首先将（7）式写成直角坐标式[3。kr 写成

2

12

2

])()[(22λ

λπλ

π

z

x

r kr +==

而

2

2

sin z

x x r

x +=

=θ

将以上两式代入式（7）得到

λ

λz

x

,所满足的方程[3]：

1

11

22222222

22

2221[1]cos 22[()()]arctan(2[()()])0(2)[()()]

x t x z x z K x z x z T πππλλλλπλλ

⎧⎫+-++++=⎨⎬+⎩⎭+再作代换：

,

,

x

z

t

x y n T

λ

λ

⇒⇒⇒，得 1112

222222222222

1[cos 22()arctan[2()]0(2)()x n x y x y K x y x z ππππ⎧⎫+-++++=⎨⎬++⎩⎭

[3]（2-8） 现在就可以根据上式编写Matlab 程序进行作图以进行研究了。

3.2 K 值在振动性偶极子电场线方程中的含义

上文中提到，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线，为明了K 值的具体含义，作者简单利用ezplot 命令对（8）式作了图1。在图1中取 n=0，针对不同的K 值作电场线图像，并在图中将取相同K 值的电场线用同一种线条表示。

其中，K=0时作出的图为闭合圆环，但这些圆并非电场线[2]，本文的图中画出这些圆是为了将其作

3-1 n=0时不同K 值所代表的电场线