山西省忻州市第一中学高二数学上学期期末考试试题 理

山西省忻州市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理
一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1．设集合)},1ln(|{-==x y x M }21,2|{≤≤-==t x x N t
，则=⋂N M
A.]4,1(
B.)1,2
1
[
C.]2,1(
D.]4,2[
2．命题p ：0ln ,0>->∀x x x ，则p ⌝是
A.0ln ,0≤-≤∃x x x
B.0ln ,0≤->∃x x x
C.0ln ,0≤-≤∀x x x
D.0ln ,0≤->∀x x x
3. 在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2+log 23，则输出y 的值为 A.
3
8
B.8
C.12
D.24 5. 已知椭圆方程为
)0(12
2
22
>>=+b a b y a x ,21F F 、为其左、右焦 点，B A 、分别
为其左、右顶点，若B F AF 114=，则该椭圆的离心率为 A.
2
1
B.5
3 C.
4
3 D.
5
4 6．定义在
R
上的偶函数)(x f ，当0≥x 时，
)1(log )(22++=x x x f ，若)2()(f t f ≥，则t 的取值范围是
A.]2,(--∞
B.),2[+∞
C.]2,2[-
D.),2[]2,(+∞⋃--∞
7. 已知O 为坐标原点,F 为抛物线x y 24:C 2
=的焦点，P 为C 上一点,若24|PF |=,
则POF ∆的面积为
A.
2 B. 22 C.32 D.4
8. 直线01=--y kx 与圆022
2=-+y y x 有公共点，则实数k 的取值范围是
A.]3,3[-
B.),3[]3,(+∞⋃--∞
C.]33,33[-
D.),3
3[]33,(+∞⋃--∞
9．已知函数12
cos
2sin )(2
-+=x
x x f ，x x g 2sin 2)(=，则下列结论正确的是 A.把函数)(x f 图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐
标不变），
再向右平移
4
π
个单位长度，可得到函数)(x g 的图象 B. 两个函数的图象均关于直线4
π
-=x 对称
C. 两个函数在区间)4
,4(π
π-上都是单调递增函数
D.函数)(x g y =在]2,0[π上只有4个零点
10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2
3
，
1
侧视图
正视图
俯视图
x
x ≥4? 输出y 否 是
结束
输入x x=x+1
y=2x
开始
则正视图中的x 的值是
A.2
B.
2
9
C.3
D.
2
3 11. 已知c b ,,a 是三条不同的直线，命题：“a ∥b 且c b c a ⊥⇒⊥”是真命题，如果把c b ,,a 中的两条直
线换成两个平面，在所得3个命题中，真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
12． 三棱锥ABC -S 中，底面ABC 为等腰直角三角形，2,BC BA == 侧棱32SC SA ==，二面角B -AC -S 的余弦值为
5
5
，则此三棱锥外接球的表面积为 A.π16 B.π12 C.π8 D.π4
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．已知变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥11y y x y x ，则y x z +=2的最大值为___________.
14．设21F F 、是双曲线124
22
=-y x 的左、右焦点，P 是双曲线与椭圆124492
2=+y x 的一个公共点，则2
1F PF ∆的面积为___________. 15. 命题],,0[:π∈∃x p 使
a x x <+cos 2
3
sin 23；命题1),,0(:2+<+∞∈∀x ax x q . 若命题q p ∧为真，则实数a 的取值范围为___________.
16．已知椭圆C 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线x y 82
=的焦点重合；过点
)1,1(M 且斜率为2
1
-
的直线交椭圆C 于B A 、两点，且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为___________.
三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分10分)
等差数列}{a n 中，n S 为其前n 项和，已知,1663=+a a 65S -S 49=. （1）求数列}{a n 的通项公式；
（2）设n n a b =2log ,求数列}b {a n n +的前n 项和n T 的表达式. 18. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：42
2
=+y x 和点)1,1(-P ，过点P 的直线l 交圆O 于B A 、两点
（1）若32||=AB ,求直线l 的方程；
（2）设弦AB 的中点为M ,求点M 的轨迹方程. 19. (本小题满分12分)
从一批苹果中随机抽取100个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） )85,75[ )59,58[
)510,95[
)511,510[
频数（个）
15
30
35
20
（1）在频率分布直方图中，求分组重量在)59,58[对应小矩形的高； （2）利用频率估计这批苹果重量的平均数.
（3）用分层抽样的方法从重量在)59,58[和)511,510[的苹果中抽取5个，从这5个苹果任取2个，求重
量在这两个组中各有1个的概率. 20. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）111C B A -ABC 中，
1CC 2
1
CB CA ==，点D 是棱1AA 的中点，且BD D C 1⊥.
（1）求证：CB CA ⊥；
（2）求直线CD 与平面BD C 1所成角的正弦值. 21. (本小题满分12分)
在AB C ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若2,cos 2
1
==-a C a c b . （1）求
C
c
sin 的值； （2）若,bc c b =+求AB C ∆的面积. 22. (本小题满分12分)
已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线)0(2:2
>=p px y C 的准线分别交于A , B
两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3. （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点)0,1(-D 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点F E 、，若在x 轴上存在一点
)0,(0x P 使得PEF ∆是等边三角形，求0x 的值.
附加题（每小题5分，共15分）
23．已知球O 是棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为___________.
24．过点)4,0(M 的直线l 交抛物线y x 42
=于B A 、两点，若AOM ∆与BOM ∆的面积比为2∶1(O 为坐标原点)，则直线l 的斜率为___________.
25．在数列}{n a 中，*)(cos 2
N n n n a n ∈=π，则=+++10021a a a Λ___________.
忻州一中2014−2015学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准
二.填空题(每小题5分,共20分) 13.3 14.24 15.)2,2
3
(- 16.14822
=+y x 17(10分) 解：(1)设等差数列}{n a 的公差为d
则16721=+d a
又65S -S 49= 即6557=a ∴1361=+d a ② ………3分 由①、②得：2,11==d a ∴12-=n a n ………5分 （2）∵1222
-==n a n n
b ………6分
∴)()(2121n n n b b b a a a T +++++++=ΛΛ )2
22())12(531(1
23
-++++-++++=n n ΛΛ ………8分
3
232)14(32122
2
-+
=-+=+n n n n ………10分
(2)由圆的性质知：OM PM ⊥ ∴0=⋅OM PM ………9分 设),(y x M 则)1,1(-+=y x PM ),(y x OM = y x y x y y x x OM PM -++=-++=⋅22)1()1(
∴点M 的轨迹方程为：02
2
=-++y x y x ………12分 19(12分)解：(1)分组重量在)59,58[对应小矩形的高为03.010
10030=⨯ ………3分
(2)这批苹果重量的平均数962.011035.01003.09015.080=⨯+⨯+⨯+⨯=x ……6分
(3)由题知：重量在)59,58[的苹果中抽取3个，记为c b a ,,；重量在)511,510[的苹果中抽取2个，记为y x , .………8分 从这5个苹果中任取2个，所有的基本事件为：（a,b ）,(a,c), (a,x)，（a,y ）(b,c),(c,x), (c,y),(c,x),(c,y),(x,y)共10个基本事件 . .………10分 其中重量在这两个组中各有1个的基本事件为：(a,x),(a,y),(c,x),(c,y),(c,x),(c,y)共6个.
故所求概率为
5
3
. . .………12分 20(12分)解：(1) ∵四边形11A ACC 为矩形 且D 是棱1AA 的中点
∴CD D C ⊥1 又BD D C 1⊥且D CD BD =⋂∴BCD D C 平面⊥1 ………3分 BCD BC 平面⊂ ∴BC D C ⊥1 又∵1CC BC ⊥且111C D C CC =⋂
∴11D ACC BC 平面⊥ 11D ACC AC 平面⊂ ∴AC BC ⊥ ………6分
(2)由（1）知：1CC CB CA 、、两两相互垂直，以1CC CB CA 、、分别为z y x ,,轴的正半轴建立空间直
角坐标系，
设1CB CA ==， 则C(0,0,0),D(1,0,1),B(0,1,0),C 1(0,0,2) ………8分 设平面BD C 1的法向量为),,(z y x = )1,0,1(),1,1,1(1-=-=C
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1D C m BD m 即⎩⎨⎧=-=+-00z x z y x 取x=1,得)1,2,1(=m ………10分
又)1,0,1(=CD 设直线CD 与平面BD C 1所成角为θ 则3
3
2
62|
|||||sin =
=
⋅=
CD m CD m θ 故直线CD 与平面BD C 1所成角的正弦值为3
3
………12分 21(12分)：解（1）由正弦定理得：C A C B cos sin sin 21
sin =-
………2分 )sin(sin C A B +=Θ ∴ 0sin 2
1
sin cos =-C C A
又0sin ≠C ∴ 21cos =A A 为内角 ∴3
π
=A ………6分
∴33
4sin 2sin sin 3
=
==πA a C c ………7分 (2) 由A bc c b a cos 2222-+= 得：42
2=-+bc c b ………9分 ∴43)(2
=-+bc c b ∵,bc c b =+∴043)(2
=--bc bc ∴4=bc ………11分 ∴AB C ∆的面积 3sin 2
1
==
A bc S ………12分
（2）由题意知：直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为：)1(+=x k y
则⎩⎨⎧=+=x
y x k y 4)1(2消去x 得：0442
=+-k y ky
016162>-=∆k 得：12
<k
又2
22212
2121144)(11||k
k k y y y y k EF -+=-++= 点P 到EF 的距离||1
21
|1|||1||22020k k k x k k k kx d +=
++=++= 所以2221132k k k -+||122k k +=
得1432
<=k ………11分 ∴311
1220=+=k
x ………12分。