江苏省淮安市金湖中学2020年高三数学理测试题含解析

江苏省淮安市金湖中学2020年高三数学理测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
参考答案：
B
略
2. 已知函数的定义域为，满足且函数为偶函数，
，则实数的大小关系是（）A. B. C. D.
参考答案：
B
略
3. 已知数列，若（），（），则能使成立的的值可能是
（A）14 （B）
15 （C）16 （D）17
参考答案：
C
略
4. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法有
（A）10种（B）20种（C）36种（D）52种
参考答案：
答案：A
解析：由题意可分为两类①1号盒子放1个2号盒子放3个的放法有种
②1号盒子放2个2号盒子放2个的放法有种
由①②可得共有10种放法。

【高考考点】分步分类计数原理简单的组合
【易错点】：分类不正确
【备考提示】：读懂题意正确分类是解决此类题的关键
5. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
参考答案：
C
略
6. 已知集合，集合，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
7. 已知，则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B7
【答案解析】A ，则b>a>1,由得0<c<1,所以b>a>c,
所以，故选A.
【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。

8. 已知,=( )
A. B.0 C.1
D.2
参考答案：
D
9. 对于实数a，b，定义一种新运算“”：，其运算原理如程序框图所示，则
（）
A．26 B．32 C．40 D．46
参考答案：
C
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是
:(A) 4 (B)
(C) (D) 1参考答案：
D
根据程序框图可计算得
，故选D
【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。

此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。

此题中数值的周期为4.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．
参考答案：
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】设z=a+bi，得到=a﹣bi，根据系数相等求出a，b的值，从而求出|z|即可．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，
由z+2=3+2i，得3a﹣bi=3+2i，
∴a=1，b=﹣2，
∴|z|==，
故答案为：
【点评】本题考查了复数求模问题，考查共轭复数，是一道基础题．
12. 二项式的展开式中，x2项的系数为．
参考答案：
60
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意，可得的通项为T r+1=C6r?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣1）r C6r?2r?
（x）6﹣2r，令6﹣2r=2，可得r=2，将r=2代入通项可得T3=60x2，即可得答案．
【解答】解：根据二项式定理，的通项为T r+1=C6r?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣1）
r?2r?（x）6﹣2r，
r C
6
当6﹣2r=2时，即r=2时，可得T3=60x2，
即x2项的系数为60，
故答案为60．
13. 等差数列中，前项和为,，则的值为________.参考答案：
2014
略
14. 化简：
参考答案：
-5
15. 定义在R上的函数满足，，且
时，则____________.
参考答案：
-1
16. 已知向量，满足-=(0，5)，=(1，2)，则向量在向量方向上的投影
为．
参考答案：
17. 已知点是双曲线 (,)的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，
求证:.
参考答案：
证法1：（分析法）
要证
只需证明
即证
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数
∴
∴
∴ 得证．
证法2：（综合法）
∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等．
∴
三式相加得
∴
即．
略
19. .已知{a n}是公差不为零的等差数列，满足a3=7，且a2、a4、a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足，求数列的前n项和S n.
参考答案：
解：（Ⅰ）设数列的公差为，且由题意得，
即，解得，
所以数列的通项公式.
（Ⅱ）由（1）得
，
.
20. 已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝．
(1)求a、b、c的值；
(2)试讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
参考答案：
(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.
即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.
由f(1)＝，f(2)＝，
得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．
∴a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，
∴f′(x)＝2－＝．
当x∈(0，)时，f′(x)<0.
∴函数f(x)在(0，)上为减函数．
当x>时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(，＋∞)上为增函数．
(3)由(2)知x＝是函数的最小值点，
即函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝2.
21. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，
为等边三角形，且其面积为，A为椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左、右顶点），且满足，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．
参考答案：
解：（1）由已知所以
所以，所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
联立得，
∴，，
又，
∵椭圆的右顶点为，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
22. （本题满分14分）已知函数，（，
）．
（Ⅰ）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；
（Ⅱ）当时，若函数有两个零点，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ），所以斜率…………………………2分
又，曲线在点（1，）处的切线方程为…………3分
由……………………4分
由△=可知：
当△>时，即或时，有两个公共点；
当△=时，即或时，有一个公共点；
当△<时,即时，没有公共点……………………7分（Ⅱ）=，
由得
……………………8分
令，则
当，由得 (10)
分
所以，在上单调递减，在上单调递
增
因此，
……………………11分
由，比较可知
所以，当时，函数有两个零点.……………14分。