江苏省淮安市金湖中学2020年高三数学理测试题含解析
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江苏省淮安市金湖中学2020年高三数学理测试题含解
析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,符号表示不超过x的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则的取值范围是()
参考答案:
B
略
2. 已知函数的定义域为,满足且函数为偶函数,
,则实数的大小关系是()A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知数列,若(),(),则能使成立的的值可能是
(A)14 (B)
15 (C)16 (D)17
参考答案:
C
略
4. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法有
(A)10种(B)20种(C)36种(D)52种
参考答案:
答案:A
解析:由题意可分为两类①1号盒子放1个2号盒子放3个的放法有种
②1号盒子放2个2号盒子放2个的放法有种
由①②可得共有10种放法。
【高考考点】分步分类计数原理简单的组合
【易错点】:分类不正确
【备考提示】:读懂题意正确分类是解决此类题的关键
5. 已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ-,kπ+](k∈Z) B.[kπ,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ](k∈Z)
参考答案:
C
略
6. 已知集合,集合,则()
A. B. C.
D.
参考答案:
D
略
7. 已知,则()
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B7
【答案解析】A ,则b>a>1,由得0<c<1,所以b>a>c,
所以,故选A.
【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小,再根据指数函数的单调性求出结果。
8. 已知,=( )
A. B.0 C.1
D.2
参考答案:
D
9. 对于实数a,b,定义一种新运算“”:,其运算原理如程序框图所示,则
()
A.26 B.32 C.40 D.46
参考答案:
C
10. 执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是
:(A) 4 (B)
(C) (D) 1参考答案:
D
根据程序框图可计算得
,故选D
【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力,属于中档题。
此类题目如果数值较少也可直接算出结果,如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。
此题中数值的周期为4.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若复数z满足,其中i为虚数单位,为复数z的共轭复数,则复数z的模为.
参考答案:
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】设z=a+bi,得到=a﹣bi,根据系数相等求出a,b的值,从而求出|z|即可.【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi,
由z+2=3+2i,得3a﹣bi=3+2i,
∴a=1,b=﹣2,
∴|z|==,
故答案为:
【点评】本题考查了复数求模问题,考查共轭复数,是一道基础题.
12. 二项式的展开式中,x2项的系数为.
参考答案:
60
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据题意,可得的通项为T r+1=C6r?(x)6﹣r?(﹣)r=(﹣1)r C6r?2r?
(x)6﹣2r,令6﹣2r=2,可得r=2,将r=2代入通项可得T3=60x2,即可得答案.
【解答】解:根据二项式定理,的通项为T r+1=C6r?(x)6﹣r?(﹣)r=(﹣1)
r?2r?(x)6﹣2r,
r C
6
当6﹣2r=2时,即r=2时,可得T3=60x2,
即x2项的系数为60,
故答案为60.
13. 等差数列中,前项和为,,则的值为________.参考答案:
2014
略
14. 化简:
参考答案:
-5
15. 定义在R上的函数满足,,且
时,则____________.
参考答案:
-1
16. 已知向量,满足-=(0,5),=(1,2),则向量在向量方向上的投影
为.
参考答案:
17. 已知点是双曲线 (,)的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是________.
参考答案:
略
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知a,b,c是全不相等的正实数,
求证:.
参考答案:
证法1:(分析法)
要证
只需证明
即证
而事实上,由a,b,c是全不相等的正实数
∴
∴
∴ 得证.
证法2:(综合法)
∵ a,b,c全不相等
∴ 与,与,与全不相等.
∴
三式相加得
∴
即.
略
19. .已知{a n}是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2、a4、a9成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{b n}满足,求数列的前n项和S n.
参考答案:
解:(Ⅰ)设数列的公差为,且由题意得,
即,解得,
所以数列的通项公式.
(Ⅱ)由(1)得
,
.
20. 已知函数f(x)=ax++c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=,f(2)=.
(1)求a、b、c的值;
(2)试讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)试求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值.
参考答案:
(1)∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0.
即-ax-+c+ax++c=0,∴c=0.
由f(1)=,f(2)=,
得a+b=,2a+=,解得a=2,b=.
∴a=2,b=,c=0.
(2)由(1)知,f(x)=2x+,
∴f′(x)=2-=.
当x∈(0,)时,f′(x)<0.
∴函数f(x)在(0,)上为减函数.
当x>时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(,+∞)上为增函数.
(3)由(2)知x=是函数的最小值点,
即函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=2.
21. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点,
为等边三角形,且其面积为,A为椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:与椭圆C相交于M,N两点(M,N不是左、右顶点),且满足,试问:直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,否则说明理由.
参考答案:
解:(1)由已知所以
所以,所以椭圆的标准方程为.
(2)设,,
联立得,
∴,,
又,
∵椭圆的右顶点为,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
解得,,且均满足,
当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;
当时,的方程为,直线过定点.
所以,直线过定点,定点坐标为.
22. (本题满分14分)已知函数,(,
).
(Ⅰ)判断曲线在点(1,)处的切线与曲线的公共点个数;
(Ⅱ)当时,若函数有两个零点,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ),所以斜率…………………………2分
又,曲线在点(1,)处的切线方程为…………3分
由……………………4分
由△=可知:
当△>时,即或时,有两个公共点;
当△=时,即或时,有一个公共点;
当△<时,即时,没有公共点……………………7分(Ⅱ)=,
由得
……………………8分
令,则
当,由得 (10)
分
所以,在上单调递减,在上单调递
增
因此,
……………………11分
由,比较可知
所以,当时,函数有两个零点.……………14分。