【步步高 高中理科数学 教学资料】4.5 第2课时

第2课时 简单的三角恒等变换
题型一 三角函数式的化简
1．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2
＝ . 答案 4sin α
解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12
(1＋cos α) ＝2sin α(1＋cos α)12
(1＋cos α)＝4sin α. 2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭
⎫π4＋x ＝ . 答案 12
cos 2x 解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭
⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)2
4sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭
⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭
⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12
cos 2x . 3．(2018·聊城模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝
⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310
解析 由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45
，即sin 2θ＝45
.
因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以0<θ<π4
，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35
， 由两角差的正弦公式，可得
sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3
＝45×12－35×32＝4－3310
. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12
－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ . 答案 －31010
解析 由已知可得tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π12＝－2， ∵α为第二象限角，
∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55
， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭
⎫α－π6 ＝－sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4
＝－31010
. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
题型二 三角函数的求值
命题点1 给角求值与给值求值
典例 (1)(2018·太原质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝ .
答案 6
解析 原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α
的值为 ． 答案 －2875 解析 sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α
＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α
＝sin 2α1＋tan α1－tan α
＝sin 2α·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α. 由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4
<2π， 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35
， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45，tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－43
. cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210
， sin 2α＝725
. 所以sin 2α＋2sin 2α1－ tan α
＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. (3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12
解析 ∵α为锐角，∴sin α＝
1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∵α，β∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，
∴cos(α＋β)＝－1114
. cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12
. 命题点2 给值求角
典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝
55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4
答案 C
解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010
， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22
>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭
⎫3π2，2π， ∴α＋β＝7π4
. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β
＝12－171＋12×17
＝13>0， ∴0<α<π2
. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭
⎫132＝34>0，
∴0<2α<π2
， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34×17
＝1. ∵tan β＝－17
<0， ∴π2
<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4
. 引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝
55，cos β＝31010
，则α＋β＝ . 答案 π4
解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010
， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4
. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1
＝ . 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，
∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (2)(2017·昆明模拟)计算：3cos 10°－1sin 170°＝ . 答案 －4 解析 原式＝3sin 170°－cos 10°cos 10°sin 170°＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°＝2sin (10°－30°)12sin 20°＝－4. (3)定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a b c
d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . 答案 π3 解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2
， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314
， 而cos α＝17，∴sin α＝437
， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝437×1314－17×3314＝32
. 又0<β<π2，故β＝π3
. 题型三 三角恒等变换的应用
典例 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．
(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；
(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12
，得 f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭
⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得
f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得
π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2
＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3
＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练 (1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．
(2)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是 ． 答案 (1)1 (2)π
解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x
＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，
又－1≤sin(x －φ)≤1，
所以f (x )的最大值为1.
(2)f (x )＝
22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22
cos 2x － 2 ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4－2， 所以T ＝2π2
＝π.
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (12分)(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭
⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π4上的单调性．
思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数． (2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决． 规范解答 解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭
⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭
⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭
⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3
＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3
＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3.[5分] 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.[6分] (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎡⎦
⎤－5π6，π6，[8分] 由y ＝sin x 的图象可知，当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6
，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4
，－π12时，f (x )单调递减； 当2x －π3∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π4时，f (x )单调递增．[10分] 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4
，－π12上单调递减．[12分]
1．(2018·厦门质检)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭
⎫π3＋2α 等于( ) A ．－78 B ．－14 C.14 D.78
答案 A
解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α
＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α
＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.
2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )
A ．－3
2 B.2
2 C.1
2 D ．1
答案 C
解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°
cos 25°
＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝1
2.
3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x
2(x ∈R )的最大值等于(
) A ．5 B.92 C.5
2 D ．2
答案 B
解析 由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x
2 ＝32sin x ＋2cos x ＋2≤9
4＋4＋2＝9
2，
故选B.
4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，且tan α＝1＋sin β
cos β，则( )
A ．3α－β＝π
2 B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2 D ．2α＋β＝π
2
答案 B
解析 由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π
2－α.
∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，
∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2
－α， ∴2α－β＝π2
. 5．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32
C. 3 D ．22－1
答案 C 解析 原式＝4sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°
cos 40°
＝2sin (120°－40°)－sin 40°
cos 40° ＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40° ＝3cos 40°
cos 40°＝ 3.
6．(2017·豫北名校联考)若函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 在x ＝θ时取得最小值，则cos θ等于(
) A.513 B ．－513 C.1213 D ．－12
13
答案 B
解析 f (x )＝5cos x ＋12sin x
＝13⎝⎛⎭⎫513cos x ＋12
13sin x ＝13sin(x ＋α)，
其中sin α＝513，cos α＝12
13，
由题意知θ＋α＝2k π－π
2(k ∈Z )，
得θ ＝2k π－π
2－α(k ∈Z )，
所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π－π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α
＝－sin α＝－5
13.
7．(2018届东莞外国语学校月考)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35
，则sin 2α＝ . 答案 －725
解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，可得22cos α＋22sin α＝35
， 两边平方得12(1＋2sin αcos α)＝925
， ∴sin 2α＝－725
. 8．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，则α＋β＝ .
答案 －3π4
解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－(3a ＋1)
＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧
tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0， ∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－π2＜α＜0且－π2
＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－3π4
. 9．已知cos 4α－sin 4α＝23
，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156
解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α＝23
，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53
， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156
.
10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝⎛⎭⎫π2
≤x ≤3π4的最小值是 ． 答案 3－1
解析 f (x )＝3sin 23x －⎝
⎛⎭⎫1－cos 23x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6－1，
又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23
π， ∴f (x )min ＝2sin 23
π－1＝3－1. 11．(2018·邯郸模拟)已知tan α＝－13，cos β＝55
，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解 由cos β＝55
，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255
，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23
＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， ∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4
. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .
(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；
(2)若sin α＝35
，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6
＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32
＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12
sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π12＋π4
＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12＋22⎝⎛⎭
⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35
，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭
⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620.
13．(2017·南昌一中月考)已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝ . 答案 －3365
解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，π4－α∈⎝⎛⎭
⎫－π2，0， cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45
， ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝1213，
又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，π4＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝513，
∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝35×513－45×1213＝－3365
. 14．在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．
答案 π4
解析 由已知sin(B ＋C )＝－2cos B cos C ，
∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C ，
∴tan B ＋tan C ＝－2，
又tan B ·tan C ＝1－2，
∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C
＝－1， ∴tan A ＝1，又0<A <π，∴A ＝π4
.
15．(2017·武汉模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sin B ＋C 2
sin ⎝⎛⎭⎫π－A 2＋sin 2⎝⎛⎭⎫π＋A 2－cos 2A 2
，则f (A )的最大值为 ． 答案 2
解析 f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2
＝sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫A －π4， 因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4
. 所以当A －π4＝π2，即A ＝3π4
时，f (A )有最大值 2. 16．(2018·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭
⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣
⎡⎦⎤0，2π3上的值域． 解 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，
∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33
. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36
. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，
∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭
⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6
. ∴－12
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，
∴－2≤2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。