2022年山东省济南市第六十八中学高三数学文测试题含解析

2022年山东省济南市第六十八中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，且抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为
A．4 B．5 C．D．6
参考答案：
D
设抛物线与的准线为，
如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，
分别过点作，垂足为，
过点作交于点，
则，，，
在中，由，可得，
轴，，，
直线方程，由可得
点的坐标：, ，
代入抛物线的方程化简可得：，该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.
2. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 的值等于( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
4. 已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0
，可得
M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，
可得P（﹣c，±），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，
即为=，
化简可得=，即为a=3c，
可得e==．
故选：A．
5. 若直线与函数的图像无公共点，则不等式的解集为（）
A．B．
C. D．
参考答案：
B
6. 已知锐角满足：，，则的大小关系是（）
A、 B、 C、 D、参考答案：
A
略
7. 投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．
解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，
而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选：A．
点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．
8. 现有四个函数：①②③④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．①④③②B．④①②③ C. ①④②③D．③④②①
参考答案：
C
9. 如图，D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，则（）A．B．C．D．
参考答案：
D
10. 已知等于………………………………………………….（）
A．B．3 C．0 D．—3
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S3=8，S6=9，则公比q=．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列前n项和公式直接求解．
【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，且S3=8，S6=9，
∴依题意，==1+q3=，
解得q=．故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
12. 若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是___________．
参考答案：
13. 已知集合，若2∈A，3不属于A，则实数a的取值范围是_______.
参考答案：
略
14. 若函数（,）的部分图像如右
图，则
.
参考答案：
由图象可知，即，所以，即
，所以，因为，所以当时，
，所以
，即。

15. 已知向量，满足
，
，向量在向量方向上的投影为1，则
______.
参考答案：
【分析】 由投影求得
，再由模长公式求解即可
【详解】因为向量在向量方向上投影为1
则
∴|
|
＝2
．
故答案为2
【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，考查模长公式，，注意平面向量的数量积公式的灵活运用．
16. 已知方程有四个根，则实数
的取值范围是 ▲
.
参考答案：
17. 已知向量，满足
，，且对一切实数
，
恒成立，则与的夹角
为
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC 中，若
，
（1）判断△ABC 的形状； （2）求的值。

参考答案：
19. （本小题满分12分）已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程
参考答案：
（Ⅰ）得2分
函数的单调递减区间是；4分（Ⅱ）即
设则6分
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是；7分
（Ⅲ）设切点则即
设，当时是单调递增函数10分
最多只有一个根，又
由得切线方程是
. 12分
20. 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为
P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的值域．
参考答案：
(1)设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，
∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14.
设x<－2，则－x>2.
又f(x)为偶函数，
f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，
即f(x)＝－2x2－12x－
14.
∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为
f(x)＝－2x2－12x－14.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)函数f(x)的值域为(－∞，4．
21. (14分)已知数列满足：，且（）．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．
参考答案：解析：（Ⅰ）由条件，，得
……………………………………2分
∴数列为等差数列．……………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得……………………………………4分∴……………………………………7分∴…………………………………… 8分
（Ⅲ） () ………………………10分
∴第行各数之和
（）……………………12分
∴表中前行所有数的和
. ……………………14分
22. （本小题满分12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，
．又，，直线AM与直线PC所成的角为．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．（4分）（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作
，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．
在中，．在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值为．（12分）
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．（4分）
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．．
……………（5分）
∵，
且，∴，得，∴．……………（7分）
设平面MAC的一个法向量为，则由得得
∴．……………（9分）
平面ABC的一个法向量为．．……………（11分）
显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．（12分）
略。