绝对值不等式

答案 (－1，2)
2．解析 法一 原不等式即为|2x－1|＜|x－2|， ∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1. 法二 原不等式等价于不等式组 ①或②或 ③ 不等式组①无解，由②得＜x＜1，由③得－1＜x≤. 综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 答案 {x|－1＜x＜1} 3．解析 ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成 立． ②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1， ∴2x≤－1，
0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥1＋1＝2.又已知|x|＋|y| ＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2,0≤x≤1且0≤y≤1， 所以0≤x＋y≤2. 答案：[0,2] 13．解析：由题意可知，1和3是方程|x－a|＝1的根，则有解得a＝2. 答 案：2 14．解析：不等式等价于 或 解得≤x<4，或－<x<， 故不等式的解集为. 答案： 15．解析：由题意得－2≤x＋a≤2，－2－x≤a≤2－x，所以(－2 －x)max≤a≤(2－x)min， 因为x∈[1,2]，所以－3≤a≤0. 答案：[－3,0] 16．解析：设f(x)＝|x＋1|－|x－2|，则f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝由2x－1≥1， 解得x≥1，所以解集为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 17．解析：根据题意，不等式|x＋2|＋|x－m|－4≥0恒成立， 所以(|x＋ 2|＋|x－m|－4)min≥0. 又|x＋2|＋|x－m|－4≥|m＋2|－4， 所以|m＋2|－4≥0⇒m≤－6 或m≥2. 答案：(－∞，－6]∪[2，＋∞) 18．解析：∵－1<|x－a|－2<1， ∴1<|x－a|<3，即1<|x－a|且|x－a|<3. 由x－a>1或x－a<－1，得x>a＋1或x<a－1； 由|x－a|<3，得a－3<x<a＋3，而|f(x)|<1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)． ∴a＝1. 答案：1 19．解 (1)法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等 式可化为：
或或 ∴原不等式的解集为. 法二 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 画出f(x)的图象 求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，. 由图象知f(x)＞2的解集为. (2)由(1)的法二知：f(x)min＝－. 20．(1)解 f(x)＝ 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤； 当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}． (2)证明 由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤. 因此N＝， 故M∩N＝. 当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤. 21．解 (1)当a＝－1函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．
设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 ( ) A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c| B．a2＋≥a＋ C．|a－b|＋≥2 D.－＜－ 不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为( ) A．[－5,7] B．[－4,6] C．(－∞,－5]∪[7,＋∞) (－∞,－4]∪[6,＋∞) ()若存在实数x使＋≤3成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－2,1] B．[－2,2] C．[－2,3] D．[－2,4] 对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1.则|x－2y＋1|的最大值
D．
为________． ()若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实 数a的取值范围是________． 一、选择题： 1．()不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为( ) A. B.∪ C．[－3，2] D．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 2．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( ) A．m＞3 B．－3＜m＜3 C．2＜m＜3 D．－3＜m＜2或m＞3 3．下列四个命题中正确的是( ) A．若a，b∈R，则|a|－|b|＜|a＋b| B．若a，b∈R，则|a －b|＜|a|＋|b| C．若实数a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，则ab≤0 D．若实数a，b 满足|a|－|b|＜|a＋b|，则ab＜0 4．如果存在实数x，使sinα＝＋成立，那么实数x的集合是( ) A．{－1，1} B．{x|x＜0或x＝1} C．{x|x＞0或x＝－1} D．{x|x≤－1或x≥1} 5．不等式－≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ( ) A．(－∞,－1]∪[4,＋∞) B．(－∞,－2]∪[5,＋∞) C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 6．()若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为 ( ) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 二、填空题 1．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1(x∈R)的解集是 ________． 2．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范 围是________． 3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围是________． 4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
∴x≤－，∴－2＜x≤－. ③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立． 综上，原不等式的解集为. 答案 4．解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4， 即＜x＜， ∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则 ⇒∴5＜b＜7. 答案 (5，7) 5．解析 由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，∴－ 2≤x－2≤2，∴0≤x≤4. 答案 {x|0≤x≤4} 6．
对任意的x∈R都成立，求k的范围． 8．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a22．设函数f(x)＝|x－1|＋|x －a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 23．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a的取值范围． 24．(2014·吉林长春三调)已知函数f(x)＝＋. (1)求f(x)≥f(4)的解集； (2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立， 求k的取值范围． ＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 答案： 1．解析 |2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.
5．(2014·皖北协作区联考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则 实数a的取值范围是______． 6．(2014·广东广州综合测试一)若不等式|x－a|<1的解集为 {x|1<x<3}，则实数a的值为________． 7．(2014·上海市长宁、嘉定二模)若不等式|x＋a|≤2在x∈[1,2]时恒 成立，则实数a的取值范围是________． 8．设函数f(x)＝|x－a|－2，若不等式|f(x)|<1的解集为x∈(－ 2,0)∪(2,4)，则实数a＝______. 9．()若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a ＝____________． 10．()设a，b为正实数，现有下列命题： ①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若－＝1，则a－b＜1；③若|－| ＝1，则|a－b|＜1； ④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有________．(写出 所有真命题的编号) 三、解答题 1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y ＝f(x)的最小值． 2．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集 为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 3．()已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜. 4．()设不等式<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A. (1)求a的值； (2)求函数f(x)＝＋的最小值． 5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取 值范围． 6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)． (1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围． 7．(2014·吉林长春三调)已知函数f(x)＝＋. (1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)>g(x)
不等式、含有绝对值的不等式
知识点： 1．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号 成立． (2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立． (3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立． (4)≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅 当____________时，等号成立． 2．绝对值不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，那么≤__________，当且仅 当__________时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么≤__________，当且仅 当____________时，等号成立． (3)<a⇔__________，>a⇔____________．
解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点 分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，
即|x＋1|－|x－2|≥－3. 故当k＜－3时，原不等式恒成立． 法二 令y＝|x＋1|－|x－2|， 则y＝要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，只要k＜－3 即可．故k＜－3满足题意． 答案 (－∞，－3) 7．解析 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ ∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 8．解析 法一 设y＝|2x－1|＋|x＋2| ＝ ∴当x＝时，y取最小值3×＋1＝， ∴|2x－1|＋|x＋2|≥≥a2＋a＋2，即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤. 法二 |2x－1|＋|x＋2|＝|x－|＋ ≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小 值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的 取值范围是. 答案 9．解析 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成 立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分 10．解析：∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2， ∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案：2 11．解析：由|x－a|＋|x－1|≥|a－1|， 又因为存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则|a－1|≤3，则－ 2≤a≤4. 答案：－2≤a≤4 12．解析：因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当x(x－1)≤0，即 0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当y(y－1)≤0，即