07函数的基本性质

07函数的基本性质单元测试(A 卷)
班级 姓名 学号
一、选择题
1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y ＝2x ＋1
B.y ＝－2x 3
C.y ＝3x
D.y ＝2x|x| 2.函数f(x)＝x 2
＋2x ＋5(x∈R)的单调递增区间是( )
A.(－∞，1)
B.(－∞，－1)
C.(－1，＋∞)
D.(1，＋∞)
3.函数y ＝1x －1
在[2，3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13 D.－12
4.函数f(x)＝1x
－x ＋x 3的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝－x 对称
5.函数y ＝1－x 2＋91＋|x|
是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
6.已知函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2 013，若f(2 014)＝4 025，则f(－2 014)的值为( )
A.1
B.－4 025
C.－2 013
D.2 014
7.若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x 2＋3x ＋1，则f(x)＝
( )
A.x 2
B.2x 2
C.2x 2＋2
D.x 2＋1
8.若函数f(x)在[－2，2]上是偶函数，且在[0，2)上单调递增，则下列各式成立的是
( )
A.f(－2)>f(0)>f(1)
B.f(－2)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(－2)
D.f(1)>f(－2)>f(0)
9.已知f(x)在实数集上是减函数，若a ＋b≤0，则下列正确的是( )
A.f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
C.f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
10.已知非零函数f(x)与非零函数g(x)有共同的定义域，函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则下列函数为偶函数的是( )
①f 2(x)，②g 2(x)，③f(x)＋g(x)，④f(x)－g(x)，⑤f (x)·|g(x)|.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②⑤
11.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)＝x
B.f(x)＝x 2
C.f(x)＝tan x
D.f(x)＝cos(x ＋1)
12.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)
＝－2x ，则f(1)＋f(4)等于( )
A.32
B.－32
C.－1
D.1
_、________.
14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝_____
_________.
15.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2, 则g(－1)＝________.
16.若函数f(x)＝－x＋a
bx＋1
为区间[－1，1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为_ _______.
三、解答题
17.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值.
18.已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－
2m)≥0，求实数m的取值范围.
19.已知函数f(x)＝2x ＋a x 2＋1
(x∈R)为奇函数. (1)求a 的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性.
20.某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元.
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
21.已知y ＝f(x)是R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x 2＋4x －1.
(1)求y ＝f(x)的解析式；
(2)画出y ＝f(x)的图象，并指出y ＝f(x)的单调区间.
22.已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x 1，x 2都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74的大小.
参考答案与解析
1.解：选D
2.解：选C.因为f(x)＝x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)，故选C.
3.解：选B.作出图象可知y ＝1x －1在[2，3]上是减函数，y min ＝13－1＝12
. 4.解：选C.因为f(－x)＝－1x ＋x －x 3＝－(1x －x ＋x 3)＝－f(x)，所以函数f(x)＝1x
－x ＋x 3
为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故选C.
5.解：选B.先求定义域，由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥01＋|x|≠0⇒－1≤x≤1. ∴定义域为[－1，1]，且定义域关于原点对称.
又f(－x)＝1－（－x ）2＋91＋|－x|
＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
6.解：选A.设F(x)＝f(x)－2 013＝ax 3＋bx ，F(x)为奇函数，
所以F(－2 014)＝－F(2 014)，
即f(－2 014)－2 013＝－[f(2 014)－2 013]，
所以f(－2 014)＝4 026－f(2 014)＝4 026－4 025＝1.
7.解：选D.∵f(x)＋g(x)＝x 2＋3x ＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝x 2－3x ＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x 2－3x ＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x 2＋1.
8.解：选B.∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2).
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)>f(1)>f(0)，
即f(－2)>f(1)>f(0).
9.解：选B.由a ＋b≤0，得a≤－b ，
∵f(x)在R 上是减函数，
∴f (a)≥f(－b).
同理f(b)≥f(－a)，
对称，
且由f 2(－x)＝f 2(x)，知f 2(x)为偶函数；
由g 2(－x)＝[g(－x)]2＝－g 2(x)＝g 2(x)，
知g 2(x)为偶函数；
因为f(－x)＋g(－x)
＝f(x)－g(x)≠f(x)＋g(x)，
所以f(x)＋g(x)不是偶函数；
因为f(－x)－g(－x)＝f(x)－[－g(x)]
＝f(x)＋g(x)≠f(x)－g(x)，
所以f(x)－g(x)不是偶函数；
因为f(－x)·|g (－x)|＝f(x)·|－g(x)|＝f(x)·|g(x)|，
所以f(x)·|g(x)|是偶函数，故选D.
11.解：由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图像关于x ＝a(a≠0)对称，则f(x)为
准偶函数，A ，C 中两函数的图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有x ＝0，而D 中f(x)＝cos(x ＋1)的图像关于x ＝kπ－1(k ∈Z)对称.
答案：D
12.解：由f(x ＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是定义在R 上的偶函数，
故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－12
，所以f(1)＝－12，f(1)＋f(4)＝－32
，选B. 答案：B
13.解：由函数最值的定义，结合函数的图象可知，f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32. 【答案】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32 14.解：∵偶函数的定义域关于原点对称，
∴a －1＝－2a ，a ＝13
. 又f(x)＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，
则b ＝0.因此a ＋b ＝13
. 【答案】13
15.解：因为y ＝f(x)＋x 2是奇函数，
所以f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]＝－2，
所以f(－1)＝－3，g(－1)＝－1.
【答案】－1
16.解：f(x)为[－1，1]上的奇函数，
且在x ＝0处有定义，
则f(x)＝－x bx ＋1
. 又f(－1)＝－f(1)，得－－1－b ＋1＝1b ＋1
， 故b ＝0，于是f(x)＝－x.
因此f(x)＝－x 在[－1，1]上是减函数，故f(x)max ＝1.
【答案】1
17.解：(1)f(x)＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x<1，2x ，x ≥1，
其图象如图所示.
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
18.解：由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m<2，得－12<m<32. 由函数f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数及f(m －1)＋f(1－2m)≥0，
得f(m －1)≥f(2m －1).
∵函数f(x)在(－2，2)上是减函数，
∴m －1≤2m－1，得m≥0.
∴实数m 的取值范围为[0，32
). 19.解：(1)函数f(x)＝2x ＋a x 2＋1
为R 上的奇函数， 则f(0)＝0，所以a ＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2x x 2
＋1，设x 1>x 2>0， 2x 2x
＝2（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21＋1）（x 22＋1）
， 因为x 1>x 2>0，所以x 2－x 1<0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0.
①当1>x 1>x 2>0时，x 1x 2－1<0，
所以2（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21＋1）（x 22＋1）
>0， 即f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)在(0，1)上为单调递增函数；
②当x 1>x 2>1时，x 1x 2－1>0，
所以2（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21＋1）（x 22＋1）
<0， 即f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在(1，＋∞)上为单调递减函数.
综上，函数f(x)在(0，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
20.解：(1)租金增加了900元.
所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆.
(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x)辆，租车公司的月收益为y 元. y ＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－60x ，
其中x∈[0，100]，x ∈N ，
整理得：y ＝－60x 2＋3 100x ＋284 000
＝－60⎝
⎛⎭⎪⎫x －15562
＋972 1253， 当x ＝26时，y max ＝324 040，
此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元.
即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大为324 040元.
21.解：(1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2＋4(－x)－1＝x 2－4x －1，
又y ＝f(x)是R 上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x 2＋4x ＋1，又f(0)＝0，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －1（x<0）0（x ＝0）－x 2＋4x ＋1（x>0）.
(2)先画出y ＝f(x)(x<0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f(x)(x>0)的图象，其图象如图所示.
由图可知，y ＝f(x)的单调递增区间为(－2，0)及(0，2]，单调递减区间为(－∞，－2]及(2，＋∞).
22.解：(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
令x 1＝x 2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0.
令x 1＝x 2＝－1，
得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
即2f(－1)＝0，从而可知f(－1)＝0.
因此f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x).
故f(x)是偶函数.
(2)证明：设0<x 1<x 2，
则f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f(x 1) ＝f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1， ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1>0. ∴f(x 2)>f(x 1).
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52， 由(2)知f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74.
函数的基本性质单元测试(B卷)
班级姓名学号
一、选择题
1.设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有( )
A.f(a)<f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2＋a)<f(a)
D.f(a2＋1)>f(a)
2.下列说法正确的是( )
①若一个图象关于y轴对称，则该图象一定是偶函数的图象；
④不存在既是奇函数又是偶函数的函数.
A.①②
B.②③
C.①③④
D.②
3.已知f(x)是奇函数且对任意正实数x1、x2(x1≠x2)，恒有f(x1)－f(x2)x1－x2>0，则下式中一定正确的是( )
A.f(3)>f(－5)
B.f(－3)<f(－5)
C.f(－5)>f(3)
D.f(－3)>f(－5)
4.若函数y ＝1x2－ax ＋4在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，4)
B.[－4，4]
C.(0，12)
D.(0，4)
5.函数y ＝f(x)的图象关于原点对称，且f(x)在区间[3，7]上是增函数，最小值为5.则函数y ＝f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A.增函数，且最小值为－5
B.增函数，且最大值为－5
C.减函数，且最小值为－5
D.减函数，且最大值为－5
6.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
7.若f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(0，1]
C.(0，1)
D.(0，1]
8.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0成立的x 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－2，2)
9.定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，那么f(x 1)＋f(x 2)的值( )
A.恒小于0
B.恒大于0
C.可能为0
D.可正可负
10.已知函数f(x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f －12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
11.已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A.f(c)<f(b)<f(a)
B.f(c)<f(a)<f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(a)>f(b)
12.对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图像关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )
A.0
B.2
C.3
D.4
二、填空题
13.若函数f(x)是定义在R 上的减函数，当a ＋b>0时，给出下列四个关系：
①f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)； ②f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；
③f(a)＋f(－a)>f(－b)＋f(b)； ④f(a)＋f(－a)<f(b)＋f(－b).
其中不正确的是________.(填序号)
14.若函数f(x)＝(k －2)x2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f(x)的单调增区间是________.
15.已知函数y ＝f(x ＋1)为奇函数，y ＝f(x －1)为偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.
16.函数y ＝－x2＋6x ＋9在区间[a ，b](a<b<3)上有最小值－7，最大值9，则a ＝________，b ＝________.
三、解答题
17.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x ＋1，求f(x)的解析式.
18.设函数1
2)(++=
x x x f ，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
19.已知函数x
a x x x f ++=2)(2，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a ＝12时，求f(x)的最小值；
(3)若a 为正常数，求f(x)的最小值.
20.设函数f(x)在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递增，且有f(2a 2＋a ＋1)<f(－3a 2＋2a
－1)，求实数a 的取值范围.
21.已知函数x
x x f 4)(+=f(x)，x ∈[1，3]. (1)判断f(x)在[1，2]和[2，3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
22.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意x，x/∈R，均有f(x＋x/)＝f(x)＋f(x/)，
对任意x>0，都有f(x)<0，f(3)＝－3.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调减函数；
(2)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z，且mn<0)上的值域.
参考答案与解析
1.解：选D.∵a2＋1>a，
∵f(x)在R 上单调递增，
∴f(a2＋1)>f(a).
2.解：选D.①中该图象不一定是函数图象；②正确；③y ＝f(x)是奇函数，不一定在原点
处有定义，如f(x)＝1x ；④f(x)＝0(x ∈R)既是奇函数又是偶函数.
3.解：选D.由不等式可知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又f(x)是奇函数，故f(x)在(－∞，0)上是增函数，但f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不一定是增函数，故选D ，而不能选A.
4.解：选A.设u ＝x 2－ax ＋4，
则函数u(x)在(a 2，＋∞上是增函数，
y ＝1u 在(a 2，＋∞上是减函数.
∴a 2≤2，即a ≤4.
又u(x)在[2，＋∞)应满足u(x)>0.
因此u(2)>0，即4－2a ＋4>0.
∴a<4.
5.解：选B.利用函数的对称性画出图象即可得到函数y ＝f(x)在区间[－7，－3]上是增
函数，且最大值为－5.
6.解：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图像如图：
选D.
7.解：选D.f(x)在[a ，＋∞)上是减函数，对于g(x)，
只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1，2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，
则a 的取值范围是0<a ≤1. 故选D.
8.解：选D.由函数f(x)的性质可画出其草图，如图所示.
则当f(x)<0时，－2<x<2.
9.解：选A.∵(x 1－2)(x 2－2)<0，
∴不妨设x 1－2>0，x 2－2<0，
∴x 1>2，x 2<2，4－x 2>2.
又∵x 1＋x 2<4，
∴x 1<4－x 2.
∵当x>2时，f(x)单调递增，
∴f(x 1)<f(4－x 2).
对于f(－x)＝－f(x ＋4)，把x 换成－x 2，
则可得f(x 2)＝－f(4－x 2)，
即f(4－x 2)＝－f(x 2)，
∴f(x 1)<－f(x 2)，即f(x 1)＋f(x 2)<0.
10.已知函数f(x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝)2
1
( f ，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
10.解：选A.由于f(x ＋1)是偶函数，
则f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，
则a ＝)2
5()123()123()21
(f f f f =+=+-=-， 又当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数.
又2<25<3，所以f(2)<)2
5(f <f(3). 所以b<a<c.
11.解：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2)<f(20.8)<f(2log 52)，由函数f(x)是偶函数
得f(a)＝f(21.2)，因此f(a)<f(b)<f(c)，选C.
答案：C
12.解：y ＝f(x －1)的图像关于x ＝1对称，则函数y ＝f(x)的图像关于x ＝0对称，
即函数f(x)是偶函数，
令x ＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，
即f(1)＝0，
则f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x ＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.故选B.
答案：B
13.解：∵a ＋b>0，∴a>－b ，b>－a.
又∵f(x)在R 上是减函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a).
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).
【答案】①③④
14.解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝(k －2)•(－x)2＋(k －1)•(－x)＋2＝f(x)＝(k －2)x
2＋(k －1)•x ＋2.
∵对于x 来说可以取任意数，
∴对应项系数相等，即k －1＝1－k ，∴k ＝1.
∴f(x)＝－x 2＋2，
它的对称轴是y 轴，开口向下，单调递增区间是(－∞，0].
【答案】(－∞，0]
15.解：由f(x －1)＝f(－x －1)，
得f(0)＝f(－2)＝2，
由f(x ＋1)＝－f(－x ＋1)，
得f(4)＝－f(－2)＝－2.
【答案】－2
16.解：y ＝－x 2＋6x ＋9＝－(x －3)2＋18，对称轴为x ＝3，开口向下.
∵a<b<3，∴[a ，b]是函数的单调增区间.
故f(a)＝－a 2＋6a ＋9＝－7，f(b)＝－b 2＋6b ＋9＝9.
∴a 2－6a －16＝0，解得a ＝－2或a ＝8(舍去)，b 2－6b ＝0，
解得b ＝0或b ＝6(舍去)，∴a ＝－2，b ＝0.
【答案】－2 0
17.解：设x<0，则－x>0，
得f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x 3－x ＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x).
∴－x 3－x ＋1＝－f(x)，即f(x)＝x 3＋x －1.
∴当x<0时，f(x)＝x 3＋x －1.
又f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(0)＝0.
∴f(x)＝x 3＋x ＋1，x>0，0， x ＝0，x 3＋x －1，x<0.
18.解：函数f(x)的单调区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞).
证明：f(x)在其单调区间上的单调性如下：11112)(++=++=
x x x x f ，函数的定义域为{x ∈R|x ≠－1}.
任取x 1，x 2≠－1，且x 1<x 2，
则f(x 1)－f(x 2)=)
1)(1(2112++-x x x x . ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.
当x 1<x 2<－1时，x 1＋1<0，x 2＋1<0，
∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴)
1)(1(2112++-x x x x >0， 即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)是减函数；
当－1<x 1<x 2时，x 1＋1>0，x 2＋1>0，
∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴)
1)(1(2112++-x x x x >0， 即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，
函数f(x)是减函数.
∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是减函数.
19.解：(1)当a ＝4时，24)(++
=x x x f ，易知f(x)在[1，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数.
故f(x)min ＝f(2)＝6；
(2)当a ＝12时，212)(++=x
x x f . 易知f(x)在[1，＋∞)上为增函数.
故f(x)min ＝f(1)＝72；
(3)函数2)(++=x
a x x f f(x)在(0，a)上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数. 若a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min ＝f(a)＝2a ＋2；
若a ≤1，即0<a ≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，f(x)min ＝f(1)＝a ＋3.
20.解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，则f(x)在(0，＋∞)上递减.
因为2a 2＋a ＋1＝87)41(22+
+=a >0， －3a 2＋2a －132)31(32-
--=a <0， 又因为f(2a 2＋a ＋1)<f(－3a2＋2a －1)＝f(3a 2－2a ＋1)，
所以2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1，
即a 2－3a<0，解得0<a<3.
21.解：(1)设x 1，x 2是区间[1，3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，
则f(x 1)－f(x2)＝x 1－x 2＋2
144x x - ＝(x 1－x 2))41(21x x -
. ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.
当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x 1x 2>1.
∴1－4x 1x 2<0.∴f(x 1)>f(x 2).
∴f(x)在[1，2]上是减函数.
当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9，∴14942
1<<x x . ∴1－4x 1x 2>0，f(x 1)－f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).
∴f(x)在[2，3]上是增函数.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋42＝4，
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋43＝133<f(1)，
∴f(x)的最大值为5.
22.解：(1)证明：对任意x 1，x 2∈R ，
且x 1<x 2，f(x 2)＝f[x 1＋(x 2－x 1)]，
于是由题设条件f(x ＋x /)＝f(x)＋f(x /)，
可知f(x 2)＝f(x 1)＋f(x 2－x 1).
∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0，∴f(x 2－x 1)<0.
∴f(x 2)＝f(x 1)＋f(x 2－x 1)<f(x 1).
故函数y ＝f(x)是R 上的单调减函数.
(2)∵函数y ＝f(x)是R 上的单调减函数，
∴y ＝f(x)在[m ，n]上单调递减，
∴y ＝f(x)在[m ，n]上的最大值为f(m)，最小值为f(n).
f(n)＝f[1＋(n －1)]＝f(1)＋f(n －1)
＝2f(1)＋f(n －2)＝…＝nf(1)，
同理可得f(m)＝mf(1).
∵f(3)＝3f(1)＝－3，
∴f(1)＝－1，
∴f(m)＝－m ，f(n)＝－n.
因此函数y ＝f(x)在[m ，n]上的值域为[－n ，－m].
函数的基本性质单元测试(C 卷)
班级 姓名 学号
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝11－x
＋lg(1＋x)的定义域是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1，1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x
，则f(－1)＝( ) A.2 B.1 C.0 D.－2
3.关于函数y ＝－3x
的单调性的叙述正确的是( ) A.在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B.在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增
C.在[0，＋∞)上递增
D.在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
4.已知f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(－1)＝f(3)，则( )
A.f(－3)<c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52
B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c<f(－3)
C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)<c
D.c<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52<f(－3) 5.设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x
)(x∈R)是偶函数，则实数a 的值为( )
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
6.函数f(x)＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A.f(－4)＞f(1)
B.f(－4)＝f(1)
C.f(－4)＜f(1)
D.不能确定
7.已知奇函数f(x)对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f(x 1)－f(x 2))＞0，则一定正确的是( )
A.f(4)＞f(－6)
B.f(－4)＜f(－6)
C.f(－4)＞f(－6)
D.f(4)＜f(－6)
8.已知函数f(x)＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A.f(x 1)<0，f(x 2)<0
B.f(x 1)<0，f(x 2)>0
C.f(x 1)>0，f(x 2)<0
D.f(x 1)>0，f(x 2)>0
9.定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x∈(－1，0)
时，f(x)＝2x ＋15
，则f(log 220)＝( ) A.1 B.45 C.－1 D.－45
10.设f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(－12)·f(12
)＜0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内( )
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
11.函数y ＝6x
，x ∈[2，6]的值域为________. 12.如果函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，（x>0）f （x ），（x<0）
是奇函数，则f(x)＝________. 13.已知函数f(x)＝4x 2
＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_____ ____________.
14.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1
的值域为________.
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.已知函数f(x)＝－2x ＋m ，其中m 为常数.
(1)求证：函数f(x)在R 上是减函数；
(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m 的值.
16.已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x|－a .
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于94
，求a 的值.
17.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x.
(1)求当x<0时，函数f(x)的表达式；
(2)若g(x)＝2x(x∈R)，集合A＝{x|f(x)≥2}，B＝{y|y＝g(x)，x∈A}，试求集合B.
18.已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2]上的最小值.
19.定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0，1]时的解析式为f(x)＝－22x＋
2x a(a∈R).
(1)求f(x)在[－1，0]上的解析式.
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值h(a).
20.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*).
(1)若该函数经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数
a的取值范围；
(2)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性.
参考答案与解析
1.解：选C.要使函数有意义，须满足：
⎩
⎪⎨⎪⎧1－x≠0，1＋x>0，解之得x>－1且x≠1.故其定义域为(－1，1)∪(1，＋∞). 2.解：选D.由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.
3.解：选D.由于函数y ＝1x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y
＝
－3x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.
4.解：选D.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，
又f(－3)＝f(5)，c ＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有
f(－3)＝f(5)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52>f(2)＝f(0)＝c ，故选D. 5.解：选A.设g(x)＝x ，h(x)＝e x ＋ae －x ，因为函数g(x)＝x 是奇函数，则由题意知，函
数h(x)＝e x ＋ae －x 为奇函数，又函数f(x)的定义域为R ，所以h(0)＝0，解得a ＝－
1.
6.解：选A.由题意知a ＞1，∴f(－4)＝a 3，f(1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f(－4)＞
f(1)，故选A.
7.解：选C.由(x 1－x 2)(f(x 1)－f(x 2))＞0
知f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f(4)＜f(6)⇔f(－4)＞f(－6).
8.解：选B.函数f(x)＝log 2x ＋11－x
在(1，＋∞)上是增函数，而f(2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，有f(x 1)<f(2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，有f(x 2)>f(2)＝0.故选B.
9.解：选C.由f(x －2)＝f(x ＋2)⇒f(x)＝f(x ＋4)，因为4<log 220<5，所以f(log 220)＝
f(log 220－4)＝－f(4－log 220)＝－f(log 245
)＝－1. 10.解：选C.由f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－12)·f(12)＜0，知f(x)在[－12，12
]上有唯一实数根，
所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根.
11.解：∵y＝6x
在(0，＋∞)上为减函数， ∴当x ＝2时，y max ＝3，当x ＝6时，y min ＝1.
∴y ∈[1，3].
【答案】[1，3]
12.解：令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x －3，
∴g(x)＝2x ＋3，∴f(x)＝2x ＋3.
【答案】2x ＋3
13.解：函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，依题意有：－k 8≤－1或－k 8
≥2，解得k≥8或k≤－16.
【答案】k≥8或k≤－16
14.解：当x≥1时，log 12
x ≤0，当x<1时，0<2x <2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－
∞，2).
【答案】(－∞，2)
15.解：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个不相等的实数，
且x 1<x 2，
则f(x 1)－f(x 2)＝(－2x 1＋m)－(－2x 2＋m)＝2(x 2－x 1).
∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2).
∴函数f(x)在R 上是减函数.
(2)∵函数f(x)是奇函数，
∴对任意x∈R，有f(－x)＝－f(x).
∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m).∴m＝0.
16.解：(1)令t ＝|x|－a ，则f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23t
， 不论a 取任何值，t 在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23t 是单调递减的， 因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，
单调递减区间是[0，＋∞)；
(2)由于f(x)的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23－2
， 所以g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，
从而a ＝2.
17.解：(1)当x<0时，－x>0，则有f(－x)＝log 2(－x)，
又f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log 2(－x).
(2)当x>0时，由f(x)≥2，得x≥4；
当x<0时，由f(x)≥2，得－14
≤x<0. 所以集合A ＝{x|x≥4或－14
≤x<0}， 当x≥4时，y ＝g(x)＝2x ≥16；
当－14≤x<0时，y ＝g(x)＝2x ∈[2－14
，1). 所以B ＝{x|2－14
≤x<1或x≥16}. 18.解：(1)设f(x)＝k 1x ，g(x)＝k 2x
，其中k 1k 2≠0. ∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21
＝2， ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f(x)＝x ，g(x)＝2x
. (2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x ＋2x
， ∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
∵h(－x)＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2x ＝－h(x)， ∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数.
(3)由(2)，知h(x)＝x ＋2x
. 设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，
则h(x 1)－h(x 2)＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 1－2x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－2）x 1x 2.
∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2，
∴x 1－x 2<0，0<x 1x 2<2.
∴x 1x 2－2<0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0.
∴h(x 1)>h(x 2).
∴函数h(x)在(0，2]上是减函数，函数h(x)在(0，2]上的最小值是h(2)＝22，
即函数f(x)＋g(x)在(0，2]上的最小值是2 2.
19.解：(1)设x∈[－1，0]，
则－x∈[0，1]，f(－x)＝－2－2x ＋2－x a ，
又∵函数f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)＝－2－2x ＋2－x a ，x ∈[－1，0].
(2)∵f(x)＝－22x ＋2x a ，x ∈[0，1]，
令t ＝2x ，t ∈[1，2].
∴g(t)＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24
. 当a 2
≤1，即a≤2时，h(a)＝g(1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a<4时，h(a)＝g(a 2)＝a 24
； 当a 2
≥2，即a≥4时，h(a)＝g(2)＝2a －4. 综上所述，
h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a≤2，a 24， 2<a<4，2a －4， a≥4. 20.解：(1)∵函数f(x)经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m)－1，
即212＝2(m 2＋m)－1，
∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m∈N *，∴m ＝1.
∴f(x)＝x 12，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
由f(2－a)>f(a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥0，a －1≥0，2－a>a －1，
解得1≤a<32
. ∴a 的取值范围为[1，32
). (2)m 2＋m ＝m(m ＋1)，m ∈N *，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m(m ＋1)为偶数.
∴函数f(x)＝x(m 2＋m)－1(m∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.。