07函数的基本性质

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07函数的基本性质单元测试(A 卷)
班级 姓名 学号
一、选择题
1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y =2x +1
B.y =-2x 3
C.y =3x
D.y =2x|x| 2.函数f(x)=x 2
+2x +5(x∈R)的单调递增区间是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(-1,+∞)
D.(1,+∞)
3.函数y =1x -1
在[2,3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13 D.-12
4.函数f(x)=1x
-x +x 3的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y =x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y =-x 对称
5.函数y =1-x 2+91+|x|
是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
6.已知函数f(x)=ax 3+bx +2 013,若f(2 014)=4 025,则f(-2 014)的值为( )
A.1
B.-4 025
C.-2 013
D.2 014
7.若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x 2+3x +1,则f(x)=
( )
A.x 2
B.2x 2
C.2x 2+2
D.x 2+1
8.若函数f(x)在[-2,2]上是偶函数,且在[0,2)上单调递增,则下列各式成立的是
( )
A.f(-2)>f(0)>f(1)
B.f(-2)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-2)
D.f(1)>f(-2)>f(0)
9.已知f(x)在实数集上是减函数,若a +b≤0,则下列正确的是( )
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
10.已知非零函数f(x)与非零函数g(x)有共同的定义域,函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则下列函数为偶函数的是( )
①f 2(x),②g 2(x),③f(x)+g(x),④f(x)-g(x),⑤f (x)·|g(x)|.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②⑤
11.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a -x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x 2
C.f(x)=tan x
D.f(x)=cos(x +1)
12.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且满足f(x +4)=f(x),当x ∈[-2,0]时,f(x)
=-2x ,则f(1)+f(4)等于( )
A.32
B.-32
C.-1
D.1
_、________.
14.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则a+b=_____
_________.
15.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2, 则g(-1)=________.
16.若函数f(x)=-x+a
bx+1
为区间[-1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_ _______.
三、解答题
17.已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的最小值.
18.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数且是减函数,若f(m-1)+f(1-
2m)≥0,求实数m的取值范围.
19.已知函数f(x)=2x +a x 2+1
(x∈R)为奇函数. (1)求a 的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
20.某租车公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加60元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费160元,未租出的车每月需要维护费60元.
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少?
21.已知y =f(x)是R 上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x 2+4x -1.
(1)求y =f(x)的解析式;
(2)画出y =f(x)的图象,并指出y =f(x)的单调区间.
22.已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x 1,x 2都有f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74的大小.
参考答案与解析
1.解:选D
2.解:选C.因为f(x)=x 2+2x +5=(x +1)2+4,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,+∞),故选C.
3.解:选B.作出图象可知y =1x -1在[2,3]上是减函数,y min =13-1=12
. 4.解:选C.因为f(-x)=-1x +x -x 3=-(1x -x +x 3)=-f(x),所以函数f(x)=1x
-x +x 3
为奇函数,奇函数的图象关于原点对称,故选C.
5.解:选B.先求定义域,由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥01+|x|≠0⇒-1≤x≤1. ∴定义域为[-1,1],且定义域关于原点对称.
又f(-x)=1-(-x )2+91+|-x|
=f(x),∴f(x)为偶函数.
6.解:选A.设F(x)=f(x)-2 013=ax 3+bx ,F(x)为奇函数,
所以F(-2 014)=-F(2 014),
即f(-2 014)-2 013=-[f(2 014)-2 013],
所以f(-2 014)=4 026-f(2 014)=4 026-4 025=1.
7.解:选D.∵f(x)+g(x)=x 2+3x +1,①
∴f(-x)+g(-x)=x 2-3x +1.
又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,
∴f(x)-g(x)=x 2-3x +1.②
由①②联立,得f(x)=x 2+1.
8.解:选B.∵f(x)是偶函数,
∴f(-2)=f(2).
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴f(2)>f(1)>f(0),
即f(-2)>f(1)>f(0).
9.解:选B.由a +b≤0,得a≤-b ,
∵f(x)在R 上是减函数,
∴f (a)≥f(-b).
同理f(b)≥f(-a),
对称,
且由f 2(-x)=f 2(x),知f 2(x)为偶函数;
由g 2(-x)=[g(-x)]2=-g 2(x)=g 2(x),
知g 2(x)为偶函数;
因为f(-x)+g(-x)
=f(x)-g(x)≠f(x)+g(x),
所以f(x)+g(x)不是偶函数;
因为f(-x)-g(-x)=f(x)-[-g(x)]
=f(x)+g(x)≠f(x)-g(x),
所以f(x)-g(x)不是偶函数;
因为f(-x)·|g (-x)|=f(x)·|-g(x)|=f(x)·|g(x)|,
所以f(x)·|g(x)|是偶函数,故选D.
11.解:由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图像关于x =a(a≠0)对称,则f(x)为
准偶函数,A ,C 中两函数的图像无对称轴,B 中函数图像的对称轴只有x =0,而D 中f(x)=cos(x +1)的图像关于x =kπ-1(k ∈Z)对称.
答案:D
12.解:由f(x +4)=f(x)知f(x)是周期为4的周期函数,又f(x)是定义在R 上的偶函数,
故f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(-1),又-1∈[-2,0],所以f(-1)=-2-1=-12
,所以f(1)=-12,f(1)+f(4)=-32
,选B. 答案:B
13.解:由函数最值的定义,结合函数的图象可知,f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-32. 【答案】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-32 14.解:∵偶函数的定义域关于原点对称,
∴a -1=-2a ,a =13
. 又f(x)=ax 2
+bx +3a +b 为偶函数,
则b =0.因此a +b =13
. 【答案】13
15.解:因为y =f(x)+x 2是奇函数,
所以f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12]=-2,
所以f(-1)=-3,g(-1)=-1.
【答案】-1
16.解:f(x)为[-1,1]上的奇函数,
且在x =0处有定义,
则f(x)=-x bx +1
. 又f(-1)=-f(1),得--1-b +1=1b +1
, 故b =0,于是f(x)=-x.
因此f(x)=-x 在[-1,1]上是减函数,故f(x)max =1.
【答案】1
17.解:(1)f(x)=|x +1|+|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x ≤-1,2,-1<x<1,2x ,x ≥1,
其图象如图所示.
(2)由图象,得函数f(x)的最小值是2.
18.解:由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧-2<m -1<2-2<1-2m<2,得-12<m<32. 由函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数及f(m -1)+f(1-2m)≥0,
得f(m -1)≥f(2m -1).
∵函数f(x)在(-2,2)上是减函数,
∴m -1≤2m-1,得m≥0.
∴实数m 的取值范围为[0,32
). 19.解:(1)函数f(x)=2x +a x 2+1
为R 上的奇函数, 则f(0)=0,所以a =0.
(2)由(1)知f(x)=2x x 2
+1,设x 1>x 2>0, 2x 2x
=2(x 1x 2-1)(x 2-x 1)(x 21+1)(x 22+1)
, 因为x 1>x 2>0,所以x 2-x 1<0,(x 21+1)(x 22+1)>0.
①当1>x 1>x 2>0时,x 1x 2-1<0,
所以2(x 1x 2-1)(x 2-x 1)(x 21+1)(x 22+1)
>0, 即f(x 1)>f(x 2),函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数;
②当x 1>x 2>1时,x 1x 2-1>0,
所以2(x 1x 2-1)(x 2-x 1)(x 21+1)(x 22+1)
<0, 即f(x 1)<f(x 2),函数f(x)在(1,+∞)上为单调递减函数.
综上,函数f(x)在(0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
20.解:(1)租金增加了900元.
所以未出租的车有15辆,一共出租了85辆.
(2)设租金提高后有x 辆未租出,则已租出(100-x)辆,租车公司的月收益为y 元. y =(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-60x ,
其中x∈[0,100],x ∈N ,
整理得:y =-60x 2+3 100x +284 000
=-60⎝
⎛⎭⎪⎫x -15562
+972 1253, 当x =26时,y max =324 040,
此时,月租金为:3 000+60×26=4 560元.
即当每辆车的月租金为4 560元时,租车公司的月收益最大为324 040元.
21.解:(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=(-x)2+4(-x)-1=x 2-4x -1,
又y =f(x)是R 上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-x 2+4x +1,又f(0)=0,
∴f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x -1(x<0)0(x =0)-x 2+4x +1(x>0).
(2)先画出y =f(x)(x<0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y =f(x)(x>0)的图象,其图象如图所示.
由图可知,y =f(x)的单调递增区间为(-2,0)及(0,2],单调递减区间为(-∞,-2]及(2,+∞).
22.解:(1)证明:函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
令x 1=x 2=1,得f(1×1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.
令x 1=x 2=-1,
得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),
即2f(-1)=0,从而可知f(-1)=0.
因此f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
故f(x)是偶函数.
(2)证明:设0<x 1<x 2,
则f(x 2)-f(x 1)=f ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1-f(x 1) =f(x 1)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1-f(x 1)=f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1, ∵x 2>x 1>0,∴x 2x 1>1.∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1>0. ∴f(x 2)>f(x 1).
∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52, 由(2)知f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74, 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫74.
函数的基本性质单元测试(B卷)
班级姓名学号
一、选择题
1.设f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a为实数,则有( )
A.f(a)<f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a)
D.f(a2+1)>f(a)
2.下列说法正确的是( )
①若一个图象关于y轴对称,则该图象一定是偶函数的图象;
④不存在既是奇函数又是偶函数的函数.
A.①②
B.②③
C.①③④
D.②
3.已知f(x)是奇函数且对任意正实数x1、x2(x1≠x2),恒有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则下式中一定正确的是( )
A.f(3)>f(-5)
B.f(-3)<f(-5)
C.f(-5)>f(3)
D.f(-3)>f(-5)
4.若函数y =1x2-ax +4在[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,4)
B.[-4,4]
C.(0,12)
D.(0,4)
5.函数y =f(x)的图象关于原点对称,且f(x)在区间[3,7]上是增函数,最小值为5.则函数y =f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数,且最小值为-5
B.增函数,且最大值为-5
C.减函数,且最小值为-5
D.减函数,且最大值为-5
6.x 为实数,[x ]表示不超过x 的最大整数,则函数f (x )=x -[x ]在R 上为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
7.若f(x)=-x2+2ax 与g(x)=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
8.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0成立的x 的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
9.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x +4),当x>2时,f(x)单调递增,如果x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,那么f(x 1)+f(x 2)的值( )
A.恒小于0
B.恒大于0
C.可能为0
D.可正可负
10.已知函数f(x +1)是偶函数,当x 2>x 1>1时,[f(x 2)-f(x 1)](x 2-x 1)>0恒成立,设a =f -12,b =f(2),c =f(3),则a ,b ,c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
11.已知f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)单调递减,设a =-21.2,b =⎝ ⎛⎭
⎪⎫12-0.8,c =2log 5 2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )
A.f(c)<f(b)<f(a)
B.f(c)<f(a)<f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(a)>f(b)
12.对任意的实数x 都有f(x +2)-f(x)=2f(1),若y =f(x -1)的图像关于x =1对称,且f(0)=2,则f(2 015)+f(2 016)=( )
A.0
B.2
C.3
D.4
二、填空题
13.若函数f(x)是定义在R 上的减函数,当a +b>0时,给出下列四个关系:
①f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b); ②f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b);
③f(a)+f(-a)>f(-b)+f(b); ④f(a)+f(-a)<f(b)+f(-b).
其中不正确的是________.(填序号)
14.若函数f(x)=(k -2)x2+(k -1)x +2是偶函数,则f(x)的单调增区间是________.
15.已知函数y =f(x +1)为奇函数,y =f(x -1)为偶函数,且f(0)=2,则f(4)=________.
16.函数y =-x2+6x +9在区间[a ,b](a<b<3)上有最小值-7,最大值9,则a =________,b =________.
三、解答题
17.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x +1,求f(x)的解析式.
18.设函数1
2)(++=
x x x f ,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
19.已知函数x
a x x x f ++=2)(2,x ∈[1,+∞). (1)当a =4时,求f(x)的最小值;
(2)当a =12时,求f(x)的最小值;
(3)若a 为正常数,求f(x)的最小值.
20.设函数f(x)在R 上是偶函数,在(-∞,0)上递增,且有f(2a 2+a +1)<f(-3a 2+2a
-1),求实数a 的取值范围.
21.已知函数x
x x f 4)(+=f(x),x ∈[1,3]. (1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
22.已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意x,x/∈R,均有f(x+x/)=f(x)+f(x/),
对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.
(1)证明函数y=f(x)是R上的单调减函数;
(2)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z,且mn<0)上的值域.
参考答案与解析
1.解:选D.∵a2+1>a,
∵f(x)在R 上单调递增,
∴f(a2+1)>f(a).
2.解:选D.①中该图象不一定是函数图象;②正确;③y =f(x)是奇函数,不一定在原点
处有定义,如f(x)=1x ;④f(x)=0(x ∈R)既是奇函数又是偶函数.
3.解:选D.由不等式可知f(x)在(0,+∞)上是增函数,
又f(x)是奇函数,故f(x)在(-∞,0)上是增函数,但f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不一定是增函数,故选D ,而不能选A.
4.解:选A.设u =x 2-ax +4,
则函数u(x)在(a 2,+∞上是增函数,
y =1u 在(a 2,+∞上是减函数.
∴a 2≤2,即a ≤4.
又u(x)在[2,+∞)应满足u(x)>0.
因此u(2)>0,即4-2a +4>0.
∴a<4.
5.解:选B.利用函数的对称性画出图象即可得到函数y =f(x)在区间[-7,-3]上是增
函数,且最大值为-5.
6.解:函数f (x )=x -[x ]在R 上的图像如图:
选D.
7.解:选D.f(x)在[a ,+∞)上是减函数,对于g(x),
只有当a>0时,它有两个减区间为(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可,
则a 的取值范围是0<a ≤1. 故选D.
8.解:选D.由函数f(x)的性质可画出其草图,如图所示.
则当f(x)<0时,-2<x<2.
9.解:选A.∵(x 1-2)(x 2-2)<0,
∴不妨设x 1-2>0,x 2-2<0,
∴x 1>2,x 2<2,4-x 2>2.
又∵x 1+x 2<4,
∴x 1<4-x 2.
∵当x>2时,f(x)单调递增,
∴f(x 1)<f(4-x 2).
对于f(-x)=-f(x +4),把x 换成-x 2,
则可得f(x 2)=-f(4-x 2),
即f(4-x 2)=-f(x 2),
∴f(x 1)<-f(x 2),即f(x 1)+f(x 2)<0.
10.已知函数f(x +1)是偶函数,当x 2>x 1>1时,[f(x 2)-f(x 1)](x 2-x 1)>0恒成立,设a =)2
1
( f ,b =f(2),c =f(3),则a ,b ,c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
10.解:选A.由于f(x +1)是偶函数,
则f(-x +1)=f(x +1),
则a =)2
5()123()123()21
(f f f f =+=+-=-, 又当x 2>x 1>1时,[f(x 2)-f(x 1)](x 2-x 1)>0恒成立,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
又2<25<3,所以f(2)<)2
5(f <f(3). 所以b<a<c.
11.解:依题意,注意到21.2>20.8=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12-0.8>20=1=log 55>log 54=2log 52>0,又函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,于是有f(21.2)<f(20.8)<f(2log 52),由函数f(x)是偶函数
得f(a)=f(21.2),因此f(a)<f(b)<f(c),选C.
答案:C
12.解:y =f(x -1)的图像关于x =1对称,则函数y =f(x)的图像关于x =0对称,
即函数f(x)是偶函数,
令x =-1,则f(-1+2)-f(-1)=2f(1),
即f(1)-f(1)=2f(1)=0,
即f(1)=0,
则f(x +2)-f(x)=2f(1)=0,
即f(x +2)=f(x),
则函数的周期是2,又f(0)=2,
则f(2 015)+f(2 016)=f(1)+f(0)=0+2=2.故选B.
答案:B
13.解:∵a +b>0,∴a>-b ,b>-a.
又∵f(x)在R 上是减函数,
∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).
【答案】①③④
14.解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=(k -2)•(-x)2+(k -1)•(-x)+2=f(x)=(k -2)x
2+(k -1)•x +2.
∵对于x 来说可以取任意数,
∴对应项系数相等,即k -1=1-k ,∴k =1.
∴f(x)=-x 2+2,
它的对称轴是y 轴,开口向下,单调递增区间是(-∞,0].
【答案】(-∞,0]
15.解:由f(x -1)=f(-x -1),
得f(0)=f(-2)=2,
由f(x +1)=-f(-x +1),
得f(4)=-f(-2)=-2.
【答案】-2
16.解:y =-x 2+6x +9=-(x -3)2+18,对称轴为x =3,开口向下.
∵a<b<3,∴[a ,b]是函数的单调增区间.
故f(a)=-a 2+6a +9=-7,f(b)=-b 2+6b +9=9.
∴a 2-6a -16=0,解得a =-2或a =8(舍去),b 2-6b =0,
解得b =0或b =6(舍去),∴a =-2,b =0.
【答案】-2 0
17.解:设x<0,则-x>0,
得f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x 3-x +1.
又∵f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).
∴-x 3-x +1=-f(x),即f(x)=x 3+x -1.
∴当x<0时,f(x)=x 3+x -1.
又f(x)是定义在R 上的奇函数,故f(0)=0.
∴f(x)=x 3+x +1,x>0,0, x =0,x 3+x -1,x<0.
18.解:函数f(x)的单调区间是(-∞,-1),(-1,+∞).
证明:f(x)在其单调区间上的单调性如下:11112)(++=++=
x x x x f ,函数的定义域为{x ∈R|x ≠-1}.
任取x 1,x 2≠-1,且x 1<x 2,
则f(x 1)-f(x 2)=)
1)(1(2112++-x x x x . ∵x 1<x 2,∴x 2-x 1>0.
当x 1<x 2<-1时,x 1+1<0,x 2+1<0,
∴(x 1+1)(x 2+1)>0,∴)
1)(1(2112++-x x x x >0, 即f(x 1)-f(x 2)>0,f(x 1)>f(x 2),函数f(x)是减函数;
当-1<x 1<x 2时,x 1+1>0,x 2+1>0,
∴(x 1+1)(x 2+1)>0,∴)
1)(1(2112++-x x x x >0, 即f(x 1)-f(x 2)>0,f(x 1)>f(x 2),
函数f(x)是减函数.
∴函数f(x)在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)上都是减函数.
19.解:(1)当a =4时,24)(++
=x x x f ,易知f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.
故f(x)min =f(2)=6;
(2)当a =12时,212)(++=x
x x f . 易知f(x)在[1,+∞)上为增函数.
故f(x)min =f(1)=72;
(3)函数2)(++=x
a x x f f(x)在(0,a)上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数. 若a>1,即a>1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增,f(x)min =f(a)=2a +2;
若a ≤1,即0<a ≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,f(x)min =f(1)=a +3.
20.解:由f(x)在R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,则f(x)在(0,+∞)上递减.
因为2a 2+a +1=87)41(22+
+=a >0, -3a 2+2a -132)31(32-
--=a <0, 又因为f(2a 2+a +1)<f(-3a2+2a -1)=f(3a 2-2a +1),
所以2a 2+a +1>3a 2-2a +1,
即a 2-3a<0,解得0<a<3.
21.解:(1)设x 1,x 2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x 1<x 2,
则f(x 1)-f(x2)=x 1-x 2+2
144x x - =(x 1-x 2))41(21x x -
. ∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0.
当1≤x 1<x 2≤2时,1<x 1x 2<4,∴4x 1x 2>1.
∴1-4x 1x 2<0.∴f(x 1)>f(x 2).
∴f(x)在[1,2]上是减函数.
当2≤x 1<x 2≤3时,4<x 1x 2<9,∴14942
1<<x x . ∴1-4x 1x 2>0,f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).
∴f(x)在[2,3]上是增函数.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)=2+42=4,
又∵f(1)=5,f(3)=3+43=133<f(1),
∴f(x)的最大值为5.
22.解:(1)证明:对任意x 1,x 2∈R ,
且x 1<x 2,f(x 2)=f[x 1+(x 2-x 1)],
于是由题设条件f(x +x /)=f(x)+f(x /),
可知f(x 2)=f(x 1)+f(x 2-x 1).
∵x 2>x 1,∴x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0.
∴f(x 2)=f(x 1)+f(x 2-x 1)<f(x 1).
故函数y =f(x)是R 上的单调减函数.
(2)∵函数y =f(x)是R 上的单调减函数,
∴y =f(x)在[m ,n]上单调递减,
∴y =f(x)在[m ,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
f(n)=f[1+(n -1)]=f(1)+f(n -1)
=2f(1)+f(n -2)=…=nf(1),
同理可得f(m)=mf(1).
∵f(3)=3f(1)=-3,
∴f(1)=-1,
∴f(m)=-m ,f(n)=-n.
因此函数y =f(x)在[m ,n]上的值域为[-n ,-m].
函数的基本性质单元测试(C 卷)
班级 姓名 学号
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=11-x
+lg(1+x)的定义域是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
2.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x 2+1x
,则f(-1)=( ) A.2 B.1 C.0 D.-2
3.关于函数y =-3x
的单调性的叙述正确的是( ) A.在(-∞,0)上是递增的,在(0,+∞)上是递减的
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增
C.在[0,+∞)上递增
D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递增的
4.已知f(x)=x 2+bx +c 且f(-1)=f(3),则( )
A.f(-3)<c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52
B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c<f(-3)
C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(-3)<c
D.c<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52<f(-3) 5.设函数f(x)=x(e x +ae -x
)(x∈R)是偶函数,则实数a 的值为( )
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
6.函数f(x)=a |x +1|(a >0,a ≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的关系是( )
A.f(-4)>f(1)
B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1)
D.不能确定
7.已知奇函数f(x)对任意的正实数x 1,x 2(x 1≠x 2),恒有(x 1-x 2)(f(x 1)-f(x 2))>0,则一定正确的是( )
A.f(4)>f(-6)
B.f(-4)<f(-6)
C.f(-4)>f(-6)
D.f(4)<f(-6)
8.已知函数f(x)=log 2x +11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )
A.f(x 1)<0,f(x 2)<0
B.f(x 1)<0,f(x 2)>0
C.f(x 1)>0,f(x 2)<0
D.f(x 1)>0,f(x 2)>0
9.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x -2)=f(x +2),且x∈(-1,0)
时,f(x)=2x +15
,则f(log 220)=( ) A.1 B.45 C.-1 D.-45
10.设f(x)=x 3+bx +c 是[-1,1]上的增函数,且f(-12)·f(12
)<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内( )
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
11.函数y =6x
,x ∈[2,6]的值域为________. 12.如果函数g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x -3,(x>0)f (x ),(x<0)
是奇函数,则f(x)=________. 13.已知函数f(x)=4x 2
+kx -8在[-1,2]上具有单调性,则实数k 的取值范围是_____ ____________.
14.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x ≥1,2x ,x<1
的值域为________.
三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.已知函数f(x)=-2x +m ,其中m 为常数.
(1)求证:函数f(x)在R 上是减函数;
(2)当函数f(x)是奇函数时,求实数m 的值.
16.已知函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x|-a .
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值等于94
,求a 的值.
17.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x.
(1)求当x<0时,函数f(x)的表达式;
(2)若g(x)=2x(x∈R),集合A={x|f(x)≥2},B={y|y=g(x),x∈A},试求集合B.
18.已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2.
(1)求函数f(x)和g(x);
(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)+g(x)在(0,2]上的最小值.
19.定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)=-22x+
2x a(a∈R).
(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式.
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).
20.已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*).
(1)若该函数经过点(2,2),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数
a的取值范围;
(2)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.
参考答案与解析
1.解:选C.要使函数有意义,须满足:

⎪⎨⎪⎧1-x≠0,1+x>0,解之得x>-1且x≠1.故其定义域为(-1,1)∪(1,+∞). 2.解:选D.由f(x)为奇函数知f(-1)=-f(1)=-2.
3.解:选D.由于函数y =1x
在(-∞,0)和(0,+∞)上是递减的,且-3<0,因此函数y

-3x
在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递增的,这里特别注意两区间之间只能用“和”或“,”,一定不能用“∪”.
4.解:选D.由已知可得二次函数图象关于直线x =1对称,
又f(-3)=f(5),c =f(0)=f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有
f(-3)=f(5)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52>f(2)=f(0)=c ,故选D. 5.解:选A.设g(x)=x ,h(x)=e x +ae -x ,因为函数g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函
数h(x)=e x +ae -x 为奇函数,又函数f(x)的定义域为R ,所以h(0)=0,解得a =-
1.
6.解:选A.由题意知a >1,∴f(-4)=a 3,f(1)=a 2,由单调性知a 3>a 2,∴f(-4)>
f(1),故选A.
7.解:选C.由(x 1-x 2)(f(x 1)-f(x 2))>0
知f(x)在(0,+∞)上递增,
∴f(4)<f(6)⇔f(-4)>f(-6).
8.解:选B.函数f(x)=log 2x +11-x
在(1,+∞)上是增函数,而f(2)=0,所以当x 1∈(1,2)时,有f(x 1)<f(2)=0;当x 2∈(2,+∞)时,有f(x 2)>f(2)=0.故选B.
9.解:选C.由f(x -2)=f(x +2)⇒f(x)=f(x +4),因为4<log 220<5,所以f(log 220)=
f(log 220-4)=-f(4-log 220)=-f(log 245
)=-1. 10.解:选C.由f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-12)·f(12)<0,知f(x)在[-12,12
]上有唯一实数根,
所以方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一实数根.
11.解:∵y=6x
在(0,+∞)上为减函数, ∴当x =2时,y max =3,当x =6时,y min =1.
∴y ∈[1,3].
【答案】[1,3]
12.解:令x<0,∴-x>0,g(-x)=-2x -3,
∴g(x)=2x +3,∴f(x)=2x +3.
【答案】2x +3
13.解:函数f(x)=4x 2+kx -8的对称轴为x =-k 8,依题意有:-k 8≤-1或-k 8
≥2,解得k≥8或k≤-16.
【答案】k≥8或k≤-16
14.解:当x≥1时,log 12
x ≤0,当x<1时,0<2x <2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-
∞,2).
【答案】(-∞,2)
15.解:(1)证明:设x 1,x 2是R 上的任意两个不相等的实数,
且x 1<x 2,
则f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+m)-(-2x 2+m)=2(x 2-x 1).
∵x 1<x 2,∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2).
∴函数f(x)在R 上是减函数.
(2)∵函数f(x)是奇函数,
∴对任意x∈R,有f(-x)=-f(x).
∴2x +m =-(-2x +m).∴m=0.
16.解:(1)令t =|x|-a ,则f(x)=⎝ ⎛⎭
⎪⎫23t
, 不论a 取任何值,t 在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
又y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫23t 是单调递减的, 因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0),
单调递减区间是[0,+∞);
(2)由于f(x)的最大值是94,且94=⎝ ⎛⎭
⎪⎫23-2
, 所以g(x)=|x|-a 应该有最小值-2,
从而a =2.
17.解:(1)当x<0时,-x>0,则有f(-x)=log 2(-x),
又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-log 2(-x).
(2)当x>0时,由f(x)≥2,得x≥4;
当x<0时,由f(x)≥2,得-14
≤x<0. 所以集合A ={x|x≥4或-14
≤x<0}, 当x≥4时,y =g(x)=2x ≥16;
当-14≤x<0时,y =g(x)=2x ∈[2-14
,1). 所以B ={x|2-14
≤x<1或x≥16}. 18.解:(1)设f(x)=k 1x ,g(x)=k 2x
,其中k 1k 2≠0. ∵f(1)=1,g(1)=2,∴k 1×1=1,k 21
=2, ∴k 1=1,k 2=2.∴f(x)=x ,g(x)=2x
. (2)设h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=x +2x
, ∴函数h(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵h(-x)=-x +2-x =-⎝ ⎛⎭
⎪⎫x +2x =-h(x), ∴函数h(x)是奇函数,即函数f(x)+g(x)是奇函数.
(3)由(2),知h(x)=x +2x
. 设x 1,x 2是(0,2]上的任意两个不相等的实数,且x 1<x 2,
则h(x 1)-h(x 2)=⎝
⎛⎭⎪⎫x 1+2x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+2x 2 =(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 1-2x 2 =(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-2)x 1x 2.
∵x 1,x 2∈(0,2],且x 1<x 2,
∴x 1-x 2<0,0<x 1x 2<2.
∴x 1x 2-2<0,∴(x 1-x 2)(x 1x 2-2)>0.
∴h(x 1)>h(x 2).
∴函数h(x)在(0,2]上是减函数,函数h(x)在(0,2]上的最小值是h(2)=22,
即函数f(x)+g(x)在(0,2]上的最小值是2 2.
19.解:(1)设x∈[-1,0],
则-x∈[0,1],f(-x)=-2-2x +2-x a ,
又∵函数f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x),
∴f(x)=-2-2x +2-x a ,x ∈[-1,0].
(2)∵f(x)=-22x +2x a ,x ∈[0,1],
令t =2x ,t ∈[1,2].
∴g(t)=at -t 2=-(t -a 2)2+a 24
. 当a 2
≤1,即a≤2时,h(a)=g(1)=a -1; 当1<a 2<2,即2<a<4时,h(a)=g(a 2)=a 24
; 当a 2
≥2,即a≥4时,h(a)=g(2)=2a -4. 综上所述,
h(a)=⎩⎪⎨⎪⎧a -1, a≤2,a 24, 2<a<4,2a -4, a≥4. 20.解:(1)∵函数f(x)经过点(2,2), ∴2=2(m 2+m)-1,
即212=2(m 2+m)-1,
∴m 2+m =2,解得m =1或m =-2.又∵m∈N *,∴m =1.
∴f(x)=x 12,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.
由f(2-a)>f(a -1),得⎩⎪⎨⎪⎧2-a≥0,a -1≥0,2-a>a -1,
解得1≤a<32
. ∴a 的取值范围为[1,32
). (2)m 2+m =m(m +1),m ∈N *,
而m 与m +1中必有一个为偶数,∴m(m +1)为偶数.
∴函数f(x)=x(m 2+m)-1(m∈N *)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.。

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