福建省晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试

福建省晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学
2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．直线的一个方向向量为()1,3v =-
，且经过点()0,2，则直线的方程为（）
A ．320x y -+=
B ．320x y +-=
C ．320
x y ++=D ．320
x y --=
2．“2m =”是“椭圆221x y m
+=且离心率为2”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（）
A B C D ．
4
4．设点P 为椭圆22
94
x y C +=：1上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且1260F PF ∠=︒，
则12PF F 的面积为（）
A ．
B ．
C
D 5．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
E ，
F ，H 分别为11CD ，11AC ，DE 的中点．若AB a →= ，AD b →= ，1AA c
→
= ，则向量FH 可用,,a b c →→→表示为（）
A ．113122a b c →→→--+
B ．111422
a b c →→→
-+-
C ．311443a b c
→→→
--D ．231343
a b c
→→→
-+6．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为（
）
A ．22
1
3616x y +=B ．22
1
4015
x y +=C ．22
1
4924
x y +=D ．22
1
4520
x y +=7．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值是（）A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
8．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，ABC V 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =．延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，
以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知4,3,5a b c ===，则由ABC V 生成的康威圆的半径为（
）
A
B C D 二、多选题
9．已知点()11,0F -，()21,0F ，动点P 到直线2x =的距离为d ，
22
PF d
=
，则（）
A ．点P 的轨迹是椭圆
B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于12
C ．点P 的轨迹方程为2
21
2
x y +=D ．12PF F 的周长为定值10．已知点P 在曲线22
x y x y +=+上，点()2,0Q ，则P 的可能取值为（
）
A B ．1C ．
2
D ．4
11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，π
3
BAD ∠=
，12AB AA ==，E 为1CC 的中点，点F 满足1DF xDC yDD =+
（[]0,1x ∈，[]0,1∈y ），下列结论正确的是（
）
A ．若1
2
x =
，则点F 到平面1DBB B ．若1x y +=，则四面体1-A BEF 的体积是定值
C ．若1A F =F 的轨迹长为4
D ．若1x =，1
2
y =
，则存在点1P A B ∈，使得AP PF +三、填空题
12．已知直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则a 的值为
.
13．如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD 、ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.长度为2的金属杆端点N 在对角线BF 上移动，另一个端点M 在正方形ABCD 内（含边界）移动，且始终保持MN AB ⊥，则端点M 的轨迹长度为
.
14．已知等腰Rt ABC △内接于圆O ，点M 是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB 折起，使所成的二面角C AB M --为π
4
.则直线AC 与直线OM 所成角的正弦值最小值为
.
四、解答题
15．已知点()2,0,2P -，()1,1,2Q -，()3,0,4R -，设a PQ =
，b PR = ，c QR = ．
(1)若实数k 使ka b + 与c
垂直，求k 值．
(2)求a
在b
上的投影向量．
16．
瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC V ，4AB AC ==，
()1,3B -，()4,2C -，且其“欧拉线”与圆M ：()2
223x y r -+=相切．
（1）求ABC V 的“欧拉线”方程；
（2）点(),x y 在圆M 上，求x +的最值．
17．如图，在圆锥SO 中，高3SO =，底面圆O 的直径5AB =，C 是OA 的中点，点D 在圆O 上，平面SAB ⊥平面SCD ．
(1)证明：CD AB ⊥．
(2)若P 是圆O 上的动点，求平面SCD 与平面SOP 所成角余弦值的取值范围．
18．已知椭圆M ：()22
2210+=>>x y a b a b
，点()11,0F -、()2,0C -分别是椭圆M 的左焦点、
左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆M 于A ，B 两点．
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若(A ，求AOB V 的面积；
(3)是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
19．在矩形ABCD 中，长
AB =2AD =.
(1)把矩形的各边n 等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？
(2)E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF ，GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系（如图所示）.若R 、R '分别在线段OF 、CF 上.且
1
OR CR OF
CF
n
'==.
①求证：直线ER 与GR '的交点P 总在椭圆Ω：2
213
x y +=上；
②若M 、N 为曲线Ω上两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为2
3
，求证：直线MN 过定点.。