《有趣的小学数学—重叠关系》

重叠关系
【知识点】
1、解答重叠问题要用到数学中的包含与排除原理（也叫容斥原理），即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2、解答重叠问题的应用题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时需要画出韦恩图（如下），借助图形进行思考。

如果被计数的事物有A 、B 两类，如下图所示：
两类元素个数的总和=A 类元素个数＋B 类元素个数－两类重复的个数 字母表示：B A B A B A -+=
例题1：同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数是第3个，从前数是第5个，从后数是第6个。

做早操的同学共有多少人？
【答案】60人
【分析】根据题意，画出下图，由图可看出：小明的位置从左数起是第4个，从右数是第3个，说明横行有4+3-1=6个人；从前数是第5个，从后数是第6个，说明竖行有5+6-1=10个人。

所以做早操的同学共有6×10=60个人。

例题2：把两块一样长的木板如下图这样钉在一起，使其成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米。

这两块木板各长多少厘米？
【答案】68厘米
【分析】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120+16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

列式如下：（120+16）÷2=68（厘米）
例题3：三年级一班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两种报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。

三年级一班有学生多少人？
【答案】52人
【分析】根据题意，画出右图：
从图中可以看出，中间的重叠部分表示两种报纸都订的10人，这10人既被包括在《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数。

必须从32+30=62人中去掉被重复算过的10人，所以全班人数应是62-10=52人，列式为：32+30-10=52（人）。

例题4：三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。

三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
【答案】48人
【分析】根据题意，画出下图:
图中间重叠部分表示两种物品都带的人数，把带矿泉水和带水果的人数加起来得78+77=155人，比全班总人数多出155-107=48人。

所以两种物品都带的人数是48人。

练习1：三（4）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。

梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个，从左数、从右数都是第3个。

三（4）班共有学生多少人？
【答案】50人
【分析】每行有5+6-1=10人，也就是有10列，每列有3+3-1=5人，也就是有5行。

所以共有10×5=50人。

练习2：学校进行卫生大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能掸掉日光灯上的灰尘，小明想了个好主意，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米。

其中鸡毛掸子长85厘米，接头处长20厘米。

问木棒有多长？
【答案】115厘米
【分析】鸡毛掸子和木棒的总长度是180+20=200厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，所以木棒的长度就是200-85=115厘米。

列式为：180+20-85=115（厘米）。

练习3：二年级做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都做完的有31人，每人至少完成一种作业。

二年级共有学生多少人？
【答案】48人
【分析】语文做完人数加上数学做完人数，其中有一部分人重复算了一遍，所以要减去两种作业都完成的人，二年级共有学生37+42-31=48（人）。

练习4：一次数学考试全班45人，做对第一道加星题的有29人，做对第二道加星题的有22人，每人至少做对一题。

问两题都做对的有多少人？
【答案】6人
【分析】29+22-45=6（人）。