比例线段（3）（学案）

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.1
比例线段(
3)
教学目标
1．了解比例中项的概念． 2．会求已知线段的比例中项． 3．通过实例了解黄金分割．
4．利用黄金分割进行简单的计算． 重点和难点
本节教学的重点是黄金分割的概念及其简单应用．
例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
用合作学习引入比例中项的概念．学生通过计算，写出的比例式不一定是比例中项的形式，这样就需要教师给以引导．比如若学生写出的比例式为b c ＝a
b ，则引导学生
根据等式的性质，得a b ＝b
c
强调内项相同．
求两个数a ，b 的比例中项，可以转化为求a ，b 之积的平方根±ab ，很明显，a ，b 必须同号，在本套教科书中还约定为ab ≠0(来源于关于比例式的字母约定)．当a ，b 表示线段时，－ab 显然无意义，所以只取ab ．
通过达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》引入黄金分割的概念，再用黄金分割在建筑和自然界中广泛应用的现象来说明它的价值．教学中还可以举一些其他实例，让学生了解和感受黄金分割所体现的数学美，以及数学与生活实际的联系．课本中关于黄金比的概念是以较长线段与原线段的比来定义的，这个比值等于5－1
2
≈0.618．
黄金比的数值是通过解一元二次方程求得
的．设比值
AP
AB
＝x
，然后设法将比例式中的线段都用关于x的代数来表示．这种设未知数的方法比较独特，需要教师进行引导．根据比例式列出的方程含两个未知数(AB和x)，其中AB可以消去，这一变形过程同样需要教师进行必要的分析．
解：
因为点P
是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴
AP
AB＝
5－1
2，
∴AP＝
5－1
2AB＝
5－1
2×
5＋1
2＝1．
BP＝AB－AP＝
5＋1
2－1＝
5－1
2．
例5是为了及时巩固黄金分割，黄金比等概念而配置的，可以概括为已知分量与总量的比和总量求分量的问题．这类题学生并不感到困难．教学中要强调的是黄金比是较长一条线段与整条线段的比，也是较短一条线段与较长一条线段的比
1．解：(1)AC＝
5－1
2×AB＝
5－1
2×2＝5－1，
BC＝AB－AC＝2－(5－1)＝3－5．(2)AC︰BC＝5－1︰3－5＝
5＋1
2．
2．解：468×
5－1
2
≈289.2m．
答：它到塔底的距离大约是289.2m．
解：设她应该选择x米高的高跟鞋，
则
1.02＋x
1.68＋x≈0.618，解得x≈0.05．
答：她选择5厘米高的鞋子比较合适．
作业题
1．求线段a，b的比例中项线段．
(1)a＝4.5，b＝2．(2)a＝2－1，b＝2＋1．
解：(1)3．(2)1．
2．如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项．
解：
BC
AC＝
AC
AB．AC是AB，BC的比例中项．
3．一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为14cm，求它的长(精确到0.1cm)．解：14÷0.618≈22.7cm．
答：它的长约为22.7cm．
4．1︰2也是一个很有趣的比，已知线段AB(如图)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP︰AB＝1︰2．
解：(1)以AB为斜边作一个等腰直角三角形ABC．
(2)在AB上截取AP＝AC点P就是所求的点．
拓展题
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
1．作顶角为36°的等腰△ABC；量出底BC与腰AB的长度，计算BC︰AB≈__0.618________．(精确到0.001)
2．作∠B的平分线，交AC于点D，量出CD的长度，再计算：CD︰BC≈_____0.618_____．(精确到0.001)。