2020年全国统一高考数学(文)试卷(全国卷I)

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2020年全国统一高考数学(文)试卷(全国卷I)
1.已知集合A={x∣ x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5},则A∩B=( )
A.{−4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}
2.若z=1+2i+i3,则∣z∣=( )
A.0B.1C.√2D.2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边
长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.√5−1
4B.√5−1
2
C.√5+1
4
D.√5+1
2
4.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
A.1
5B.2
5
C.1
2
D.4
5
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:∘C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10∘C至40∘C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是()
A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+be x D.y=a+blnx
6.已知圆x2+y2−6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
7.设函数f(x)=cos(ωx+π
6
)在[−π,π]的图象大致如下图,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π
9B.7π
6
C.4π
3
D.3π
2
8.设alog34=2,则4−a=( )
A.1
16B.1
9
C.1
8
D.1
6
9.执行下面的程序框图,则输出的n=( )
A.17B.19C.21D.23
10.设{a n}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )
A.12B.24C.30D.32
11.设F1,F2是双曲线C:x2−y2
3
=1两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且∣OP∣=2,则△PF1F2的面积为( )
A.7
2B.3C.5
2
D.2
12.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆,若⊙O1的面积为4π,
AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为
A.64πB.48πC.36πD.32π
13.若x,y满足约束条件{2x+y−2≤0,
x−y−1≥0,
y+1≥0,
则z=x+7y的最大值为.
14.设向量a⃗=(1,−1),b⃗⃗=(m+1,2m−4),若a⃗⊥b⃗⃗,则m=.
15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.
16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1,前16项和为540,则a1=.
17.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加
工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数40202020
乙分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数28173421
(1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个
分厂承接加工业务?
18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150∘.
(1) 若a=√3c,b=2√7,求△ABC的面积;
(2) 若sinA+√3sinC=√2
2
,求C.
19.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一
点,∠APC=90∘.
(1) 证明:平面PAB ⊥平面PAC ;
(2) 设 DO =√2,圆锥的侧面积为 √3π,求三棱锥 P −ABC 的体积.
20. 已知函数 f (x )=e x −a (x +2).
(1) 当 a =1 时,讨论 f (x ) 的单调性; (2) 若 f (x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.
21. 已知 A ,B 分别为椭圆 E :
x 2a 2
+y 2=1(a >1) 的左,右顶点,G 为 E 的上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅GB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8,P 为直线 x =6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C ,PB 与 E 的另一交点为 D . (1) 求 E 的方程;
(2) 证明:直线 CD 过定点.
22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =cos k t,
y =sin k t
(t 为参数).以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ+3=0. (1) 当 k =1 时,C 1 是什么曲线?
(2) 当 k =4 时,求 C 1 与 C 2 的公共点的直角坐标.
23. 已知函数 f (x )=∣3x +1∣−2∣x −1∣.
(1) 画出 y =f (x ) 的图象;
(2) 求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
答案
1. 【答案】D
【解析】由x2−3x−4<0解得−1<x<4,所以A={x∣ −1<x<4}.又因为B={−4,1,3,5},所以A∩B={1,3}.
【知识点】交、并、补集运算
2. 【答案】C
【解析】因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i,
所以∣z∣=√12+12=√2.
【知识点】复数的乘除运算
3. 【答案】C
【解析】如图,设CD=a,PE=b.
则PO=√PE2−OE2=√b2−a
42.
由题意PO2=1
2ab,即b2−a2
4
=1
2
ab.
化简得4(b
a )
2
−2⋅b
a
−1=0,解得b
a
=1+√5
4
(负值舍去).
【知识点】棱锥的结构特征
4. 【答案】A
【解析】如图,
从O,A,B,C,D5个点中任取3个有{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,3点共线只有{A,O,C}与
{B,O,D}共2种情况,由古典概型的概率计算公式知,取到3点共线的概率为2
10=1
5

【知识点】古典概型
5. 【答案】D
【解析】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+blnx.
故选:D.
【知识点】线性回归方程
6. 【答案】B
【解析】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9,所以圆心C坐标为C(3,0),半径为3.设P(1,2),当过点P的直线和直线CP垂直时,
圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短.
根据弦长公式最小值为2√9−∣CP∣2=2√9−8=2.
【知识点】直线被圆截得的弦长
7. 【答案】C
【解析】由图可得:函数图象过点(−4π
9
,0).
将它代入函数f(x)可得:cos(−4π
9⋅ω+π
6
)=0.
又(−4π
9
,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,
所以−4π
9⋅ω+π
6
=−π
2
,解得:ω=3
2

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π
ω=2π3
2
=4π
3

【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
8. 【答案】B
【解析】由alog34=2可得log34a=2,
所以4a=9,
所以有4−a=1
9

【知识点】简单的对数方程与不等式(沪教版)
9. 【答案】C
【解析】依据程序框图的算法功能可知,输出的n是满足1+3+5+⋯+n>100的最小正奇数.
因为1+3+5+⋯+n=(1+n)×(n−1
2
+1)
2
=1
4
(n+1)2>100,
解得n>19,所以输出的n=21.
【知识点】程序框图
10. 【答案】D
【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q(1+q+q2)=q=2,
因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5(1+q+q2)=q5=32.
【知识点】等比数列的基本概念与性质
11. 【答案】B
【解析】由已知,不妨设F1(−2,0),F2(2,0).则a=1,c=2.
因为∣OP∣=1=1
2
∣F1F2∣,所以点P在以F1F2为直径的圆上.即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2,即∣PF1∣2+∣PF2∣2=16,又∣∣∣PF1∣−∣PF2∣∣∣=2a=2,
所以4=∣∣∣PF1∣−∣PF2∣∣∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2−2∣∣PF1∣∣PF2∣=16−2∣∣PF1∣∣PF2∣,
解得∣PF1∣∣PF2∣=6,所以S△F
1F2P =1
2
∣PF1∣∣PF2∣=3.
【知识点】双曲线中的弦长与面积
12. 【答案】A
【解析】设圆O1半径为r,球的半径为R,依题意,
得πr2=4π,
所以r=2,
由正弦定理可得AB=2rsin60∘=2√3,
所以OO1=AB=2√3,根据圆截面性质OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA=√OO12+O1A2=√OO12+r2=4,所以球O的表面积S=4πR2=64π.
故选:A.
【知识点】球的表面积与体积
13. 【答案】 1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示, 目标函数 z =x +7y ,即:y =−1
7x +1
7z ,
其中 z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值, 联立直线方程:{2x +y −2=0,
x −y −1=0 可得点 A 的坐标为:A (1,0),
据此可知目标函数的最大值为:z max =1+7×0=1.
【知识点】线性规划
14. 【答案】 5
【解析】由 a ⃗⊥b ⃗⃗ 可得 a ⃗⋅b
⃗⃗=0, 又因为 a ⃗=(1,−1),b
⃗⃗=(m +1,2m −4), 所以 a ⃗⋅b
⃗⃗=1⋅(m +1)+(−1)⋅(2m −4)=0,即 m =5. 【知识点】平面向量的数量积与垂直
15. 【答案】 y =2x
【解析】设切线的切点坐标为 (x 0,y 0),y =lnx +x +1,yʹ=1
x +1,
yʹ∣x=x
0=1
x0
+1=2,x0=1,y0=2,所以切点坐标为(1,2).
所求的切线方程为y−2=2(x−1),即y=2x.
【知识点】利用导数求函数的切线方程
16. 【答案】7
【解析】a n+2+(−1)n a n=3n−1,
当n为奇数时,a n+2=a n+3n−1;
当n为偶数时,a n+2+a n=3n−1.
设数列{a n}的前n项和为S n,
S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16
=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)
=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+ =8a1+392+92
=8a1+484
=540.
所以a1=7.
【知识点】分组求和法
17. 【答案】
(1) 由表可知,甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40
100
=0.4,乙厂加工出来的一件产
品为A级品的概率为28
100
=0.28.
(2) 甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90−25)+20×(50−25)+20×(20−25)−
20×(50+25)=1500元,
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件;
乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90−20)+17×(50−20)+34×(20−20)−
21×(50+20)=1000元,
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件.
故厂家选择甲分厂承接加工任务.
【知识点】古典概型、函数模型的综合应用
18. 【答案】
(1) 由余弦定理可得b2=28=a2+c2−2ac⋅cos150∘=7c2.
所以c=2,a=2√3,所以△ABC的面积S=1
2
acsinB=√3.
(2) 因为A+C=30∘,所以
sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC
=1
2cosC+√3
2
sinC
=sin(C+30∘)
=√2
2
.
因为0∘<C<30∘,所以30∘<C+30∘<60∘.
所以C+30∘=45∘,所以C=15∘.
【知识点】余弦定理
19. 【答案】
(1) 因为D为圆锥顶点,O为底面圆心,
所以OD⊥平面ABC,
因为P在DO上,OA=OB=OC,
所以PA=PB=PC,
因为△ABC是圆内接正三角形,
所以AC=BC,△PAC≌△PBC,
所以∠APC=∠BPC=90∘,
即PB⊥PC,PA⊥PC,
PA∩PB=P,
所以PC⊥平面PAB,PC⊂平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2) 设圆锥的母线为l,底面半径为r,圆锥的侧面积为πrl=√3π,rl=√3,OD2=l2−r2=
2,
解得r=1,l=√3,AC=2rsin60∘=√3,
在等腰直角三角形APC中,AP=√2
2AC=√6
2

在Rt△PAO中,PO=√AP2−OA2=√6
4−1=√2
2

所以三棱锥P−ABC的体积为V P−ABC=1
3PO⋅S△ABC=1
3
×√2
2
×√3
4
×3=√6
8

【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积
20. 【答案】
(1) 当a=1时,f(x)=e x−(x+2),fʹ(x)=e x−1,
令fʹ(x)<0,解得x<0,令fʹ(x)>0,解得x>0,
所以f(x)的减区间为(−∞,0),增区间为(0,+∞).
(2) 若f(x)有两个零点,即e x−a(x+2)=0有两个解,
从方程可知,x=2不成立,即a=e x
x+2
有两个解,
令 ℎ(x )=e x
x+2(x ≠−2),则有 ℎʹ(x )=
e x (x+2)−e x (x+2)2
=
e x (x+1)
(x+2)2
, 令 ℎʹ(x )>0,解得 x >−1,令 ℎʹ(x )<0,解得 x <−2 或 −2<x <−1, 所以函数 ℎ(x ) 在 (−∞,−2) 和 (−2,−1) 上单调递减,在 (−1,+∞) 上单调递增, 且当 x <−2 时,ℎ(x )<0,
而 x →−2+ 时,ℎ(x )→+∞,当 x →+∞ 时,ℎ(x )→+∞, 所以当 a =
e x x+2
有两个解时,有 a >ℎ(−1)=1e

所以满足条件的 a 的取值范围是:(1e
,+∞).
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的图象与性质
21. 【答案】
(1) 依据题意作出如下图象.
由椭圆方程 E :x 2
a 2+y 2=1(a >1) 可得:A (−a,0),B (a,0),G (0,1). 所以 AG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,−1),所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a 2−1=8. 所以 a 2
=9,所以椭圆方程为 x 29
+y 2=1.
(2) 设 P (6,y 0),则直线 AP 的方程为:y =
y 0−0
6−(−3)
(x +3),即:y =
y 09
(x +3).
联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得:{x 2
9+y 2=1,
y =y 09
(x +3),
整理得:(y 02+9)x 2+6y 02x +9y 02
−81=0,解得:x =−3 或 x =
−3y 02+27y 0
2+9.
将 x =
−3y 02+27y 0
2+9 代入直线 y =
y 09
(x +3) 可得:y =6y 0
y 0
2+9.
所以点 C 的坐标为 (−3y 02+27y 0
2+9,
6y 0
y 0
2+9). 同理可得:点 D 的坐标为 (
3y 02−3y 0
2+1,
−2y 0y 0
2+1).
所以直线 CD 的方程为 y −(
−2y 0
y 0
2+1
)=6y 0y 02+9−(−2y
0y 02+1
)−3y 02+27y 02+9−3y 02−3
y 02+1
(x −
3y 02−3y 0
2+1).
整理可得:y +2y
y 0
2+1=
8y 0(y 02+3)6(9−y 0
4)(x −
3y 02−3y 0
2+1
)=8y
6(3−y 0
2)(x −3y 02−3y 0
2+1).
整理得:y =4y 03(3−y 0
2)x +2y 0y 0
2−3=4y
3(3−y 0
2)(x −3
2).
故直线 CD 过定点 (3
2
,0).
【知识点】椭圆中的动态性质证明、椭圆的几何性质
22. 【答案】
(1) 当 k =1 时,曲线 C 1 的参数方程为 {x =cost,
y =sint (t 为参数), 两式平方相加得 x 2+y 2=1,
所以曲线 C 1 表示以坐标原点为圆心,半径为 1 的圆.
(2) 当 k =4 时,曲线 C 1 的参数方程为 {x =cos 4t,y =sin 4t (t 为参数),
所以 x ≥0,y ≥0,曲线 C 1 的参数方程化为 {√x =cos 2t,
√y =sin 2t (t 为参数),
两式相加得曲线 C 1 方程为 √x +√y =1,得 √y =1−√x , 平方得 y =x −2√x +1,0≤x ≤1,0≤y ≤1, 曲线 C 2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ+3=0, 曲线 C 2 直角坐标方程为 4x −16y +3=0, 联立 C 1,C 2 方程 {y =x −2√x +1,
4x −16y +3=0,
整理得 12x −32√x +13=0,解得 √x =1
2 或 √x =
136
(舍去),
所以 x =14,y =1
4,
所以 C 1,C 2 公共点的直角坐标为 (14,1
4). 【知识点】极坐标与极坐标方程、参数方程
23. 【答案】
(1) 因为 f (x )={x +3,x ≥1
5x −1,−1
3
<x <1−x −3,x ≤−
1
3,作出图象,如图所示:
(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 1 个单位,可得函数 f (x +1) 的图象,如图所示. 由 −x −3=5(x +1)−1,解得 x =−7
6. 所以不等式的解集为 (−∞,−7
6).
【知识点】绝对值不等式的求解、函数图象。

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