2020年全国统一高考数学(文)试卷(全国卷I)

2020年全国统一高考数学（文）试卷（全国卷I）
1.已知集合A={x∣ x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( )
A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}
2.若z=1+2i+i3，则∣z∣=( )
A．0B．1C．√2D．2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边
长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A．√5−1
4B．√5−1
2
C．√5+1
4
D．√5+1
2
4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A．1
5B．2
5
C．1
2
D．4
5
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是（）
A．y=a+bx B．y=a+bx2C．y=a+be x D．y=a+blnx
6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
7.设函数f(x)=cos(ωx+π
6
)在[−π,π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．10π
9B．7π
6
C．4π
3
D．3π
2
8.设alog34=2，则4−a=( )
A．1
16B．1
9
C．1
8
D．1
6
9.执行下面的程序框图，则输出的n=( )
A．17B．19C．21D．23
10.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( )
A．12B．24C．30D．32
11.设F1，F2是双曲线C：x2−y2
3
=1两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且∣OP∣=2，则△PF1F2的面积为( )
A．7
2B．3C．5
2
D．2
12.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，
AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为
A．64πB．48πC．36πD．32π
13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,
x−y−1≥0,
y+1≥0,
则z=x+7y的最大值为．
14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗⃗=(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗⃗，则m=．
15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．
16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=．
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加
工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数40202020
乙分厂产品等级的频数分布表
等级A B C D
频数28173421
(1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个
分厂承接加工业务？
18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150∘．
(1) 若a=√3c，b=2√7，求△ABC的面积；
(2) 若sinA+√3sinC=√2
2
，求C．
19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一
点，∠APC=90∘．
(1) 证明：平面PAB ⊥平面PAC ；
(2) 设 DO =√2，圆锥的侧面积为 √3π，求三棱锥 P −ABC 的体积.
20. 已知函数 f (x )=e x −a (x +2)．
(1) 当 a =1 时，讨论 f (x ) 的单调性； (2) 若 f (x ) 有两个零点，求 a 的取值范围．
21. 已知 A ，B 分别为椭圆 E ：
x 2a 2
+y 2=1(a >1) 的左，右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅GB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ． (1) 求 E 的方程；
(2) 证明：直线 CD 过定点．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cos k t,
y =sin k t
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ+3=0． (1) 当 k =1 时，C 1 是什么曲线？
(2) 当 k =4 时，求 C 1 与 C 2 的公共点的直角坐标．
23. 已知函数 f (x )=∣3x +1∣−2∣x −1∣．
(1) 画出 y =f (x ) 的图象；
(2) 求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
答案
1. 【答案】D
【解析】由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x∣ −1<x<4}．又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}．
【知识点】交、并、补集运算
2. 【答案】C
【解析】因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，
所以∣z∣=√12+12=√2．
【知识点】复数的乘除运算
3. 【答案】C
【解析】如图，设CD=a，PE=b．
则PO=√PE2−OE2=√b2−a
42．
由题意PO2=1
2ab，即b2−a2
4
=1
2
ab．
化简得4(b
a )
2
−2⋅b
a
−1=0，解得b
a
=1+√5
4
（负值舍去）．
【知识点】棱锥的结构特征
4. 【答案】A
【解析】如图，
从O，A，B，C，D5个点中任取3个有{O,A,B}，{O,A,C}，{O,A,D}，{O,B,C}，{O,B,D}，{O,C,D}，{A,B,C}，{A,B,D}，{A,C,D}，{B,C,D}共10种不同取法，3点共线只有{A,O,C}与
{B,O,D}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为2
10=1
5
．
【知识点】古典概型
5. 【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+blnx．
故选：D．
【知识点】线性回归方程
6. 【答案】B
【解析】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3．设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，
圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短．
根据弦长公式最小值为2√9−∣CP∣2=2√9−8=2．
【知识点】直线被圆截得的弦长
7. 【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点(−4π
9
,0)．
将它代入函数f(x)可得：cos(−4π
9⋅ω+π
6
)=0．
又(−4π
9
,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以−4π
9⋅ω+π
6
=−π
2
，解得：ω=3
2
．
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π
ω=2π3
2
=4π
3
．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
8. 【答案】B
【解析】由alog34=2可得log34a=2，
所以4a=9，
所以有4−a=1
9
．
【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）
9. 【答案】C
【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1+3+5+⋯+n>100的最小正奇数．
因为1+3+5+⋯+n=(1+n)×(n−1
2
+1)
2
=1
4
(n+1)2>100，
解得n>19，所以输出的n=21．
【知识点】程序框图
10. 【答案】D
【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=1，a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q(1+q+q2)=q=2，
因此，a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5(1+q+q2)=q5=32．
【知识点】等比数列的基本概念与性质
11. 【答案】B
【解析】由已知，不妨设F1(−2,0)，F2(2,0)．则a=1，c=2．
因为∣OP∣=1=1
2
∣F1F2∣，所以点P在以F1F2为直径的圆上．即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2，即∣PF1∣2+∣PF2∣2=16，又∣∣∣PF1∣−∣PF2∣∣∣=2a=2，
所以4=∣∣∣PF1∣−∣PF2∣∣∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2−2∣∣PF1∣∣PF2∣=16−2∣∣PF1∣∣PF2∣，
解得∣PF1∣∣PF2∣=6，所以S△F
1F2P =1
2
∣PF1∣∣PF2∣=3．
【知识点】双曲线中的弦长与面积
12. 【答案】A
【解析】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，
得πr2=4π，
所以r=2，
由正弦定理可得AB=2rsin60∘=2√3，
所以OO1=AB=2√3，根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，
所以OO1⊥O1A，R=OA=√OO12+O1A2=√OO12+r2=4，所以球O的表面积S=4πR2=64π．
故选：A．
【知识点】球的表面积与体积
13. 【答案】 1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 z =x +7y ，即：y =−1
7x +1
7z ，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程：{2x +y −2=0,
x −y −1=0 可得点 A 的坐标为：A (1,0)，
据此可知目标函数的最大值为：z max =1+7×0=1．
【知识点】线性规划
14. 【答案】 5
【解析】由 a ⃗⊥b ⃗⃗ 可得 a ⃗⋅b
⃗⃗=0， 又因为 a ⃗=(1,−1)，b
⃗⃗=(m +1,2m −4)， 所以 a ⃗⋅b
⃗⃗=1⋅(m +1)+(−1)⋅(2m −4)=0，即 m =5． 【知识点】平面向量的数量积与垂直
15. 【答案】 y =2x
【解析】设切线的切点坐标为 (x 0,y 0)，y =lnx +x +1，yʹ=1
x +1，
yʹ∣x=x
0=1
x0
+1=2，x0=1，y0=2，所以切点坐标为(1,2)．
所求的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x．
【知识点】利用导数求函数的切线方程
16. 【答案】7
【解析】a n+2+(−1)n a n=3n−1，
当n为奇数时，a n+2=a n+3n−1；
当n为偶数时，a n+2+a n=3n−1．
设数列{a n}的前n项和为S n，
S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16
=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)
=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+ =8a1+392+92
=8a1+484
=540.
所以a1=7．
【知识点】分组求和法
17. 【答案】
(1) 由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40
100
=0.4，乙厂加工出来的一件产
品为A级品的概率为28
100
=0.28．
(2) 甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90−25)+20×(50−25)+20×(20−25)−
20×(50+25)=1500元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90−20)+17×(50−20)+34×(20−20)−
21×(50+20)=1000元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【知识点】古典概型、函数模型的综合应用
18. 【答案】
(1) 由余弦定理可得b2=28=a2+c2−2ac⋅cos150∘=7c2．
所以c=2，a=2√3，所以△ABC的面积S=1
2
acsinB=√3．
(2) 因为A+C=30∘，所以
sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC
=1
2cosC+√3
2
sinC
=sin(C+30∘)
=√2
2
.
因为0∘<C<30∘，所以30∘<C+30∘<60∘．
所以C+30∘=45∘，所以C=15∘．
【知识点】余弦定理
19. 【答案】
(1) 因为D为圆锥顶点，O为底面圆心，
所以OD⊥平面ABC，
因为P在DO上，OA=OB=OC，
所以PA=PB=PC，
因为△ABC是圆内接正三角形，
所以AC=BC，△PAC≌△PBC，
所以∠APC=∠BPC=90∘，
即PB⊥PC，PA⊥PC，
PA∩PB=P，
所以PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PAC．
(2) 设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl=√3π，rl=√3，OD2=l2−r2=
2，
解得r=1，l=√3，AC=2rsin60∘=√3，
在等腰直角三角形APC中，AP=√2
2AC=√6
2
，
在Rt△PAO中，PO=√AP2−OA2=√6
4−1=√2
2
，
所以三棱锥P−ABC的体积为V P−ABC=1
3PO⋅S△ABC=1
3
×√2
2
×√3
4
×3=√6
8
．
【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积
20. 【答案】
(1) 当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，fʹ(x)=e x−1，
令fʹ(x)<0，解得x<0，令fʹ(x)>0，解得x>0，
所以f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞)．
(2) 若f(x)有两个零点，即e x−a(x+2)=0有两个解，
从方程可知，x=2不成立，即a=e x
x+2
有两个解，
令 ℎ(x )=e x
x+2(x ≠−2)，则有 ℎʹ(x )=
e x (x+2)−e x (x+2)2
=
e x (x+1)
(x+2)2
， 令 ℎʹ(x )>0，解得 x >−1，令 ℎʹ(x )<0，解得 x <−2 或 −2<x <−1， 所以函数 ℎ(x ) 在 (−∞,−2) 和 (−2,−1) 上单调递减，在 (−1,+∞) 上单调递增， 且当 x <−2 时，ℎ(x )<0，
而 x →−2+ 时，ℎ(x )→+∞，当 x →+∞ 时，ℎ(x )→+∞， 所以当 a =
e x x+2
有两个解时，有 a >ℎ(−1)=1e
，
所以满足条件的 a 的取值范围是：(1e
,+∞)．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的图象与性质
21. 【答案】
(1) 依据题意作出如下图象．
由椭圆方程 E ：x 2
a 2+y 2=1(a >1) 可得：A (−a,0)，B (a,0)，G (0,1)． 所以 AG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,1)，GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,−1)，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a 2−1=8． 所以 a 2
=9，所以椭圆方程为 x 29
+y 2=1．
(2) 设 P (6,y 0)，则直线 AP 的方程为：y =
y 0−0
6−(−3)
(x +3)，即：y =
y 09
(x +3)．
联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得：{x 2
9+y 2=1,
y =y 09
(x +3),
整理得：(y 02+9)x 2+6y 02x +9y 02
−81=0，解得：x =−3 或 x =
−3y 02+27y 0
2+9．
将 x =
−3y 02+27y 0
2+9 代入直线 y =
y 09
(x +3) 可得：y =6y 0
y 0
2+9．
所以点 C 的坐标为 (−3y 02+27y 0
2+9,
6y 0
y 0
2+9)． 同理可得：点 D 的坐标为 (
3y 02−3y 0
2+1,
−2y 0y 0
2+1)．
所以直线 CD 的方程为 y −(
−2y 0
y 0
2+1
)=6y 0y 02+9−(−2y
0y 02+1
)−3y 02+27y 02+9−3y 02−3
y 02+1
(x −
3y 02−3y 0
2+1)．
整理可得：y +2y
y 0
2+1=
8y 0(y 02+3)6(9−y 0
4)(x −
3y 02−3y 0
2+1
)=8y
6(3−y 0
2)(x −3y 02−3y 0
2+1)．
整理得：y =4y 03(3−y 0
2)x +2y 0y 0
2−3=4y
3(3−y 0
2)(x −3
2)．
故直线 CD 过定点 (3
2
,0)．
【知识点】椭圆中的动态性质证明、椭圆的几何性质
22. 【答案】
(1) 当 k =1 时，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cost,
y =sint （t 为参数）， 两式平方相加得 x 2+y 2=1，
所以曲线 C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．
(2) 当 k =4 时，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cos 4t,y =sin 4t （t 为参数），
所以 x ≥0，y ≥0，曲线 C 1 的参数方程化为 {√x =cos 2t,
√y =sin 2t （t 为参数），
两式相加得曲线 C 1 方程为 √x +√y =1，得 √y =1−√x ， 平方得 y =x −2√x +1，0≤x ≤1，0≤y ≤1， 曲线 C 2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ+3=0， 曲线 C 2 直角坐标方程为 4x −16y +3=0， 联立 C 1，C 2 方程 {y =x −2√x +1,
4x −16y +3=0,
整理得 12x −32√x +13=0，解得 √x =1
2 或 √x =
136
（舍去），
所以 x =14，y =1
4，
所以 C 1，C 2 公共点的直角坐标为 (14,1
4)． 【知识点】极坐标与极坐标方程、参数方程
23. 【答案】
(1) 因为 f (x )={x +3,x ≥1
5x −1,−1
3
<x <1−x −3,x ≤−
1
3，作出图象，如图所示：
(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 1 个单位，可得函数 f (x +1) 的图象，如图所示． 由 −x −3=5(x +1)−1，解得 x =−7
6． 所以不等式的解集为 (−∞,−7
6)．
【知识点】绝对值不等式的求解、函数图象。