(整理)届高三数学一轮复习133《导数的实际应用》测试(新人教b版选修2-2).

导数的实际应用
一、选择题
1．函数2
()sin f x x =的导数()f x '=（ ） A ．2sin x
B ．2
2sin x
C ．2cos x
D ．sin 2x
答案：D
2．已知函数3
2
23624y x ax x =++-在2x =处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A ．(23)，
B ．(3)+，∞
C ．(2)+，∞
D ．(3)-∞，
答案：B
3．曲线3
y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．
4
3
B ．
89
C ．
83
D ．
49
答案：C
4．设0()sin x f x tdt =⎰，则π2f f
⎡
⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
的值等于（ ） A ．1- B ．1
C ．cos1-
D ．1cos1-
答案：D
5．若函数x
e y x
=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，则0x 的值（ ）
A ．等于0
B ．等于1
C ．等于
12
D ．不存在
答案：C 6．定积分π2
20
sin 2
x
dx ⎰
的值等于（ ） A ．
π142-
B ．
π142
+ C ．
1π24
- D ．
π12
- 答案：A
7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，
货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为(00.048)x x ∈，
，为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ）
A ．0.032
B ．0.024
C ．0.04
D ．0.036
答案：A
8．若函数2
()ln (0)f x x x x =>的极值点为α，函数2
()ln (0)g x x x x =>的极值点为β，则有（ ）
A ．αβ>
B ．αβ<
C ．αβ=
D ．α与β的大小不确定
答案：A
9．由曲线x
y e =，x
y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于（ ）
A ．2
B ．22e -
C ．12e
-
D ．12e e
+
- 答案：D
10．函数32
()33f x x x x a =++-的极值点的个数是（ ） A ．2 B ．1
C ．0
D ．由a 确定
答案：C
11．经过点(30)，的直线l 与抛物线2
2
x y =
的两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于（ ） A ．16
-
B ．13
-
C ．
12
D ．12
-
答案：A
12．下列关于函数2
()(2)x
f x x x e =-的判断正确的是（ ） ①()0f x >的解集是{}|02x x <<；
②(f 是极小值，f 是极大值； ③()f x 既没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③
C ．②
D ．①②
答案：D 二、填空题
13．已知2()f x x =，3
()g x x =，若()()2f x g x ''-=-，则x = ．
答案：
13
± 14．若函数2
4()1
x
f x x =
+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．
答案：10m -<≤
15．一个质点以速度2
()6v t t t =-+（m/s ）运动，则在时间间隔(14)，上的位移是 ． 答案：31.5m 16．已知函数32
11()232
f x x x x m =+-+的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是 ．
答案：76
m ≥ 三、解答题
17．已知作用于某一质点的力01()11
2x x F x x x ⎧=⎨+<⎩，
≤≤，，≤（单位：N ），试求力F 从0x =处运动到2x =处
（单位：m ）所做的功． 答案：解：力F 所做的功1
2
2122
010
1
11(1)||3J 22W xdx x dx x x x ⎛⎫=++=
++= ⎪⎝⎭
⎰
⎰． 答：力F 所作的功为3J ．
18．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++．()f x 在点0x =处取得极值，并且在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性． （1）求实数b 的值；
（2）求实数a 的取值范围．
解：（1）2
()32f x x ax b '=++，因为()f x 在点0x =处取得极值， 所以(0)0f '=，即得0b =；
（2）令(0)0f '=，即2
320x ax +=，
解得0x =或2
3
x a =-． 依题意有2
03
a -
>． x (0)-∞， 0
203a ⎛
⎫-
⎪⎝⎭， 23a - 23a ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，
∞ ()f x ' +
0 -
+
()f x
极大值
极小值
因为在函数在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性，所以应有2
243
a -≤≤， 解得63a --≤≤．
19．已知函数3
()16f x x x =+-．
（1）求曲线()y f x =在点(26)-，
处的切线方程；
（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：（1）
32()(16)31f x x x x ''=+-=+，
∴在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=， ∴切线的方程为1332y x =-；
（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为2
00()31f x x '=+， ∴直线l 的方程为230
000(31)()16y x x x x x =+-++-． 又
直线l 过点(00)，，
23
00000(31)()16x x x x ∴=+-++-，
整理，得3
08x =-，02x ∴=-，
30(2)(2)1626y ∴=-+--=-，
l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，
∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．
20．如图所示，求抛物线2
2(0)y px p =>和过它上面的点12p P p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，的切线的
垂线所围成的平面图形的面积．
解：由题意令0)y x ≥，
1
22
22y p px px '=
=，2
|1p x y ='=，
所以过1P 点且垂直于过1P 点的抛物线的切线的直线的斜率为1-． 其方程为2p y p x ⎛
⎫-=-- ⎪⎝⎭
． 即2230x y p +-=．
与抛物线方程联立消去x ，得2
2
230y py p +-=，
解得y p =或3y p =-．
又3
2
x y p =-+
，所以所求平面图形的面积为 2
33
22p
p y S y p dy p -⎡⎤⎛⎫=-+
- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
⎰
23331|226p
p
y py y p -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
2222221319992
26222p p p p p p ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
163p =
．
21．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函
数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额2
0.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
解：（1）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w st =．
由w s
'=
-=
令0w '=，得2
01000t t s ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
．
当0t t <时，0w '>；当0t t >时，0w '<，
所以0t t =时，w 取得最大值．
因此乙方取得最大年利润的年产量0t 为2
1000s ⎛⎫
⎪⎝⎭
（吨）
； （2）设甲方净收入为v 元，则2
0.002v st t =-．
将2
1000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69
410210v s s =-⨯．
又635
10(8000)s v s ⨯-'=，
令0v '=，得20s =．
当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<， 所以20s =时，v 取得最大值．
因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入．
22．由曲线2
22(13)y x x =-≤≤及直线0y =，绕y 轴旋转所得的旋转体做容器，每秒钟向容器里注水
38cm ，问几秒钟后能注满容器？（坐标的长度单位是cm ）
解：如图，底面是x 轴上01x ≤≤部分的线段绕y 轴旋转所生成的圆，侧面是抛物
线2
22y x =-上13x ≤≤，016y <≤部分绕y 轴旋转所得的曲面．
由222y x =-，得2
2
2
y x +=
， 注满容器时的体积为16
216
30
2
π
π80π(cm )24y y V dy y ⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭⎰
． 每秒注水83
cm ，充满容器所需时间为80π810π÷=（秒）． 所以10π秒钟后能注满容器．。