(整理)届高三数学一轮复习133《导数的实际应用》测试(新人教b版选修2-2).

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导数的实际应用
一、选择题
1.函数2
()sin f x x =的导数()f x '=( ) A .2sin x
B .2
2sin x
C .2cos x
D .sin 2x
答案:D
2.已知函数3
2
23624y x ax x =++-在2x =处有极值,则该函数的一个递增区间是( ) A .(23),
B .(3)+,∞
C .(2)+,∞
D .(3)-∞,
答案:B
3.曲线3
y x =在点(11),处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为( ) A .
4
3
B .
89
C .
83
D .
49
答案:C
4.设0()sin x f x tdt =⎰,则π2f f


⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

的值等于( ) A .1- B .1
C .cos1-
D .1cos1-
答案:D
5.若函数x
e y x
=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数,则0x 的值( )
A .等于0
B .等于1
C .等于
12
D .不存在
答案:C 6.定积分π2
20
sin 2
x
dx ⎰
的值等于( ) A .
π142-
B .
π142
+ C .
1π24
- D .
π12
- 答案:A
7.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为(0)k k >,
货款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为(00.048)x x ∈,
,为使银行获得最大收益,则存款利率为( )
A .0.032
B .0.024
C .0.04
D .0.036
答案:A
8.若函数2
()ln (0)f x x x x =>的极值点为α,函数2
()ln (0)g x x x x =>的极值点为β,则有( )
A .αβ>
B .αβ<
C .αβ=
D .α与β的大小不确定
答案:A
9.由曲线x
y e =,x
y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于( )
A .2
B .22e -
C .12e
-
D .12e e
+
- 答案:D
10.函数32
()33f x x x x a =++-的极值点的个数是( ) A .2 B .1
C .0
D .由a 确定
答案:C
11.经过点(30),的直线l 与抛物线2
2
x y =
的两个交点处的切线相互垂直,则直线l 的斜率k 等于( ) A .16
-
B .13
-
C .
12
D .12
-
答案:A
12.下列关于函数2
()(2)x
f x x x e =-的判断正确的是( ) ①()0f x >的解集是{}|02x x <<;
②(f 是极小值,f 是极大值; ③()f x 既没有最小值,也没有最大值. A .①③ B .①②③
C .②
D .①②
答案:D 二、填空题
13.已知2()f x x =,3
()g x x =,若()()2f x g x ''-=-,则x = .
答案:
13
± 14.若函数2
4()1
x
f x x =
+在区间(21)m m +,上是单调递增函数,则实数m 的取值范围是 .
答案:10m -<≤
15.一个质点以速度2
()6v t t t =-+(m/s )运动,则在时间间隔(14),上的位移是 . 答案:31.5m 16.已知函数32
11()232
f x x x x m =+-+的图象不经过第四象限,则实数m 的取值范围是 .
答案:76
m ≥ 三、解答题
17.已知作用于某一质点的力01()11
2x x F x x x ⎧=⎨+<⎩,
≤≤,,≤(单位:N ),试求力F 从0x =处运动到2x =处
(单位:m )所做的功. 答案:解:力F 所做的功1
2
2122
010
1
11(1)||3J 22W xdx x dx x x x ⎛⎫=++=
++= ⎪⎝⎭

⎰. 答:力F 所作的功为3J .
18.已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++.()f x 在点0x =处取得极值,并且在单调区间[02],和[45],上具有相反的单调性. (1)求实数b 的值;
(2)求实数a 的取值范围.
解:(1)2
()32f x x ax b '=++,因为()f x 在点0x =处取得极值, 所以(0)0f '=,即得0b =;
(2)令(0)0f '=,即2
320x ax +=,
解得0x =或2
3
x a =-. 依题意有2
03
a -
>. x (0)-∞, 0
203a ⎛
⎫-
⎪⎝⎭, 23a - 23a ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭

∞ ()f x ' +
0 -
+
()f x
极大值
极小值
因为在函数在单调区间[02],和[45],上具有相反的单调性,所以应有2
243
a -≤≤, 解得63a --≤≤.
19.已知函数3
()16f x x x =+-.
(1)求曲线()y f x =在点(26)-,
处的切线方程;
(2)直线l 为曲线()y f x =的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标. 解:(1)
32()(16)31f x x x x ''=+-=+,
∴在点(26)-,处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=, ∴切线的方程为1332y x =-;
(2)设切点为00()x y ,,则直线l 的斜率为2
00()31f x x '=+, ∴直线l 的方程为230
000(31)()16y x x x x x =+-++-. 又
直线l 过点(00),,
23
00000(31)()16x x x x ∴=+-++-,
整理,得3
08x =-,02x ∴=-,
30(2)(2)1626y ∴=-+--=-,
l 的斜率23(2)113k =⨯-+=,
∴直线l 的方程为13y x =,切点坐标为(226)--,.
20.如图所示,求抛物线2
2(0)y px p =>和过它上面的点12p P p ⎛⎫
⎪⎝⎭
,的切线的
垂线所围成的平面图形的面积.
解:由题意令0)y x ≥,
1
22
22y p px px '=
=,2
|1p x y ='=,
所以过1P 点且垂直于过1P 点的抛物线的切线的直线的斜率为1-. 其方程为2p y p x ⎛
⎫-=-- ⎪⎝⎭
. 即2230x y p +-=.
与抛物线方程联立消去x ,得2
2
230y py p +-=,
解得y p =或3y p =-.
又3
2
x y p =-+
,所以所求平面图形的面积为 2
33
22p
p y S y p dy p -⎡⎤⎛⎫=-+
- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦

23331|226p
p
y py y p -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
2222221319992
26222p p p p p p ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
163p =

21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函
数关系x =s 元(以下称s 为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)甲方每年受乙生产影响的经济损失金额2
0.002y t =(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?
解:(1)因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为w st =.
由w s
'=
-=
令0w '=,得2
01000t t s ⎛⎫
== ⎪⎝⎭

当0t t <时,0w '>;当0t t >时,0w '<,
所以0t t =时,w 取得最大值.
因此乙方取得最大年利润的年产量0t 为2
1000s ⎛⎫
⎪⎝⎭
(吨)
; (2)设甲方净收入为v 元,则2
0.002v st t =-.
将2
1000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式,得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69
410210v s s =-⨯.
又635
10(8000)s v s ⨯-'=,
令0v '=,得20s =.
当20s <时,0v '>;当20s >时,0v '<, 所以20s =时,v 取得最大值.
因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =(元/吨)时,获最大净收入.
22.由曲线2
22(13)y x x =-≤≤及直线0y =,绕y 轴旋转所得的旋转体做容器,每秒钟向容器里注水
38cm ,问几秒钟后能注满容器?(坐标的长度单位是cm )
解:如图,底面是x 轴上01x ≤≤部分的线段绕y 轴旋转所生成的圆,侧面是抛物
线2
22y x =-上13x ≤≤,016y <≤部分绕y 轴旋转所得的曲面.
由222y x =-,得2
2
2
y x +=
, 注满容器时的体积为16
216
30
2
π
π80π(cm )24y y V dy y ⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭⎰
. 每秒注水83
cm ,充满容器所需时间为80π810π÷=(秒). 所以10π秒钟后能注满容器.。

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