高中数学选修1-2学案：2.1.2 演绎推理

2.1.2 演绎推理
[学习目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
[知识链接]
1．演绎推理的结论一定正确吗？
答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
2．如何分清大前提、小前提和结论？
答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
3．演绎推理一般是怎样的模式？
答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[预习导引]
1．演绎推理
2.三段论
3．演绎推理与合情推理的区别与联系
要点一用三段论的形式表示演绎推理
例1把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan α是三角函数，小前提
y＝tan α是周期函数．结论
规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．
解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；
小前提：海王星是太阳系里的大行星；
结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．
(2)大前提：所有导体通电时发热；
小前提：铁是导体；
结论：铁通电时发热．
(3)大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q；
小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；
结论：数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．
要点二演绎推理的应用
例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
证明 (1)连接BD .
∵三棱柱ABCA 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴A 1ABB 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点， ∴△A 1C 1D ≌△BCD ， ∴A 1D ＝BD ， ∵G 为A 1B 的中点， ∴A 1B ⊥DG ，
又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D . 又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .
(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，
∵GE ＝DC ＝1
2a ，∴四边形GECD 为平行四边形，
∴CE ∥GD .
又∵CE ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴CE ∥平面AB 1D .
规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．
跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －1
2x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明 y ＝(2x ＋1)－22x
＋1＝1－2
2x ＋1， 所以f (x )的定义域为R .
f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭
⎫1－2
2x ＋1
＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2
x
2x ＋1
＝2－2(2x ＋1)2x ＋1
＝2－2＝0.
即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－2
2x 2＋1
＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2
(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数． 要点三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影．
(1)求证：O 为△BCD 的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，
∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．
(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .
证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，
由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，
∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，
∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫1
2BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .
同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .
∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .
规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝n
a 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列
b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d
2(n －1)，
所以数列{b n }是以a 1为首项，d
2
为公差的等差数列.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠
B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1
2⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式
[答案] A
[解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．
2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝13
log x 是对数函数(小前提)，所以y
＝13
log x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A ．大前提错误导致结论错误
B ．小前提错误导致结论错误
C ．推理形式错误导致结论错误
D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 [答案] A
[解析] y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．
3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.
[答案] 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线
4.“如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”．
证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ，① 所以AD >BD ，② 于是∠ACD >∠BCD .③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
[答案]③
[解析]由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．。