2018-2019学年山东省潍坊一中高三(下)开学数学试卷(文科)(2月份)(解析版)

2018-2019学年山东省潍坊一中高三（下）开学数学试卷（文科）
（2月份）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|x＝n2，n∈M}，则M∩N＝（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，3}D．{9，16}
2．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝（1﹣i）2，则＝（）
A．﹣1+i B．1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
3．（5分）如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形往正方形内随机撒一把豆子（共m颗）．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗（n＜m），则L围成的区域面积（阴影部分）为（）
A．B．C．D．
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）
A．n＝6B．n＜6C．n≤6D．n≤8
5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点（π，0）对称
6．（5分）设a＝log54﹣log52，b＝ln+ln3，c＝lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A．B．C．D．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣3＝0，直线l：x+2+a（y﹣1）＝0（a∈R），则（）A．l与C相离B．l与C相切
C．l与C相交D．以上三个选项均有可能
10．（5分）函数，的图象大致是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则sin（+C）等于（）
A．1B．﹣C．D．
12．（5分）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，若|PF|+|P A|的最小值是9，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．2
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设向量＝（4，m），＝（1，﹣2），且⊥，则|+2|＝．14．（5分）设曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P 的横坐标为．
15．（5分）已知函数，则f（2019）＝．
16．（5分）体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC＝2：3，点E为线段BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是．
三、解答题：（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．（12分）已知数列是等差数列，且，a2＝4a7．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．
18．（12分）天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．
（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由随机模拟的方法得到的概率值；
（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x（单位：毫米）与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：
试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）
附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2，CD＝4，PC＝PD，∠P AB＝∠P AD＝60°．
（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；
（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．
20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为
．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的
一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+a的极小值为0．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式f（x）＜b（x﹣1）2对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）
22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．
（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|﹣2．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
2018-2019学年山东省潍坊一中高三（下）开学数学试卷
（文科）（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【解答】解：∵集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|x＝n2，n∈M}＝{1，4，9，16}，∴M∩N＝{1，4}．
故选：B．
2．【解答】解：由（1+i）z＝（1﹣i）2＝﹣2i，
得z＝，
∴．
故选：A．
3．【解答】解：由几何概型中的随机模拟试验得：
＝，
所以S阴＝，
故选：A．
4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S＝0，n＝2
满足条件，S＝，n＝4
满足条件，S＝+＝，n＝6
满足条件，S＝++＝，n＝8
满足条件，S＝+++＝，n＝10
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，
故判断框中填写的内容可以是n≤8，
故选：D．
5．【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y＝2sin（x﹣﹣）＝2sin（x﹣）的图象；
再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y＝2sin（2x﹣）的图象，
对于曲线C2：y＝2sin（2x﹣）：
令x＝，y＝1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；
令x＝，y＝2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；
令x＝，y＝﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；
令x＝π，y＝﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，
故选：B．
6．【解答】解：∵0＝log51＜a＝log54﹣log52＝log52＜log55＝1，
a＝log52＜b＝ln+ln3＝ln2＜lne＝1，
c＝lg5＝＝＞1，
∴a＜b＜c．
故选：A．
7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（5，﹣1），
的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率，∵．
∴的最小值为k＝．
故选：D．
8．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥平面ABS，AD＝2，
AB＝BC＝BS＝2，AB⊥BS，如图，
∴AS＝CD＝SC＝＝，DS＝＝，
∴C到直线DS的距离h＝＝，
∴该几何体的表面积：
S＝S△ABS+S△BCS+S△ADS+S△DCS+S梯形ABCD
＝+++
＝++．
故选：B．
9．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x+2+a（y﹣1）＝0，恒过定点（﹣2，1），设P 为（﹣2，1），
又由圆C：x2+y2+2x﹣3＝0，即（x+1）2+y2＝4，其圆心为（﹣1，0），半径r＝2，
有|PC|2＝[（﹣2）+1]2+12＝2＜r2，则P在圆C的内部，
则直线l与圆C一定相交，
故选：C．
10．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D
f（1）＝0，则f（e）＝＝＞0，排除A，
故选：C．
11．【解答】解：∵S＝ab sin C，cos C＝，
∴2S＝ab sin C，a2+b2﹣c2＝2ab cos C，
代入已知等式得：4S＝a2+b2﹣c2+2ab，即2ab sin C＝2ab cos C+2ab，
∵ab≠0，∴sin C＝cos C+1，
∵sin2C+cos2C＝1，
∴2cos2C+2cos C＝0，解得：cos C＝﹣1（不合题意，舍去），cos C＝0，
∴sin C＝1，
则sin（+C）＝（sin C+cos C）＝．
故选：C．
12．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，
双曲线的a＝2，
c＝，
可得F（﹣c，0），F'（c，0），
由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a＝4，
可得|PF|＝4+|PF'|，
则|PF|+|P A|＝4+|PF'|+|P A|≥4+|AF'|，
当A，P，F'共线时，取得等号．
4+|AF'|＝4+＝9，
解得c＝4，
则双曲线的离心率为e＝＝＝2．
故选：D．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵⊥，∴•＝4﹣2m＝0，解得m＝2．∴＝（4，2）+2（1，﹣2）＝（6，﹣2）．
∴|+2|＝＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝1+lnx，
∴y′|x＝1＝1，
由y＝，得y′＝﹣，设P（x0，y0），
则y′＝＝﹣，
由题意可得：﹣＝﹣1，
∴x0＝±2．
则P点的横坐标为±2．
故答案为：±2．
15．【解答】解：∵函数，∴f（2019）＝＝2020．
故答案为：2020．
16．【解答】解：设BC＝3k，则R＝2k（k＞0），设三棱锥的高为h，则，∴h＝．
∵球心O在了棱锥内部，∴h＞R，即＞2k，即k3＜12．
∵正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，
∴R2＝（h﹣R）2+（k）2，解得k3＝8或k3＝24（舍），
∴k＝2，R＝4．
∵E为线段BD的中点，OB＝OD＝4，BD＝6，∴OE＝．
∴当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时截面圆的半径r＝＝3，
∴截面圆面积最小值为πr2＝9π．
故答案为：9π．
三、解答题：（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．【解答】解：（Ⅰ）由于为等差数列，若设其公差为d，则，，，，解得，
于是，整理得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝，
所以＝．
18．【解答】解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有
191 271 932 812 393，共5个，
所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为
；
（Ⅱ）由题意可知，
，
，
；
所以，y关于x的回归方程为：．
将降雨量x＝6代入回归方程得：．
所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．
19．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，
则OD＝BA＝2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2，
所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，
因为PC＝PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，
由OP∩OB＝O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，
所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，
则在Rt△ABP中，∠P AB＝60°，AB＝2，
所以，
在Rt△DOP中，，
所以OB2+OP2＝4+8＝12＝PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB＝O
所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．
（2）解：由题设与（1）可得，
因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，
又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，
所以三棱锥Q﹣BCD的体积．
20．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点（0，1）与椭圆C的一个焦点重合，∴c＝1，又∵椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，则a2＝b2+c2＝2．故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，得（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，
△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＝4（2k2﹣2m2+4）＞0，
即k2﹣m2+2＞0．
，，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
＝．
由条件OA⊥OB，得3m2﹣2k2﹣2＝0，
原点O到直线l的距离是d＝，
由3m2﹣2k2﹣2＝0，得d＝为定值．
又圆心到直线l的距离为，∴直线l与圆由公共点P，满足条件．
由△＞0，即k2﹣m2+2＞0，∴＞0，即m2+2＞0．
又，即3m2≥2，
∴，即m或m．
综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
21．【解答】解：（1）∵f'（x）＝lnx，令f'（x）＝0，解得x＝1，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f（x）的极小值为f（1）＝﹣1+a，
由题意有﹣1+a＝0，解得a＝1．
（2）由（1）知不等式xlnx﹣x+1＜b（x﹣1）2对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵x＞0，∴在（1，+∞）上恒成立．
∵不妨设，x∈（1，+∞），则．
①当b≤0时，bx+b﹣1＜0，故h'（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，从而h
（x）＞h（1）＝0，∴h（x）＜0不成立．
②当b＞0时，令，解得．
若，即，
当时，h'（x）＞0，h（x）在上为增函数，故h（x）＞h（1）＝0，不合题意；
若，即，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，故h（x）＜h（1）＝0，符合题意．
综上所述，b的取值范围为．
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）
22．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）
由曲线C2的极坐标方程为ρ＝2得，
曲线C2的普通方程为x2+y2＝4；…（4分）
（2）法一：由曲线C2：x2+y2＝4，可得其参数方程为，
所以P点坐标为（2cosα，2sinα），
由题意可知M（0，），N（0，）．
因此|PM|+|PN|＝
＝+…（6分）
则（|PM|+|PN|）2＝14+2．
所以当sinα＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）
法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，
由题意可知M（0，），N（0，）．
因此|PM|+|PN|＝+＝+…（6分）则（|PM|+|PN|）2＝14+2．
所以当y＝0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）原不等式等价于或或
解得：或，∴不等式的解集为或．
（2）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2＝0，
且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。