高中数学同步讲义(人教A版选择性必修一)：空间向量及其运算的坐标表示(教师版)

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以O 为原点，分别以,,i j k
的方向
为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，,,i j k
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy
平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，,,i j k 为坐标向量，
对空间任意一点A ，对应一个向量OA
，且点A 的位置由向量OA
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi y j zk .在单位正交基底{,,}i j k 下与向量OA
对应的有序实数组(,,)x y z 叫做点A 在此空间直
角坐标系中的坐标，记作(,,)A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．
A．
1
0,,1
4
B．
1,0,1
4
【答案】C
(1)写出D ，C ，A ，B 四点的坐标；
(2)写出向量A B ，B B ，A C ，AC
的坐标．
【答案】(1)点A (3,0,2)，点B (3,4,2)，点C (0,4,0)(2)(0,4,0)A B ；(0,0,2)B B ；(3,4,0)A C ；【详解】（1）点D ¢在z 轴上，且2OD ，所以点D ¢的坐标是(0,0,2)．同理，点C 的坐标是(0,4,0)．
故选：A
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD
则
326,0,,3,0,033A D
设 ,,P x y z ，则3AP x 2326
233
AP AD x z P ∵在以M 为球心，以1为半径的球面上，
令
2326233
x z m ，则直线
2326
2033x z m 与单位圆令2
2
21
2326m
，解得0m 或
设(,,)(01,07,0P x y z x y (,,)(1,PM PN x y z x
2227x x y y z z 222171()()()222x y z 因为22171()()(x y z
【答案】
418
【详解】如图，建立空间直角坐标系则有 0,0,0D 10,0,2E ，F 131,,282FH
，
222
131282FH
u u u r 【典例3】（2023秋·山东日照·【答案】38
取1AA 的中点为H ，连接1B H 在正方体1111ABCD A B C D 中，又11B D 面11HB D ，BD 面所以//BD 面11HB D .同理可证：//DE 面11HB D .
又DB DE D ，所以平面B 【答案】
25
5
【详解】依题意，BA
则(0,0,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,2)B 设DE DC
，[0,1] ，则设(0,0,)F z ，02z ，则若线段EF 的长最小，则必满足因此，2||(2)(EF 当且仅当1
时等号成立，所以线段
设(0)AD a a ，(02)AP x x ，则 ,,2P a x ， 0,2,2C ， 10,0,0D ，
1,,2D P a x
， ,2,0CP a x
，
1D P PC ∵，
10D P CP
，
即2(2)0a x x ，所以222(1)a x x x 当02x 时，所以 2(1)10,1x ，所以a 故选：C ．
因为1AB AC AA 由于动点M 在“堑堵”的侧面又 6,6,0,BC BB 所以AM AB BM
又2AM ，所以AM
【详解】
如图所示，以1C 为中心建立空间直角坐标系，设 2,2,,0,2,2x EF y x
，1C 22
211112222
x x y x 2023春·高二课时练习）已知(1a
B ．
55
D
【详解】因为(1,1,)a t t t
，(2,,b t t
(1,21,0)a t t ，
2222(1)(21)052t t t t 由二次函数的图象和性质可知：当15t 时，.
2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB ，）
设1PA ，
,,M x y z ，故(0,0,1)P 由PM t PC 可知，x t
y t
，即
A．2【答案】A
则 2,0,0A ， 0,0,2C ，F CM BN a ∵，,0,22a M
222222MN a 则 2224MN a a 当2a 时，MN 最小，最小值为故选：A.2．
（2023·全国·高三专题练习）则a b ___________．
【答案】23
【详解】因为
2211a 所以2cos ,4a b a b a b 故213sin ,1()22
a b 所以32222
a b 故答案为：23
3．
（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末） 2,3,2B ．
【答案】答案见解析
【详解】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点E ，F ．由题意，知正方体 2,2,0B ， 12,0,2A ， 0,2,0C ，所以 ,2,0EF b a ， 2,,2AE a ，BF 因为 DE CF DE CF ，所以 DE 因为 0,,2DE a ， ,0,2b CF ，所以所以1a b ，故存在点 0,1,2E ，F 方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点E ，F ．由题意，知正方体 2,2,0B ， 12,0,2A ， 0,2,0C ，所以设 0,,202E a a ， ,2,20F b 所以 142EF A C a b ，AE BF 所以22
1722a ，解得12a ．又
所以EF 与DB 不共线，所以2b a ，即2a b ，则 1420EF A C a b ，故不存在点E ，F 满足1
0EF AC ．。