《步步高-学案导学设计》2013-2014学年-高中数学-人教A版选修2-2--数学归纳法(一)

关
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研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3(一)
问题4 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可
按下列步骤进行：
本 课
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
时 栏
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明
问题1 有一串鞭炮相互连结在一起，点着第1个后，整串
本 课
鞭炮便一个接着一个响了起来，直到最后一个．
时 栏
请问：为什么能响到最后一个？
目
开 答 因为这些鞭炮之间相互连结着．
关
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§2.3(一)
问题2 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链
能够被成功推倒，靠的是什么？
本 课 时 栏 目 开 关
§2.3(一)
【学习要求】
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
本 【学法指导】
课
时
“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步
栏
目
研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的
开
关
推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学
习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证
法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳
2021假/4/6设，而用的是等差数列求和公式．
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探究点二 用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n2＝nn＋162n＋1(n∈N*)．
本 证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
课
时 栏 目
右边＝1×1＋1×6 2×1＋1＝1，
开 关
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即
12＋22＋…＋k2＝kk＋162k＋1，
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§2.3(一)
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那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝kk＋162k＋1＋(k＋1)2
本 ＝kk＋12k＋61＋6k＋12
课 时 栏
＝k＋12k62＋7k＋6
明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证
有据的习惯．
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填一填·知识要点、记下疑难点
§2.3(一)
1．数学归纳法
本
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
课 时
①(归纳奠基)证明当n取第__一__个__值__n_0_(_n_0∈__N__*)_时命题成立；
栏 目
②(归纳递推)假设_当__n_＝__k(_k_≥__n_0_，__k_∈__N_*_)时__命__题__成__立__，__证__
目 开 关
＝k＋1k＋622k＋3
＝k＋1[k＋1＋61][2k＋1＋1]，
即当n＝k＋1时等式也成立．
202根1/4据/6 (1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
§2.3(一)
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§2.3(一)
小结 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命
本 题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式
课 时
的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k
栏 目
到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
开
关
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§2.3(一)
跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋ n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)．
本 课
证明
当n＝1时，左边＝1－
1 2
＝
1 2
，右边＝
1 2
，所以等式成
时 栏 目 开
立．
假设n＝k(k∈N*)时，1－12＋
1 3
－14＋…＋
2k－1 1－
21k＝
1 k＋1
＋
关 k＋1 2＋…＋21k成立．
那么当n＝k＋1时，
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§2.3(一)
1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k＋11－1－2k1＋1
目 开
当n＝k＋1时命题也成立．
关 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有
正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
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§2.3(一)
问题5 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如
采用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．
(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
本 课
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2＋2k＋1]＝(k＋1)2等式也成立．
开 关
由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未
用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳
本 课
答 (1)第一张牌被推倒；
时
栏 (2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒
目
开 下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
关
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件
(1)给出了骨牌倒下的基础．
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§2.3(一)
问题3
对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝
开 关
明__当__n_＝__k_＋__1_时__命__题__也__成__立____．
2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与_正__整__数__n_有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
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§2.3(一)
探究点一 数学归纳法的原理
本 课
则当n＝k＋1时ak＋1＝1＋akak(已知)
时
1
栏 目 开 关
＝1＋k 1k(代入假设)
1 ＝k＋k 1(变形)
k
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§2.3(一)
＝k＋1 1(目标)
本
课 时
即当n＝k＋1时，结论也成立．
栏 目 开
由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝1n成立．
an 1＋an
，试写出
a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？
怎样证明？
本 答 a1＝1
课
时 栏
a2＝12
目
开 关
a3＝13
a4＝14 猜想an＝1n(n∈N*)．
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§2.3(一)
以下为证明过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝11,所以结论成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝1k，