模糊数学2

２、建立模糊相似矩阵（标定）
建立 xi 与 x j相似程度rij R( xi , x j )的方法主要有：
（1）相似系数法
m
xik x jk
①夹角余弦法 rij
k 1 m
m
xi2k
x
2 jk
k 1
k 1
②相关系数法 rij
m
xik xi x jk x j
k 1
m
m
( xik xi )2
1 0.60 0.57 1
0.44 0.2 1 0.5
0.11 0.10 0.29 0.67
1 0.54 0.62 0.63 0.24 0.54 1 0.55 0.70 0.53
R 0.62 0.55 1 0.56 0.37
0.63 0.70 0.56 1 0.38
0.24 0.53 0.37 0.38 1
m
d( xi , x j )
( xik x jk )2
k 1
③Chebyshev距离
2020年6月11日
d( xi ,
xj)
max
1 k n
xik
x jk
5
模糊聚类分析
（3）贴近度法
①最大最小法 ②算术平均最小法 ③几何平均最小法
2020年6月11日
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
2020年6月11日
8
模糊聚类分析
80 10 6 2
解：由题设知特性指标矩阵为
50
X*
90 40
10
1
6 5
1ห้องสมุดไป่ตู้
6
4 7
2
4 463
采用最大值规格化法将数据规格化为
xij
Mxij00j ..5869M0j .110m00a..x88(66x1
0j ,.3x32j
0.67
,
, xnj )
X
模糊聚类分析
模糊聚类的一般步骤
１、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 , , xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 , , xim } (i 1,2, , n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
t ( R)1
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 5 类：{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }.
2020年6月11日
12
模糊聚类分析
取 0.7，得
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
t( R)0.7
11
模糊聚类分析
将t( R)中的元素从大到小编排如下： 1 0.63 0.62 0.63 0.53
0.63 1 0.62 0.70 0.53
1>0.70>0.63>0.62>0.53
0.62 0.62 1 0.62 0.53
取 1 ，得
0.63 0.70 0.62 1 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 1
2020年6月11日
10
用平方法合 成传递闭包
1 0.63 0.62 0.63 0.53 0.63 1 0.62 0.70 0.53
t(R) R4 0.62 0.62 1 0.62 0.53
0.63 0.70 0.62 1 0.53
0.53 0.53 0.53 0.53 1
2020年6月11日
2020年6月11日
7
模糊聚类分析
例：考虑某环保部门对该地区 5 个环境区域 X { x1, x2 , x3 , x4 , x5 }按污染情况进行分类。设每个区 域包含空气、水分、土壤、作物 4 个要素，环境区域 的污染情况由污染物在 4 个要素中的含量超过的程度 来衡量。设这 5 个环境区域的污染数据为： x1 (80,10,6,2), x2 (50,1,6,4), x3 (90,6,4,6), x4 (40,5,7,3), x5 (10,1,2,4). 试对 X 进行分类。
0
0
1
0
0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 4 类： { x1},{ x3 },{ x2 , x4 },{ x5 }.
取 0.63 ，得
1 1 0 1 0 1 1 0 1 0
t( R)0.63
0
0
1
0
0
1 1 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 3 类： { x1, x2 , x4 },{ x3 },{ x5 }.
1 0.44
0.11
0.60 0.2
0.10
0.57 1
0.29
00..1657
2020年6月11日
9
模糊聚类分析
m
用最大最小法构造
( xik x jk )
模糊相似矩阵得到
rij
k 1 m
( xik x jk )
k 1
0.89 1 0.86 0.33
0.56 0.10 0.86 0.67
( x jk x j )2
k 1
k 1
2020年6月11日
4
模糊聚类分析
（2）距离法
一般地，取rij 1 c(d ( xi , x j )) ，其中c, 为
适当选取的参数，它使得0 rij 1.采用的距离有：
①Hamming距离
m
d( xi , x j ) xik x jk
k 1
②Euclid距离
( xik x jk )
k 1
m
( xik x jk )
rij
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik . x jk
k 1
6
模糊聚类分析
3、聚类并画出动态聚类图
（1）模糊传递闭包法 步骤： ①求出模糊相似矩阵 R的传递闭包t(R)； ②按 由大到小进行聚类； ③ 画出动态聚类图。
xij m1iinn{xij } m1iaxn {xij } m1iinn{xij}
（3）极差标准化
xij
xij xi max{xij } min{xij }
（4）最大值规格化
xij
xij Mj
其中： M j max(x1 j , x2 j , , xnj )
2020年6月11日
3
模糊聚类分析
2020年6月11日
1
模糊聚类分析
（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成
xij，即
xij
xij x j Sj
(1 j m)
式中：
xj
1 n
n i1
xij , S j
1 n
n i1
( xij
xj )2 .
2020年6月11日
2
模糊聚类分析
（2）极差正规化
x 'ij