模糊数学2
模糊数学2运算分解定理
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理 表现定理 扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化 为经典集合论的问题来求解
模糊集合 水平截集
经典集合
49
分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子 集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则 如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
24
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)
模糊数学综合评价法
模糊数学综合评价法模糊综合评价法（fuzzy prehensive evaluation method）模糊数学综合评价法 1模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊数学综合评价法 2为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）＝全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
一级评价因素的权重之和为1；每个评价因子的下一个评价因子的权重之和为1。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
加权平均评价值（Epw）＝平均评价值（Ep）×权重（W）。
模糊综合评价法及例题2
0 .30 .30 .30 .2
算子
▪ (2) M(•,)算子
m
skj 1 (jrj) k ＝ 1 m j ma jr x jk, k 1 ,2 , ,n
(0.3 0.3 0.4) 00..53
0.3 0.4
0.2 0.2
0 0.1
0 .10 5 .10 2 .10 2 .0 8
skm 1 i,nmjrjk , k1,2, ,n
j 1
(0.3 0.3 0.4) 00..53
0.3 0.4
0.2 0.2
0 0.1
0.2 0.2 0.3 0.2
0 .80 .80 .70 .3
模糊综合评价
▪ 以上四个算子在综合评价中的特点是
模糊综合评价
0.2 0.2 0.3 0.2
算子
▪ (3) M(,)
m
skm 1 i,nmij,n rjk,
k 1,2, ,n
j 1
(0.3 0.3 0.4) 00..53
0.3 0.4
0.2 0.2
0 0.1
0.2 0.2 0.3 0.2
0 .80 .80 .70 .3
算子
▪ (4) M(•,)
u∈U，u A Au ，Au0,1 ，那么 A 叫做
U的一个模糊子集，Au 叫做u的隶属函数，也
记做 A u。
模糊集合论的基础知识
▪ 常用表示方法
模糊集合论的基础知识
模糊集合论的基础知识
模糊集合论的基础知识
模糊集合论的基础知识
模糊集合论的基础知识
▪ 模糊集合的运算
模糊集合论的基础知识
例：评价某种牌号的手表U＝{x1,x2,x3,x4}，其中x1表示外观式样，x2表示走时准确，x3表示价格，x4表示质量。
模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量
模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学方法。
在现实世界中，许多问题往往不能用精确的数值进行描述，而是存在模糊性。
模糊拓扑和模糊度量是模糊数学中重要的两个概念，它们在解决模糊性问题和形式化模糊集合论中起着重要的作用。
一、模糊拓扑模糊拓扑是研究模糊空间和模糊集合之间关系的数学分支。
它将传统拓扑学中的集合、映射和连续性等概念推广到模糊集合上，以适应处理模糊性问题的需求。
模糊拓扑中的基本概念包括模糊邻域、模糊开集、模糊闭集等。
模糊邻域是模糊拓扑研究的核心概念之一。
传统拓扑学中的邻域是用确定的集合表示的，而模糊邻域则是用隶属函数表示的。
隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度，它可以是一个取值在[0,1]上的实函数。
模糊邻域的定义使得我们能够在不确定的情况下，通过隶属函数的取值确定元素在模糊集合中的位置关系。
模糊拓扑中的模糊开集和模糊闭集分别对应了传统拓扑学中的开集和闭集。
模糊开集是一个隶属函数，它描述了一个模糊集合中的元素在该开集中的隶属程度。
模糊闭集则是相对于模糊开集的补集，描述了元素不属于该闭集的程度。
通过模糊拓扑可以定义模糊收敛和模糊连通性等概念。
模糊收敛描述了模糊空间中一列模糊集合的极限行为，模糊连通性则描述了模糊拓扑空间中的连接性。
二、模糊度量模糊度量是模糊数学中描述模糊集合之间相似性和距离的度量方法。
传统度量空间中的距离公式无法直接用于模糊集合，因为模糊集合的元素隶属于集合的程度不是确定的，而是模糊的。
模糊度量的目标是通过定义一种适用于模糊集合的距离函数，来衡量模糊集合之间的相似性或距离。
模糊度量的定义通常基于模糊集合之间的集合运算和隶属函数的运算。
其中，模糊相似度度量是一种常见的度量方法，它可以通过计算模糊集合的交集和并集来衡量模糊集合之间的相似性。
除了模糊相似度度量外，还存在其他一些度量方法，如模糊欧氏距离、模糊马氏距离等。
这些度量方法通过将模糊集合的隶属函数映射到实数域上，从而实现模糊集合之间的距离计算。
模糊数学评价方法教程
模糊综合评价法（见课件）模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．一、单因素模糊综合评价的步骤 1．根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集合},,,{21m u u u U =例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．2．给出评价等级（evaluation grade ）集合},,,{21n v v v V =如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价指标的权重（weight ）},,,{21m W μμμ =权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ．4．确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2.03=R那么该项成果的评价矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ⨯=1)(μ，n m ji r R ⨯=)(，那么()()n mn m m n n m s s s r r r r r rr r r R W S ,,,,,,2121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==μμμ其中“ ”为模糊合成算子．进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种：(1) ),(∨∧M 算子(){}n k r r s jkj mj jk j mj k ,,2,1,,min max )(11=∧=≤≤=∨μμ＝符号“∧”为取小， “ ∨” 为取大．例如：n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧∨∧∨∧=S =)2.03.03.0(∨∨ =3.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (2) (M ﹒),∨算子{}n k r r s jk j mj jk j mj k ,,2,1,max )(11=⋅⋅=≤≤=∨μμ＝例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1⨯∨⨯∨⨯=S =)08.009.015.0(∨∨ =15.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (3) ),(⊕∧M 算子“⊕”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数t x x x ,,,21 有⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ．利用),(⊕∧M 算子，有()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧⊕∧⊕∧=S =)2.03.03.0(⊕⊕ =0.8其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (4) (M ﹒),⊕算子n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中3.0(1=S •3.0()5.0⊕•4.0()3.0⊕•)2.0 =)08.009.015.0(⊕⊕ =0.32以上四个算子在综合评价中的特点是：),(∨∧M 和(M ﹒),∨在运算中能突出对综合评判起作用的主要因素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．),(⊕∧M 和(M ﹒),⊕在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1) 最大隶属原则模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即),,,m ax (21n S S S M =M 所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．(2) 加权平均原则加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为∑∑==⋅=n i k ini ki iss u 11*)(νμ （12－1）其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当∞→k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．例如：对()2.0,3.0,3.0,3.0=S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i νμ分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有*=1k u =2.03.03.03.02.013.023.033.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.64即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．(3) 模糊向量单值化如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c >>> 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为∑∑==⋅=n i kini ki iss cc 11 （12－2）其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．二、多级模糊综合评判有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．以二级综合评判为例给出其数学模型： 设第一级评价因素集为},,,{21m u u u U =各评价因素相应的权重集为},,,{21m W μμμ =第二级评价因素集为},,,{21ik i i i u u u U = m i ,,2,1 =相应的权重集为},,,{21ik i i i W μμμ =相应的单因素评判矩阵为：[]nk jl i r R ⨯= k l ,,2,1 =二级综合评判数学模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mR W R W R W W B2211三、模糊综合评判应用举例某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．表12-1 很好、好、一般、差的标准指标 很好 好 一般 差 疗效 治愈 显效 好转 无效 住院日≤1516~2021~25＞25 费用（元） ≤14001400~18001800~2200＞2200表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表 指标很好 质量好 等级一般差疗效01年 02年 160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年 180 200 250 310130 12040 20费用01年 02年 130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．1．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即）（3.0,2.0,5.0=W4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.05．综合评价作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),(∨∧M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：n k s R W S ⨯==111)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 =()117.0217.0500.0267.0n k s R W S ⨯==122)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0=()154.0185.0500.0262.0按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),(∨∧M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1． 2001年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i ii iik ss u νμ=117.0217.0500.0267.0117.01217.02500.03267.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.8332002年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i i i i i k s s u νμ=154.0185.0500.0262.0154.01185.02500.03262.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.790 2001年的工作质量略好于2002年．以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊运算的时候可以采用),(⊕∧M 算子或(M ﹒),⊕算子．。
模糊数学例题大全
模糊数学例题大全标题：模糊数学例题大全模糊数学，又称为模糊性数学或者弗晰数学，是一个以模糊集合论为基础的数学分支。
它不仅改变了过去精确数学的观念，而且广泛应用于各个领域，从物理学、生物学到社会科学，甚至。
下面，我们将通过一些具体的例题来展示模糊数学的应用。
例1：模糊逻辑门在经典的逻辑门中，我们使用AND、OR和NOT等操作符来处理布尔值（0或1）。
然而，在现实世界中，很多情况并不是绝对的0或1。
例如，我们可以将“温度高”定义为大于25度，但24度是否算高呢？模糊逻辑门提供了更广泛的定义方式，允许我们使用模糊集合来描述这些边界情况。
例2：模糊聚类分析在统计学中，聚类分析是一种将数据集分类成几个组的方法，其中同一组内的数据点相似度高。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的数值来描述数据点的相似度。
这时，模糊聚类分析就派上用场了。
它允许我们使用模糊矩阵来表示数据点之间的相似度，从而更准确地分类数据。
例3：模糊决策树在机器学习中，决策树是一种用于分类和回归的算法。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的规则来描述决策过程。
这时，模糊决策树就派上用场了。
它允许我们在决策节点使用模糊规则来代替传统的布尔值规则，从而更好地模拟人类的决策过程。
例4：模糊控制系统在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来控制系统的行为。
然而，在某些情况下，系统的输入和输出并不是绝对的0或1。
这时，模糊控制系统就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述系统的输入和输出，从而更准确地控制系统的行为。
例5：模糊图像处理在图像处理中，我们通常需要分类、识别或分割图像中的对象。
然而，在某些情况下，图像中的对象边界并不清晰。
这时，模糊图像处理就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述图像中的对象边界，从而更准确地分类、识别或分割图像中的对象。
以上只是模糊数学众多应用的一小部分。
这个领域仍在不断发展，为解决各种复杂的现实问题提供了新的工具和方法。
通过学习模糊数学，我们可以更好地理解和处理那些边界模糊、难以用传统数学方法描述的问题。
模糊数学法的原理及应用
模糊数学法的原理及应用1. 引言模糊数学是一种基于模糊逻辑的数学方法，其目的是处理那些现实世界中存在不确定性和模糊性的问题。
相对于传统的二值逻辑，模糊数学可以更好地刻画事物的模糊性和不确定性，因此被广泛应用于各个领域。
2. 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念包括模糊集合、隶属函数和模糊关系等。
2.1 模糊集合模糊集合是指元素隶属于集合的程度可以是连续的，而不仅仅是二值的。
模糊集合可以用隶属函数来描述，隶属函数将元素和隶属度之间建立了映射关系。
2.2 隶属函数隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度。
隶属函数通常是一个在区间[0, 1]上取值的函数，表示元素隶属于模糊集合的程度。
2.3 模糊关系模糊关系是指模糊集合之间的关系。
模糊关系可以用矩阵来表示，其中每个元素表示了模糊集合之间的隶属度。
3. 模糊数学的应用模糊数学在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实例。
3.1 模糊控制模糊控制是一种通过模糊逻辑和模糊推理来进行控制的方法。
模糊控制可以应用于各种物理系统，例如温度控制、汽车驾驶等，通过模糊控制可以更好地应对系统不确定性和模糊性的问题。
3.2 模糊分类模糊分类是一种模糊集合的分类方法。
与传统的二值分类不同，模糊分类可以更好地处理具有模糊边界的样本。
模糊分类可以应用于各种模式识别和数据挖掘任务中。
3.3 模糊优化模糊优化是一种利用模糊数学方法进行优化的技术。
传统的优化方法通常需要准确的数学模型和目标函数，而模糊优化可以在模糊和不确定的情况下进行优化。
3.4 模糊决策模糊决策是一种基于模糊逻辑和模糊推理的决策方法。
模糊决策可以用于各种决策问题，例如投资决策、风险评估等，通过模糊决策可以更好地处理决策中的不确定性和模糊性。
4. 总结模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的有效方法，它可以更好地刻画现实世界中存在的模糊信息。
模糊数学在控制、分类、优化和决策等领域都有广泛的应用。
随着人工智能和大数据技术的不断发展，模糊数学的应用将会更加重要和广泛。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学方法及其应用
i=j i≠j i , j=1,2,…,n
适当选取M，使得0≤rij≤1。 (2)欧氏距离 欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。 见相似性度量聚类中的相似系数。
12
(3)切比雪夫距离 切比雪夫距离
d ij = ∨ xik − x jk
k =1
m
(i, j = 1,2, L , n)
建立模糊相似矩阵的其他方法,就不再介绍了。 建立模糊相似矩阵的其他方法 就不再介绍了。 就不再介绍了 三、聚类 1.模糊等价矩阵 模糊等价矩阵 给定U上的一个模糊关系Rij=[rij]n×n, 若它满足: × 若它满足 (1)自反性 rij=1 )； 自反性( 自反性 ； (2)对称性 rij=rji )； 对称性( 对称性 ； (3)传递性 R o R ⊆ R )； 传递性( 传递性 ； 上的一个模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 则称R是U上的一个模糊等价矩阵。
第j类中第 个变量的平均值 x 类中第k个变量的平均值 类中第 个变量的平均值:
x
( j) k
( j) k
1 = nj
( xikj ) ∑ i =1
nj
( (k = 1,2,L, m); x ( j ) = ( x1( j ) , x 2( j ) , L, x mj ) )
1 n x k = ∑ xik (k = 1,2, L , m); x = ( x1 , x 2 , L , x m ) n i =1
第十一章 模糊数学方法及其应用
§1 模糊聚类分析(参考内容) §2 模糊模型识别(参考内容)
1
前言 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 现象的数学。 现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异 的中间过渡界线的“不分明性” 的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气 油田规模的大小，成油地质条件的优劣， 性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭 的形态，岩石的颜色等。 的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的， 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可 以采用定量的方法来度量， 以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数 值来表达， 值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进 行推断或识别。 行推断或识别。
模糊数学-模糊集的基本运算
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
模糊数学习题解答
3. 证明: (2) 设n m ij n m ij b B a A ××==)(,)(，则ij ij ij ij ij ij ij ij a b a b b a b a B A =∧⇔=∨⇔≤⇔⊆。
即A B A B B A B A =∩⇔=∪⇔⊆(4) 设，则，。
故,)(n m ij a A ×=,)()(n m ij a A ×=λλm n ij T c A ×=)()(λ11)(=⇔≥⇔=λλji ji ij a a c 00)(=⇔<⇔=λλji ji ij a a c T T A A )()(λλ=5. 证明：先用归纳法证A B B A k k o o =，事实上，k =1时成立，设k=n 时成立，即A B B A n n o o =， k=n+1时，B A B B B A B A n n n o o o o o ==+1，A B A B B n n o o o 1+==，故有A B B A k k o o =再证。
事实上，k =1时成立，设k=n 时成立，即k k k B A B A o o =)(n n n B A B A o o =)( k=n+1时， B B A A B A B A B A B A B A n n n n n n o o o o o o o o o o ===+)()()(111++=n n B A o 。
故有k k k B A B A o o =)(6. 证明：用归纳法。
m =1时成立，设m=n 时成立，m=n +1 时，11)()()()()(++∪∪∪=∪∪∪∪=∪∪=∪n n n n A A I A I A A I A I A I A I L o L o 故m=n +1 时成立。
所以有m m A A I A I ∪∪∪=∪L )(8. 证明：设，由A, B 都是模糊自反矩阵，，所以，，n n ij n n ij b B a A ××==)(,)(1,1==ii ii b a 1=∨ii ii b a 1=∧ii ii b a 1)()(=∧≥∧∨ii ii ki ik b a b a ，又，因此有1)(≤∧∨ki ik b a 1)(=∧∨ki ik b a 。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊数学原理与应用
14
经典集合的一些性质
设A, B是X的任意两个子集，记
A, B∈P(X), A∪B, A∩B和Ac分别表示A和
B的并集、交集和A的余（补）集。
15
集合的并、交、补运算
对于A,B,C P(X)，集合的并、交、余运算具有 如下性质： 幂等律 A∪A=A , A∩A=A 交换律 A∪B=B∪A , A∩B=B∩A 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
举例：X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又：X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0, 0.1),(1, 0.3),(2, 0.7),(3, 1.0),(4, 0.7),(5, 0.3),(6, 0.1)}
26
举例说明
例，某人事部门要对五个待安排的职员的工作能力
打分，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域： U = {x1,x2,x3,x4,x5}
现分别对每个职员的工作能力按百分制给出，再除 以１００，这实际上就是给定一个从Ｕ到［０， １］闭区间的映射，例如：
x1 85分 即μＡ(x1)=0.85 x2 75分 即μＡ(x2)=0.75 x3 98分 即μＡ(x3)=0.98 x4 80分 即μＡ(x4)=0.80 x5 60分 即μＡ(x5)=0.60
(A ∩B)C=AC∪BC
2.2 模糊集合
经典集合论的特点
非真即假 ，如，A={X|X>6}
一事物要么属于某集合，要么就不属于， 这里没有模棱两可的情况 精确集合的隶属函数是分段函数：
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊数学(格贴近度)
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(
2
1
)2
A B A(x1) e 21
而
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
性质 7 A B A C B C, 并且 AC BC .
精选可编辑ppt
4
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
精选可编辑ppt
5
Hale Waihona Puke 引理 1 设 A, B F(U )，令 (A, B) (A B) (A B)c, 则下
列结论成立： （1） 0 (A, B) 1; （2） (A, B) (B, A); （3） (A, A) a (1 a); （4） A B C (A,C) (A, B) (B,C). 特别当 a 1时， a 0, 则 (A, A) 1.
精选可编辑ppt
6
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
精选可编辑ppt
8
解法（格贴近度法） 对上述函数，有
若 A(x) B(x), 则 A B ( A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 B(x) A(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
xR
可见，内积 A B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
模糊数学——模糊矩阵运算
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
R
rij
,
其中rij
=
1 0
rij rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
2020年5月1日
8
截矩阵
1 0.5 0.2 0
例2：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
0.3 0.8
,则
0 0.3 0.8 1
模糊子集的定义及理解模糊集合和经典集合的关系常用的隶属函数模糊矩阵及其运算模糊矩阵定义
第2章 模糊矩阵与模糊关系
课前复习：
模糊子集的定义及理解、 模糊集合和经典集合的关系、 常用的隶属函数
2020年5月1日
1
模糊矩阵及其运算
模糊矩阵
定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。
交： R I S (rij sij )mn
余（补）：Rc (1 rij )mn
2020年5月1日
3
模糊矩阵及其运算
矩阵并交补运算的性质
1. 幂等律 R U R R, R I R R,
2. 交换律 R US S U R, R I S S I R,
3. 结合律 R U(S UT ) (R U S) UT , R I (S I T) (R I S) I T
定义：若模糊方阵满足 AT A, 则称A为对称矩阵。 例如 A 1 0.2 是模糊对称矩阵。
0.2 1
2020年5月1日
14
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵满足 A2 A, 则称A为模0
0.2 0.1
0.3 0.2 ,
0 0 0.1
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1 0.60 0.57 1
0.44 0.2 1 0.5
0.11 0.10 0.29 0.67
1 0.54 0.62 0.63 0.24 0.54 1 0.55 0.70 0.53
R 0.62 0.55 1 0.56 0.37
0.63 0.70 0.56 1 0.38
0.24 0.53 0.37 0.38 1
xij m1iinn{xij } m1iaxn {xij } m1iinn{xij}
（3）极差标准化
xij
xij xi max{xij } min{xij }
（4）最大值规格化
xij
xij Mj
其中： M j max(x1 j , x2 j , , xnj )
2020年6月11日
3
模糊聚类分析
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
t ( R)1
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 5 类：{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }.
2020年6月11日
12
模糊聚类分析
取 0.7，得
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
t( R)0.7
( xik x jk )
k 1
m
( xik x jk )
rij
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik . x jk
k 1
6
模糊聚类分析
3、聚类并画出动态聚类图
（1）模糊传递闭包法 步骤： ①求出模糊相似矩阵 R的传递闭包t(R)； ②按 由大到小进行聚类； ③ 画出动态聚类图。
２、建立模糊相似矩阵（标定）
建立 xi 与 x j相似程度rij R( xi , x j )的方法主要有：
Байду номын сангаас
（1）相似系数法
m
xik x jk
①夹角余弦法 rij
k 1 m
m
xi2k
x
2 jk
k 1
k 1
②相关系数法 rij
m
xik xi x jk x j
k 1
m
m
( xik xi )2
m
d( xi , x j )
( xik x jk )2
k 1
③Chebyshev距离
2020年6月11日
d( xi ,
xj)
max
1 k n
xik
x jk
5
模糊聚类分析
（3）贴近度法
①最大最小法 ②算术平均最小法 ③几何平均最小法
2020年6月11日
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
2020年6月11日
7
模糊聚类分析
例：考虑某环保部门对该地区 5 个环境区域 X { x1, x2 , x3 , x4 , x5 }按污染情况进行分类。设每个区 域包含空气、水分、土壤、作物 4 个要素，环境区域 的污染情况由污染物在 4 个要素中的含量超过的程度 来衡量。设这 5 个环境区域的污染数据为： x1 (80,10,6,2), x2 (50,1,6,4), x3 (90,6,4,6), x4 (40,5,7,3), x5 (10,1,2,4). 试对 X 进行分类。
2020年6月11日
1
模糊聚类分析
（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成
xij，即
xij
xij x j Sj
(1 j m)
式中：
xj
1 n
n i1
xij , S j
1 n
n i1
( xij
xj )2 .
2020年6月11日
2
模糊聚类分析
（2）极差正规化
x 'ij
2020年6月11日
10
用平方法合 成传递闭包
1 0.63 0.62 0.63 0.53 0.63 1 0.62 0.70 0.53
t(R) R4 0.62 0.62 1 0.62 0.53
0.63 0.70 0.62 1 0.53
0.53 0.53 0.53 0.53 1
2020年6月11日
11
模糊聚类分析
将t( R)中的元素从大到小编排如下： 1 0.63 0.62 0.63 0.53
0.63 1 0.62 0.70 0.53
1>0.70>0.63>0.62>0.53
0.62 0.62 1 0.62 0.53
取 1 ，得
0.63 0.70 0.62 1 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 1
模糊聚类分析
模糊聚类的一般步骤
１、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 , , xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 , , xim } (i 1,2, , n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
( x jk x j )2
k 1
k 1
2020年6月11日
4
模糊聚类分析
（2）距离法
一般地，取rij 1 c(d ( xi , x j )) ，其中c, 为
适当选取的参数，它使得0 rij 1.采用的距离有：
①Hamming距离
m
d( xi , x j ) xik x jk
k 1
②Euclid距离
1 0.44
0.11
0.60 0.2
0.10
0.57 1
0.29
00..1657
2020年6月11日
9
模糊聚类分析
m
用最大最小法构造
( xik x jk )
模糊相似矩阵得到
rij
k 1 m
( xik x jk )
k 1
0.89 1 0.86 0.33
0.56 0.10 0.86 0.67
2020年6月11日
8
模糊聚类分析
80 10 6 2
解：由题设知特性指标矩阵为
50
X*
90 40
10
1
6 5
1
6
4 7
2
4 463
采用最大值规格化法将数据规格化为
xij
Mxij00j ..5869M0j .110m00a..x88(66x1
0j ,.3x32j
0.67
,
, xnj )
X
0
0
1
0
0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 4 类： { x1},{ x3 },{ x2 , x4 },{ x5 }.
取 0.63 ，得
1 1 0 1 0 1 1 0 1 0
t( R)0.63
0
0
1
0
0
1 1 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 3 类： { x1, x2 , x4 },{ x3 },{ x5 }.