2020版高考数学第七章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构及其表面积、体积课件理新人教A版

解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不 一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成 的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延 长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. (2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形， 但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于 侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中 的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概 念可知. 答案 (1)A (2)②③④
规律方法 1.求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱 中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间 的联系. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练3】 (1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A.6π(4π＋3) B.8π(3π＋1) C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2) (2)(必修2P36A10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，绕斜边旋 转一周所得几何体的表面积为________.
故圆台的表面积为1 100π cm2.
(3)设直平行六面体的底面边长为 a，侧棱长为 l，则 S 侧＝4al，因为过 A1A，C1C 与 过 B1B，D1D 的截面都为矩形，从而QQ21＝ ＝BADC··ll，，则 AC＝Ql1，BD＝Ql2. 又 AC⊥BD，∴A2C2＋B2D2＝a2.∴Q2l12＋Q2l22＝a2. ∴4a2l2＝Q21＋Q22，2al＝ Q21＋Q22， ∴S 侧＝4al＝2 Q21＋Q22. 答案 (1)4＋4 5 (2)1 100π cm2 (3)2 Q21＋Q22
C.8π
D.4π
解析 设正方体的棱长为 a，则 a3＝8，解得 a＝2.设球的半径为 R，则 2R＝ 3a，
即 R＝ 3.所以球的表面积 S＝4πR2＝12π.
答案 A
5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球
面上，则该圆柱的体积为( )
3π
π
π
A.π
B. 4
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝ 90°，则在直观图中，∠A＝45°.( ) (4)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标
轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段
长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图
＝
2 4S
原图形.
【训练2】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均
规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念， 要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各 元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为 锥”的解题策略.
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________.
第1节 空间几何体的结构及其表面积、体积
考试要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简 单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道 球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际 问题；3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其 简单组合)的直观图.
S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
球
S＝___4_π_R_2____
体积
V＝___S_底_h_____ 1
V＝__3_S__底_h____ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
V＝___43_π_R_3____
[微点提醒] 1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下 ：
侧面形状 ___平__行__四__边__形____
____三__角__形____
___梯__形____
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等， 相交于__一__点__
__垂__直____于底面
延长线交于 ___一__点___
轴截面 全等的___矩__形__ 全等的_等__腰__三__角__形___ 全等的_等__腰__梯__形___ __圆____
侧面展开图 ___矩__形___
___扇__形___
__扇__环____
2.直观图 空间几何体的直观图常用___斜__二__测____画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、 z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为___4_5_°__(或__1_3_5_°__)_，z′轴与x′轴、y′轴 所在平面___垂__直___. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别___平__行__于___坐标轴.平行于x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度__不__变____，平行于y轴的线段长度在直观图中变为 原来的___一__半___.
2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一 部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
答案 C
3.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则
(1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. 4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
基础自测
1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
名称
棱柱
知识梳理 棱锥
图形
棱台
底面
互相___平__行____且 ___全__等____
多边形
互相___平__行____且 ___相__似____
侧棱
___平__行__且__相__等____ 相交于___一__点____，但不 一定相等
延长线交于 __一__点_____
解析
设原矩形的长为 a，宽为 b，则其直观图是长为 a，高为b2sin
45°＝
2 4b
的平
2
行四边形，所以S直观＝ S矩形
4abab＝
42.
答案
2 4
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
C.2
D.4
解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 R＝ OA＝1，球心到底面圆的距离为 OM＝12.
∴底面圆半径 r＝ OA2－OM2＝ 23，故圆柱体积 V＝π·r2·h＝

π·

232×1＝34π.
答案 B
6.(2019·菏泽一中月考)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与 原矩形的面积之比为________.
则正四棱锥的斜高 PE＝ 22＋12＝ 5. 所以该四棱锥的侧面积 S＝4×12×2× 5＝4 5， ∴S 全＝2×2＋4 5＝4＋4 5.
(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°， 所以C＝π·SA. 又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20. 同理SB＝40. 所以AB＝SB－SA＝20. S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋ π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A.2＋ 2
1＋ 2 B. 2
2＋ 2 C. 2
D.1＋ 2
解析 恢复后的原图形为一直角梯形，
所以 S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.故选 A. 答案 A
考点三 空间几何体的表面积 【例3】 (1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为________.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么圆台的表面积为________(结果中保留π). (3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1， Q2，则它的侧面积为______.
解析 (1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该 四棱锥为正四棱锥，如图. 由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，
【训练1】 下列命题正确的是( ) A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的 旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
解析 如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行 或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分. 答案 C
考点二 空间几何体的直观图
【例2】 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为
()
A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D. 166a2
解析 如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a，在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 则 C′D′＝ 22O′C′＝ 86a.所以 S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝166a2.故选 D. 答案 D
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
侧面展开图
圆台
侧面积公式 S圆柱侧＝___2_π_rl_____
S圆锥侧＝___π_rl___ S圆台侧＝__π_(_r_1＋__r_2_)l_
4.空间几何体的表面积与体积公式
几何体
名称
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
锥体(棱锥和圆锥)
底面圆的半径为( )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.32 cm
ห้องสมุดไป่ตู้
解析 由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝ 2(cm). 答案 B
4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π
32 B. 3 π
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.
(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥. (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45° 或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还 平行于y轴，所以∠A也可能为135°. (4)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π， r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)； ②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.所以S底＝9π，S表 ＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3). (2)旋转一周所得几何体为以254 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为 S＝