新高一数学衔接课第二讲-韦达定理

第2讲 一元二次方程根与系数的关系

知识要点：

1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ， 则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩

证明：由求根公式可得：1x =

，2x =， ∴1222b b x x a a

-+==-， 12x x ⋅

=

2()2b a

=--2)2a 22(4)4b b ac a

--= c a

= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .

证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a +

+=， 又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a =⋅， 所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=， 所以1x x =或2x x =，

所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .

【典型例题】

例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .

例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .

例3：若211160a a ++=，211160b b ++= .

例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .

（1）2212x x +； （2）

1211x x +； （3）12(5)(5)x x --； （4）12x x - .

例5：已知关于x 的方程221(1)104

x k x k -++

+=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；

（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .

例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .

例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：

（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；

（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；

（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .

例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求

223βα+的值 .

例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .

韦达定理练习：

1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .

2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21

x x .

3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .

4、解方程组：2214100

x y x y +=⎧⎨+=⎩ .

5、已知方程230x x k ++= .

（1）若方程两根之差为5，求k 的值；

（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .

6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：

（1）

11αβ+； （2）αβ- ； （3）33αβ+； （4）33αβ- .

7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .

8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？

9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .

10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .

11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求 232mn m n

++的值 .

12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠， 求2220101()ab b a

++的值 .

13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .

※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 .

（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .

（2）求使

1221

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 .

※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .