新高一数学衔接课第二讲-韦达定理
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
初高衔接知识第二讲 ：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)
第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义： 判别式： 求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x 的值； （3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1． 若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为 （ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是 （ ） （A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝ ； 7．以－3和1为根的一元二次方程是 ；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解： ，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。
初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义 韦达定理专题
新高一数学讲义 韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．【练习2】 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】 若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。
第二课：初升高衔接(二)——韦达定理及二次不等式
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日期时段第二课：初升高衔接（二）——韦达定理及二次不等式一、同步知识梳理一、一元二次方程根的判断式1．当24b ac ∆=->0时，方程有两个不相等的实数根：242b b ac x a -±-=2.当24b ac ∆=->0=0时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a =- 3.当24b ac ∆=->0<0时，方程没有实数根。
二、一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a +=-=【说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”。
上述定理成立的前提是0∆≥二、同步题型分析例1. 已知关于的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。
例2. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -。
例3.解二次不等式(1)260x x +->。
(2) 0132>+-x x(3) 2440x x -+≤(4) 0122≤---x x例4.解二次不等式（1）0522>+-x x （2）0332<+-x x例5. 解分式不等式(1)2301x x -<+ （2）0212≥--x x (3) 1231≥-+-x x例6．解多次不等式（1）0)3)(2)(1(≤---x x x （2）03232<-+-x x x三、课堂达标检测1. 若12,x x 是方程0432=+--x x 的两个根，试求12||x x -的值。
初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用
方程与方程组以及不等式韦达定理一、 【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。
2、对于任意的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。
二、 【衔接高中知识】我们已经知道)0(02≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。
反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。
三、 【例题精讲】例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：（1）2221x x +；（2）222111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意ax x x x x x ∆=-+=-21221214)(例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+x x例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则23=k例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值87 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆所以2041021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(22-+b a a 的值. 解析：120101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a课后习题1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1（2）若两根之和为53-，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,96222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则95=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅⇒=++x x b a b ba ab b b b故59=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a ck x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==8、已知方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(2490)5(4)2(402212122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：①当3,0==x x 时函数值均0≥31004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴513210≤≤-⇒≤+≤m m 综上，3103≤≤m法二：设两根为21,x x ，则有31033503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
02--韦达定理--高一暑假
韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、 运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba 的值．知识梳理例题解析二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2．设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围．【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．2．已知：四边形ABCD 中，AB∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，32．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23 B ．25 C ．5 D ．23．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．214．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则ba ab +的值是 ( ) 02=++p qx x 课后练习 反思总结A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413 5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______8．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．9．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．10．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210xax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．。
新高一衔接课-韦达定理
8、韦达定理韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【知识梳理】（一）方程有两个实数根⇔240b ac ∆=-≥（二）韦达定理及应用： 1212,b c x x x x a a+=-= 222121212()2x x x x x x +=+-,12x x a -=== 3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦（三）方程根的分布1. 方程有两根同号 ⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩2.方程有两根异号⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩3.拓展： （1）方程有两根同正⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎩（2）方程有两根同负⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎩（3）方程有两根同时比t 大⇔ 121200()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩（4）方程有两根同时比t 小⇔ 121200()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+-<⎨⎪-->⎩1、已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．2、已知不等式x 2+mx +n =0的解集为, 求实数的值.3、已知不等式ax 2+bx −6=0的解集为, 求实数a ,b 的值.4、若不等式的两个根为，求的值5、1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．1、若12,x x 是方程x 2+2x −1=0的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -； （5）31x ＋32x2、已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．3、已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．4、关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．5、设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．【例3】1、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。
韦达定理详解
韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。
它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。
本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。
一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。
该公式由法国数学家韦达在1821年提出。
二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。
根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。
一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。
三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。
1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。
解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。
2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。
解：由题目条件可知a=5，c=13。
将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。
解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。
总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。
通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a ,X1·X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1 ,x2 那么X1+X2= -b/aX1·X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中,假设b²-4ac<0 那么方程没有实数根假设b²-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b²-4ac>0 那么方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)假设两根互为相反数,那么b=0(2)假设两根互为倒数,那么a=c(3)假设一根为0 ,那么c=0(4)假设一根为1 ,那么a+b+c=0(5)假设一根为-1 ,那么a-b+c=0(6)假设a、c异号,方程一定有两个实数根【例题】p+q=198 ,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2 ,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得x1+x2=-p ,x1x2=q.于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198 ,即x1·x2-x1-x2+1=199.∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,解得x1=2 ,x2=200;x1=-198 ,x2=0.。
第二讲 韦达定理
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[知识要点]
3.一元二次方程根的 几何意义 2 方程ax bx c 0(a 0)的根 2 是二次函数y ax bx c的图像 与x轴交点的横坐标.
[点评] 熟记韦达定理、准确应 用
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[应用举例]
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例 3.(1)已 知 方 程 13x 10 0 4x 的 一 个 根 是 2, 这 个 方 程 的 另 一 个 求 根; 2 (2)已 知 方 程 4x kx 10 0的 一 个 根 是 2, 这 个 方 程 的 另 一 个 根 求 及 k的 值 .
5 (1)x ; 4
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5 (2)x , k -13 4
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[应用举例]
例4.已知方程y 15y 3 0的 2 2 α αββ 两根是α、 β，求 . 2 （αβ）
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[应用举例]
例5.已知方程x (4m 1) x 2m 1 0
αβ和α β
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[练习作业]
初高中数学衔接教学讲义第三讲
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[点评]
应先将方程化为ax bx c 0的形式
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[应用举例]
例2.当k为何值时,程 方 2 2 3 x 2 ( 3 k 1 ) x 3 k 1 0 (1)两根互为相反数 ; (2)两根互为倒数.
人教版新高一初升高数学《根与系数的关系(韦达定理)》专题知识衔接预习过关讲义
2021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a -+---+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =∴| x 1－x 2|＝=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 经典例题解析例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0； （3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由（－35）＋2＝－5k ，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
新高一数学衔接课韦达定理
第2讲 一元二次方程根与系数的关系知识要点：1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ， 则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩证明：由求根公式可得：1x =，2x =， ∴1222b b x x a a-+==-， c a= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a++=， 又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a=⋅， 所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=，所以1x x =或2x x =，所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .【典型例题】例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .例3：若211160a a ++=，211160b b ++=- . 例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3）12(5)(5)x x --； （4）12x x - . 例5：已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求223βα+的值 . 例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .韦达定理练习：1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21x x . 3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .4、解方程组：2214100x y x y +=⎧⎨+=⎩ . 5、已知方程230x x k ++= .（1）若方程两根之差为5，求k 的值；（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：（1）11αβ+； （2）αβ- ； （3）33αβ+； （4）33αβ- .7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求232mn m n++的值 . 12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠，求2220101()ab b a++的值 . 13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 . （1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 . ※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .。
初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计
《韦达定理及其应用》教学设计设计者：海口二中庞桔云一.教材分析《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
二.学情分析本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：三.教学目标知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。
过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.四.教学重、难点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.六.教学过程。
高中数学韦达定理公式
高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理是高中数学中常用的一个公式，它常常被用来解决一元二次方程的根的问题，在这里我们将详细介绍韦达定理及其应用。
一、韦达定理的概念韦达定理，又称韦达公式，是解决一元二次方程的根的公式。
它的全称为“韦达-斯特拉斯定理”，由意大利建筑师、数学家吉拉尔莫·韦达于1545年发现，后由奥地利数学家约瑟夫·斯特拉斯于1750年独立发现证明，因此得名韦达-斯特拉斯定理。
二、韦达定理的公式一元二次方程的一般式为ax²+bx+c=0，其中a≠0。
则韦达定理的公式为：x1 + x2 = (-b) / ax1 * x2 = c / a其中，x1、x2为方程的两个根。
三、韦达定理的推导韦达定理的推导可以用“完全平方公式”来证明。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，我们将其配方得到a(x+b/(2a))²=c-(b²/4a)，即(x+b/(2a))² = (b²-4ac)/(4a²)再对两边取根号，有x+b/(2a) = (±√(b²-4ac))/(2a) (∵√a²=a或-a)解出x后再移项，有x1,2 = (-b±√(b²-4ac))/(2a)根据方程的求根公式算出来的x1和x2，应该满足韦达定理的条件。
即x1 + x2 =(-b) / a，x1 * x2 = c / a。
四、韦达定理的应用韦达定理常常被用来求解一元二次方程的根，有两种情况：1、对于已知的方程的系数a、b、c，利用韦达定理求得方程的根。
例：已知2x²-5x+3=0，求方程的根。
解：根据韦达定理，我们有x1 + x2 = (-b) / a = 5/2，x1 * x2 = c / a = 3/2。
需要求出x1和x2，再代入公式，有x1 = 1/2, x2 = 3因此方程的根为1/2和3。
初升高衔接数学十字相乘法及韦达定理课件-高一上学期
所以顶点坐标为(1，4）
(2)方法一：由(1)知m＝2，所以－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.
得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1.
(3)由题图知，当抛物线在 x 轴上方时，图象上点的纵坐标大于0.这部分图
得(2x−1)(x−3)=0，
1
解得x1= ，x2=3.
2
能力提升
用十字相乘法分解下列因式
1、x4+7x2+6
解：1.原式= （x2+1）（x2 +6）
2.原式= （x-y）（x -4y）
2、x2-5xy+4y2
二、一元二次方程根的情况
2
例如：解方程 mx ＋2x＋1＝0.
(1)判断依据：对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝0(a≠0)，有
象上点的横坐标介于A,B两点的横坐标之间．所以当－1<x<3时，y>0.
X1+X2=
X1 X2 =
练习： X1与X2是方程X2-X-1=0的两根
求 X1+X2=
X1X2=
+ =
X12+X22=
练习：已知 x 1，x 2 是方程 x 2－2x－1＝0 的两个实数根，
1
1
求 (1)x 1＋x 2； (2)(2x 1－1)(2x 2－1)；
(3) ＋
x1
x2
能力提升
b
c
那么 x1＋x2＝－a ，x1x2＝a ，这一关系也被称为韦达定理．
(2)应用：若已知 x1，x2 是一元二次方程的两个根，
4(新课)高一数学暑假班教案-韦达定理 -学生版
高中数学韦达定理1、概念：形如()002≠=++a c bx ax 的方程为一元二次方程；2、配方法：对一元二次方程进行配方得到方程：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+3、判别式∆从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式ac b 42-的正负；基于ac b 42-的重要性，令ac b 42-=∆称为该一元二次方程的判别式，它决定了一元二次方程解的个数问题；（1）若0>∆，原方程有两个不等的实数根，这两个根是a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=；（2）若0=∆，原方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==；（3）若0<∆，原方程没有实根；4、韦达定理当上述一元二次方程有实数解时，a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=，（两个相等实根的情形也可以写成这样的形式）现在考察21x x +，21x x ⋅；利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=22121212()()4x x x x x x -=+-12||x x -=教学目标1、了解一元二次方程，并会用配方法求解一元二次方程；2、掌握一元二次方程的根的判别式∆，熟知根与∆之间的关系；3、掌握根与系数之间的关系——韦达定理；4、会用根与系数关系进行更深一层次的研究.重点1、根与系数之间的关系——韦达定理；2、韦达定理常见题型及解题思路．难点1、根与系数之间的关系——韦达定理；2、韦达定理常见题型及解题思路．（一）判别式，方程的解，韦达定理，运用韦达定理求值例1、若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是____________.例2、按指定的方法解方程()21(9)250x +-=(直接开平方法)()226160x x --=(配方法)()()()33121x x x -=-(因式分解法)()242720x x -+=(公式法)例3、已知关于x 的方程()24110x m x m +++-=.（1）求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程两根分别为1x 和2x ，且满足12111x x +=，求m 的值.例4、求证：若1x 和2x 分别是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，则ax x ∆=-21（其中ac b 42-=∆）.例5、设12x x ，是方程22630x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)221212x x x x +；(2)212()x x -；(3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)221211x x +.例6、（1）设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为；（2）已知α、β是方程2520x x ++=的两根，求+的值例7、关于x 的一元二次方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）求证：10x <，20x <；（3）若1212||||6x x x x --=，求k 的值．例8、已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k -+++=有二个不相等的实根1x 和2x ，（1）若122152xx x x +=，求k 的值；（2）求22212(1)(1)22m x x k k =--++的最大值．1、(1)如果－5是方程25100x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值；(2)如果2是方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．2、1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2212x x +（2）12x x -（3）2212233x x x +-3、设α、β是方程2201320x x +-=的两根，则22(20161)(20161)ααββ+-+-=．4、设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+=．5、已知一元二次方程220x x m -+=．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围．（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1233x x +=，求m 的值．6、已知关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何值时，使得21212()x x x x ++的值为54．7、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等实数根．（2）设方程的两实数根为1x ，2x ，且满足21212()||||2x x x x +=-+，求m 的值．（二）利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程例9、求方程组1128x yxy+=⎧⎨=⎩①②的解.例10、设02=+-qpxx的两实根为βα,，若以33,βα为根的一元二次方程仍是02=+-qpxx，求所有这样的方程.例11、设方程02=++bcaxx和方程02=++acbxx)0(≠abc，有且仅有一个公共根，求以其余两根为根的方程.例12、若实数,a b满足22850,850a ab b-+=-+=，则1111b aa b--+--的值是（）A．20-B．2C．2或20-D．12或20-例13、若1ab≠，且有25200190a a++=及29200150b b++=，则ab=，1ab+=．1、阅读材料：材料1．若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=材料2．已知实数m 、n 满足210m m --=、210n n --=，且m n ≠，求n m m n +的值．解：由题知m 、n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，根据材料1得1m n +=，1mn =-∴222()21231n m m n m n mn m n mn mn ++-++====--根据上述材料解决下面问题：（1）一元二次方程2430x x --=的两根为1x 、2x ，则12x x +=，12x x =．（2）已知实数m 、n 满足22210m m --=、22210n n --=，且m n ≠，求22m n mn +的值．（3）已知实数p 、q 满足232p p =+、2231q q =+，且2p q ≠，求224p q +的值．2、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t ++的值．3、已知实数m 、n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，求m nn m +的值．。
高一要学韦达定理吗知识点
高一要学韦达定理吗知识点高一要学韦达定理吗高一学生在数学学科中，会接触到各种各样的定理和公式，这其中就包括了韦达定理。
那么高一学生是否有必要学习和掌握韦达定理呢？本文将就这一问题展开探讨。
首先，我们来了解一下韦达定理的概念和应用。
韦达定理，也被称为二次根式及判别式，用于求解二次方程的根。
对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0（其中a、b、c为已知数，且a≠0），其根可以通过使用韦达公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)通过上述公式，我们可以算出二次方程的两个根，即使是无理数根或复数根也能得到准确解。
韦达定理在解决二次方程问题时非常有用，因此高一学生应该学习和掌握。
其次，学习韦达定理有助于培养高一学生的数学思维和解决问题的能力。
韦达定理本身在数学中属于基础知识，掌握它可以为后续数学学习打下坚实的基础。
学习韦达定理需要进行推导和运算，这对于学生的思维能力有很好的锻炼作用。
在解决二次方程问题时，韦达定理也需要学生在数学思维上进行灵活运用，培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。
此外，韦达定理被广泛应用于实际生活和科学领域。
在物理学、工程学、经济学等学科中，二次方程是常见的数学模型，在实际问题中经常需要求解其根，而韦达定理正是解决这类问题的有效方法。
学习韦达定理可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，理解数学在现实生活中的应用。
然而，值得注意的是，学习韦达定理并不意味着只是机械地应用公式。
对于高一学生而言，更重要的是理解韦达定理的几何意义和推导过程。
通过了解二次方程与抛物线的关系，以及韦达定理的几何解释，学生可以更好地掌握该定理并应用于实际问题中。
总结起来，高一学生有必要学习和掌握韦达定理。
通过学习韦达定理，可以提高数学解决问题的能力，培养学生的数学思维和逻辑思维，同时为后续学习奠定坚实的数学基础。
此外，韦达定理在实际生活和科学领域也有广泛的应用，学习韦达定理可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合。
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第2讲 一元二次方程根与系数的关系
知识要点：
1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ， 则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
证明：由求根公式可得：1x =
，2x =， ∴1222b b x x a a
-+==-， 12x x ⋅
=
2()2b a
=--2)2a 22(4)4b b ac a
--= c a
= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .
证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a +
+=， 又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a =⋅， 所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=， 所以1x x =或2x x =，
所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .
【典型例题】
例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .
例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .
例3：若211160a a ++=，211160b b ++= .
例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .
（1）2212x x +； （2）
1211x x +； （3）12(5)(5)x x --； （4）12x x - .
例5：已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；
（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .
例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .
例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：
（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；
（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；
（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .
例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求
223βα+的值 .
例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .
韦达定理练习：
1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .
2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21
x x .
3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .
4、解方程组：2214100
x y x y +=⎧⎨+=⎩ .
5、已知方程230x x k ++= .
（1）若方程两根之差为5，求k 的值；
（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .
6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：
（1）
11αβ+； （2）αβ- ； （3）33αβ+； （4）33αβ- .
7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .
8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？
9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .
10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .
11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求 232mn m n
++的值 .
12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠， 求2220101()ab b a
++的值 .
13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .
※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 .
（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .
（2）求使
1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 .
※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .。