2.1 曲线的参数方程 同步测试 (人教B版选修4-5)

第二章 参数方程
2．1 曲线的参数方程
2．1.1 抛射体的运动
2．1.2 曲线的参数方程
基础达标
1．将参数方程⎩⎨⎧ x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为 ( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)
答案：C 解析：将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2,3]，故选C.
2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )
A ．(2,3)
B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2 D ．(2,0) 答案：D
解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.∴过点(2,0)．
3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2＋2t ＋3，y ＝t 2＋2t ＋2表示的曲线是 ( )
A ．双曲线x 2－y 2＝1
B ．双曲线x 2－y 2＝1的右支
C ．双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0
D ．以上结论都不对
答案：D
解析：平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1.
4．曲线⎩⎨⎧
x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ
经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________. 答案：±3
解析：点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝ ±2 1－14＝±3. 5．将参数方程⎩⎨⎧ x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ
化成普通方程为__________． 答案：x 2＝1＋2y (|x |≤2)
解析：应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2.
6．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)求曲线C 的普通 方程．
解：∵x 2＝t ＋1t －2，∴x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3.
∴曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)． 综合提高
7．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－1t ，y ＝1－t 2
(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( ) A ．(x －1)2(y －1)＝1
B ．y ＝x (x －2)(1－x )2
C ．y ＝1(1－x )2－1
D ．y ＝x 1－x 2 答案：B
解析：由x ＝1－1t ，得1t ＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .
∴(1－x )2·(1－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2·t 2＝1.整理得y ＝x (x －2)(1－x )2
.
8．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t
(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1， 则点P 1与P (a ，b )之间的距离为
A ．|t 1|
B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 答案：C
解析：点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)，
∴|PP 1|＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝2t 21＝2|t 1|.
9．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平
直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为_________________________．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)
解析：设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体
作平抛运动，依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)这就是物体所经路线的参数方程．
10．以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程
是__________．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8k 4＋k 2
y ＝16－4k 24＋k 2
解析：设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可．
11．已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，
如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点， 求实数a 的取值范围．
解：∵⎩⎨⎧
x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.
圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2
≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2.
12．(创新拓展)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
解：(1)由ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2
＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，
令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α， 得圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α
(α为参数)． (2)由上述可知
x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)，
故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.。