如何让初中生更好地理解有理数与无理数

为整数， 并且Ｐ与ｑ 互质即没有公约数， 例如寻、 ÷ 当ｇ ＝１ ，
ｊ ｑ
为任意整数时 ， 即为任意整数。可见，在中学数学规定
ｇ
有理数即整数和分数就更条理化了。 有时还会碰到这样的问题：三 要等于０ ． ６ 无限循环小数，因
ｊ １
√ ２ 是无理数 。 假设 √ 是有理数 ，根据高等数学中有理数的定义，可
ｎ １ ’（ １ ｍ０ １ ）
ｑ －Ｏ － ０ ｌ ，
ｉ － －０ ． １ ２ ＋０ ． ￣１ ２ ＋０ ． ０ ０ ０ ０ １ ２ ＋… ’ ＝
一 ３ ３ 。
使用数列求和公式方法是将无限循环小数化为分数的常
用方法 ，同样的ｏ ３ 也可以通过例题中的方法得到÷。有人将
其总结成为一个数学小技巧 ： 设０ ． ６ 是个分数 ，ｏ ３的循环节 为６ ，把 ６ 设为这个分数的分子 ；在分母上给出与循环节的
一
整数 ，正分数和负分数统称为分数 ） ，整数和分数统称为有
理数 （ 整 数不再 赘述 ） 。 在 《 高等数学 》中，是这样规定有理数的：
全体有理数的集合记做 Ｑ， 即 Ｑ＝｛ Ｉ ∈ｚ ， ｇ Ｅ Ｎ 且Ｐ
与 ｇ互 质｝ 。
从这一定义可以看出： 首先分数线上下的两个数 Ｐ 、 都
【 摘 要】 《 数与代数》中的实数的概念在小学Байду номын сангаас初 中的数学知识中起着承上启下的作用，是学生步入 中学数学进行抽
象 化学 习的重 要一 步。 因此 ，通过本 文 ，希望 能帮助 一 些初 中学 生更好地 理解 有理 数与 无理数 的 区别。
【 关键词 】 有理数
分数
循环小数 无理数
【 中图分类号 】 Ｏ １ ２ １
【 文献标识码 】 Ａ
【 文章编号 】１ ６ ７ ４ －４ ８ １ ０（ ２ ０ １ ４） ０ ９ －０ １ ３ ０ －０ １
有 的分 数都 可 以写成无 限循 环小数 ， 而那 些能 化为 无 限循 环 小数 的分数 都是有 理数 。 所有分数都是有理数 ， 有限小数或无限循环小数可以互 化分数 。因此 ， 所 有有 限小 数或无 限循 环小 数都 是有 理数 。 有理数包括循环小数。 二 无理数 与 无限不循 环 小数 无限不循环小数不能通过上面的方法得到分数。 项武义 教授说 ：“ 无 理数本 该 叫作 ‘ 非 比数 ’ ，即无理 数无 法用 分数 表达。 ”单从字面上理解 ，学生们总会觉得无理数应该就是 “ 无理的” 。由于学生以往所学的概念 中绝大部分是肯定概 念， 这 就使 得一部 分学 生学 习无 理数定 义时 很不 习惯 ， 认为 无理数应该没有什么存在的价值。 圆周率就是无限不循环小 数 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ … … ，它可 以由一个希 腊字 母 ７ ｒ 表示。 在几 何学 、 物 理学 中应用 十分 广泛 。 那么 无理数 就不 是 “ 无理 的 ” 。 在中学数学中，无限不循环小数叫无理数。 在学习中， 经常要通过把根式化为小数来查看大小 ， 在 中学 ， 通过 查表 只可 以得到 它 的近似值 。可通 过 以下 的证 明
由此 式可 知 ： Ｐ 里面有 质数 ２ ，因而 Ｐ中也应 含有 质 因数 ２ ， 所 以可设 ｐ ＝２ ｋ （ ｋ 是 自然数 ） ，即有 （ ２ ） ＝２ ｑ 化 简可 得 ， ２ ＝ 那 么 ｑ中也含有 质数 ２的因数 ， 那 么 Ｐ和 ｇ 就不是 互
要等于左边。 在 ＝ ０ ． ６ 中， 通过计算器首先将 ２ 除以３ 得到了０ ． ６ ，
在《 数与代数 》一章中，学生首先接触到 “ 实数”这一 概念 ，在学 习这一 小节 中 ，经常 遇到 “ 下列 各数 中 ， 哪些 是 有理数？哪些是无理数？”这样的题 目， 对中学生来说显得 有些 吃力 ， 但这 一类 的小题 目又 不会在 升学 考试 中碰 到 ，因 此不够 引起 学生 和老 师 的重 视 ， 本 人希望 通过 下面几 个 问题 让初 中学 生更好 地理解 有理 数 与无理 数 的区别 。 有理 数与 循环小 数 首先 ，有理数 的定义是：（ 正整数 、零 、负整数统称为
即左边等于右边。如何证明ｏ ３是否等于÷呢？请看下面例题 ：
例题 ：将无限循环小数０ ． ｉ 化为分数。 解析 ：０ ． ｉ － －０ ． １ ２ ＋０ ． ０ ０ １ ２ ＋０ ． ０ ０ ０ ０ １ ２ ……，易判断此数列 表示—个无穷等比数列的各项和， 而此数列首相 ａ １ ＝０ ． １ ２ ， 公比
的循环小数来说 ，无理数的不循环性也是其特有的属性。 需要注意的是 ， 在数理化计算题中经常会要求把结果通 过 四舍五入化 为与准确值有差异 的近似数或者估计一个无 理数的值。这样容易误导学生 ， 错误认为分数可 以化为无限 不循环小数。 数学教师应该多向学生强调 ， 将某分数化为小 数时，要求约值的意义并非等 同于把分数化为小数 。
ｊ
，
质的，这与题设是矛盾的，因此假设不成立 。故有 √ ２ 在实 数范围内不是有理数 ，而是无理数。由此可以得出，只有当 根号下面的自然数 不是平方数 ， 那么√ 就必为无理数。
三 结束 语 在 实数范 围 内 ， 相对 于有理 数来说 ， 无 理数 不能 用分 数 表示 。无理 数 的这一属 性就 是 它的特有 属 性 。 而对 于有 理数
将√ 设为 ， Ｐ和 ｑ 互质， 然后将两边平方可得到 ２ ｑ ＝ 。
ｇ
此大家又规定无限循环小数也属于有理数， 如 ， 在计算器上 ，
ｌ，
可将 １ 除以 １ ７ ，从而得到 ０ ． ０ ５ ８ ８ ２ ３ ５ ２ ９ ４ １ １ ７ ６ ４ ７ ０ ５ ８ ８ ２ ３ ５ ２ ９ ４ ｌ １ ７ ６ ４ ７ ＂ …・ ・ 即以 “ ０ ５ ８ ８ ２ ３ ５ ２ ９ ４ １ １ ７ ６ ４ ７ ”为循环节 的无 限循环小数 。 等号两边是否相等 ， 取决于左边要等于右边 ，同时 ， 右边也
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学园 Ｉ Ｘ Ｕ Ｅ Ｙ Ｕ Ａ Ｎ
２ ０ １ ４年 第 ９期
如 何让 初中生更好地理解有理数 与无理数
赵玮玮 西华师范大学数 学与信 息学院