2025版高考数学一轮总复习学案 第3章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值

第三章
导数及其应用
第二讲　导数在研究函数中的应用
第二课时　导数与函数的极值、最值
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知 识 梳 理
知识点一　函数的极值
1．函数的极值
(1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )______ f (x 0)，那么f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作f (x )极大值＝
f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )______ f (x 0)，那么f (x 0)是函数
f (x )的一个极小值，记作f (x )极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．
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(2)当函数f (x )在x 0处连续时，判别f (x 0)是极大(小)值的方法：
如果x <x 0有f ′(x )______0，x >x 0有f ′(x )______0，那么f (x 0)是极大
值．
如果x <x 0有f ′(x )______0，x >x 0有f ′(x )______0，那么f (x 0)是极小
值．
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2．求可导函数f (x )极值的步骤
(1)____________________；
(2)____________________________；
(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的______________
的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得__________
；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得__________.
求导数f ′(x )求方程f ′(x )＝0的根根左右的值极大值极小值
知识点二　函数的最值
1．函数的最值的概念
[a，b](a，b)
设函数y＝f(x)在________上连续，在________内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．
3．求函数最值的步骤
设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最值，可分两步进行：
(1)__________________________________；
(2)____________________________________________________________________________________________
求f (x )在(a ，b )内的极值 将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
归 纳 拓 展
1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系
函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
3．极值与最值的关系
极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(
)(2)函数的极小值不一定比极大值小．(
)(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(5)单调函数一定没有极值．(
)×√√√√
[解析]　(1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．
(2)如图，在x1处的极大值比在x2处的极小值小．
(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．
(4)如图知正确．
题组二　走进教材
2．(选修2P92T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小A
值点的个数为( )
A．1 Array B．2
C．3
D．4
[解析]　由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．(选修2P98T6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　B
　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0
A A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(0,2)
题组三　走向高考
5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·e x－1的极值
A
点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3D．1
[解析]　由题意可得f′(x)＝e x－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1(x2＋x－2)＝e x－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A．
B
用导数求解函数极值问题——多维探究
角度1　根据函数图象判断极值
1．(多选题)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数g (x )＝
xf ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(
)A ．f (x )有两个极值点
B ．f (0)为函数的极大值
C ．f (x )有两个极小值
D ．f (－1)为f (x )
的极小值
BC
[解析]　由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，
在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．
故A、D错误，B、C正确．
名师点拨：据图象求极值的解题策略
1．已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
2．已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．
角度2　求函数的极值
(2023·安徽省部分重点学校联考)求下列函数的极值．
[分析]　求导，研究函数的单调性从而确定极值．
高考一轮总复习 • 数学
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3，可得
x(0,2)2(2,3)3(3，＋∞) f′(x)＋0－0＋
f(x)极大值极小值
名师点拨：可导函数求极值的步骤
1．确定函数的定义域．
2．求方程f′(x)＝0的根．
3．用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
4．由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
角度3　根据极值求参数的取值范围
函数f (x )＝(x －a )e x 在区间(2,3)内没有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[4，＋∞)
B ．[3,4]
C ．(－∞，3]
D ．[4，＋∞
)
A
[解析]　由函数f(x)＝(x－a)e x在区间(2,3)内没有极值点，可得f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间(2,3)内恒成立，进而可得实数a的取值范围．∵f(x)＝(x－a)e x，∴f′(x)＝(x＋1－a)e x，∵函数f(x)＝(x－a)e x在区间(2,3)内没有极值点，∴x＋1－a≥0或x＋1－a≤0在区间(2,3)内恒成立，即a≤x＋1或a≥x＋1在区间(2,3)内恒成立，∴a≤3或a≥4.故实数a 的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)，故选A．
名师点拨：已知函数极值点或极值求参数的2个要领
1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【变式训练】
1．(角度1)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法
正确的是( )
A．函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增
B．函数y＝f(x)的递减区间为(3,5)
C．函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝4
处取得极小值C
[解析]　根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图象即可得出答案．根据函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象可得，当x<－1,3<x<5时，f′(x)<0，故函数f(x)在(－∞，－1)和(3,5)上递减，当－1<x<3，x>5时，f′(x)>0，故函数f(x)在(－1,3)和(5，＋∞)上递增，所以函数f(x)在x＝－1和x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故A、B、D错误，C正确．故选C．
2．(角度2)(2024·河南中原名校质量检查)已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－
B
x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
B
用导数求函数的最值——师生共研
(1)若y＝x与f(x)的图象恰好相切，求实数a的值；
(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)的两个不同极值点分别为x1，x2(x1<x2)．
①求实数a的取值范围；
当0<x<e时，h′(x)>0，所以h(x)在区间(0，e)上单调递增；
当x>e时，h′(x)<0，所以h(x)在区间(e，＋∞)上单调递减．
当a≤0时，当x>e时，h(x)>0恒成立，故h(x)至多一个零点，不符合题意，
若λ2≥1，即λ≥1，则当t∈(0,1)时h′(t)>0，故h(t)在(0,1)上单调递增，
所以h(t)<h(1)＝0恒成立，满足题意；
若0<λ<1，则当t∈(λ2,1)时有h′(t)<0，
故h(t)在(λ2,1)上单调递减，
所以当t∈(λ2,1)时，h(t)>h(1)＝0，不满足题意．
综上所述，正数λ的取值范围为[1，＋∞)．
名师点拨：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．
注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．
【变式训练】
已知函数f(x)＝e x cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
[解析]　(1)因为f(x)＝e x cos x－x，所以f′(x)＝e x(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝e x(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝e x(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2e x sin x.。